Аппроксимация параболической функции. Аппроксимация функций. основные понятия и определения Формулы для вычисления линий тренда

05.05.2024 Поделки

Транскрипт

1 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Постановка задачи. Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и других областях составляют уравнения различного вида: нелинейные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и т.д. Для решения подобных уравнений необходимо иметь возможность вычислять значения функций, входящих в описание математической модели рассматриваемого процесса или явления, при произвольном значении аргумента. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании компьютера. Используемые в математических моделях функции могут быть заданы как аналитическим способом (в виде формулы), так и табличным, при котором функция известна только при определенных дискретных значениях аргумента. В частности, если функциональная зависимость получена в результате расчетов, проведенных на ЭВМ, или в процессе измерений, осуществленных в рамках какого-либо эксперимента, то она оказывается заданной именно табличным способом. На практике нам могут понадобиться значения функции и в других точках, отличных от тех, что заданы в таблице. Однако получить эти значения можно только путем сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов. Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к задаче вычисления приближенных значений функции при любом значении аргумента на основе имеющихся табличных данных. Эта задача решается путем приближенной замены функции более простой функцией, которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента x в заданном интервале его изменения. Введенную функцию можно использовать не только для приближенного определения численных значений, но и для проведения аналитических расчетов при теоретическом исследовании модели. Приближение функции более простой функцией называется аппроксимацией (от латинского approximo приближаюсь). Аппроксимирующую функцию строят таким образом, чтобы отклонения (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Понятие малого отклонения зависит от того, каким способом оценивается близость двух функций, поэтому оно будет уточняться в дальнейшем при рассмотрении конкретных методов аппроксимации. Непрерывная аппроксимация. Если исходная функция задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке. Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным. Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции было по абсолютной величине меньше заданной величины:,. В этом случае говорят, что функция с точностью e на интервале равномерно приближает функцию. Практическое получение равномерного приближение

2 представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях. Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина. Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию, получают уравнения, позволяющие найти наилучшие (в указанном смысле) значения этих параметров. Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек, называется точечной. Для получения среднеквадратичного точечного приближения функции, заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины где значения функции в точках. Основная сфера применения среднеквадратичного приближения обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул). Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках, те же значения, что и функция, т.е.,. В этом случае, близость интерполирующей функции к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек. На рисунке показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичного приближения (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции.,

3 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу: х x 0 x 1 x n f(x) y 0 y 1 y n При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок , но не совпадает ни с одним из значений x i (i=0,1,n). Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и F(x) в точках x i (i=0, 1, 2, n), т.е. F(x 0)=y 0, F(x 1)=y 1, F(x n)=y n. (1) В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки x 0, x 1, x n узлами интерполяции. Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=f(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M i (x i,y i) (i=0,1,2,n) (см. рис.). В случае, если x нахождение искомой функции называютэкстраполяцией. В дальнейшем, под термином интерполяция будем понимать как первую, так и вторую операции. Задача интерполирования может иметь в общей постановке бесчисленное множество решений или совсем их не иметь. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать некоторую функцию конкретного вида, удовлетворяющую условиям (1). Наиболее удобной в практическом использовании функцией является алгебраический многочлен степени n: P n (x)=a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n Чтобы задать многочлен n-ой степени достаточно задать его n+1 коэффициент. Значения многочлена просто вычисляются, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т.д. Поэтому алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения функций. Ниже будут подробно изложены широко используемые в географических исследованиях случаи интерполяции линейной функцией (линейная интерполяция) и квадратичной функцией (квадратичная интерполяция).

4 ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Итак, пусть мы имеем функцию, заданную таблично. Решая задачу интерполяции, найдем в таблице два соседних значения аргумента (обозначим их х k и x k+1), между которыми лежит заданное значение х (х k

5 Заметим, что вторая производная функции f(x) имеет конкретный механический смысл. Если f(x) описывает закон движения материальной точки, то вторая производная этой функции задает ускорение этой точки в момент времени х. Факт существования ограничения на ускорение (ограниченность второй производной) с физической точки зрения означает, что процесс описываемый функцией f(x) протекает относительно равномерно и функция изменяется не очень быстро. Таковой, например, будет функция, задающая изменение суточной температуры воздуха от времени. На практике именно этим критерием "плавности" скорости изменения процесса можно вполне воспользоваться для ответа на вопрос об обоснованности применения линейной интерполяции. Окончательно линейная интерполяция считается применимой, если вносимая ею дополнительная погрешность заметно меньше погрешности измерений натурных данных. Если обозначить через m номер последнего разряда приводимых в таблице значений функции, то погрешность измерений будет равна неравенства: и условие применимости линейной интерполяции запишется в виде (2) Шаг и точность таблицы обычно стараются согласовать так, чтобы условие (2) было выполнено. Бывает, однако, что для выполнения этого условия требуется выбирать слишком малый шаг. В таком случае не считаются с этим условием, а для отыскания промежуточных значений функции пользуются более сложной квадратичной интерполяцией или другими приемами.

6 КВАДРАТИЧНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Пусть снова дана функция f(x), заданная таблично. Считая, что на промежутке (x k, x k+2) данную функцию с достаточной степенью точности можно заменить квадратичной функцией, то есть часть графика функции можно заменить параболой (см. рис.), необходимо найти значение функции f(x) в некоторой точке x, принадлежащей интервалу (x k, x k+2). Будем искать квадратичную функцию в следующем виде:. Исходя из условия совпадения значений искомой квадратичной функции с табличными значениями функции в трех заданных точках, составим следующую систему уравнений: Это система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b и с. Ее определитель не равен 0 (если только точки не лежат на одной прямой). Решая составленную систему уравнений матричным способом, получим следующую зависимость для коэффициентова, b и с: Таким образом значение функции f(х) в точке х можно приближенно считать равным Естественно поставить вопрос о погрешности полученной формулы. Рассмотрим разность между точным значением функции f(х) и ее приближенным значением. Обозначим эту разность через (х): (х)= f(х)-ax 2 -bx-c.

7 Мы подошли к задаче об оценке значений функции j (х) для х, пробегающих промежуток (х к, х к+2). В рассматриваемом случае нам придется предполагать, что третья производная функции f(х) на рассматриваемом промежутке непрерывна и удовлетворяет неравенству:. Тогда для (х) справедлива следующая оценка:

8 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Одной из типовых задач обработки экспериментальных данных (ЭД) является определение количественной зависимости показателей качества объекта от значений его параметров и характеристик внешней среды. Примером такой постановки задачи является установление зависимости между временем обработки запросов к базе данных и интенсивностью входного потока. Время обработки зависит от многих факторов, в том числе от размещения искомой информации на внешних носителях, сложности запроса. Следовательно, время обработки конкретного запроса можно считать случайной величиной. Но вместе с тем, при увеличении интенсивности потока запросов следует ожидать возрастания его среднего значения, т.е. считать, что время обработки и интенсивность потока запросов связаны корреляционной зависимостью. Постановка задачи регрессионного анализа формулируется следующим образом. Имеется совокупность результатов наблюдений. В этой совокупности один столбец соответствует показателю, для которого необходимо установить функциональную зависимость с параметрами объекта и среды, представленными остальными столбцами. Будем обозначать показатель через y * и считать, что ему соответствует первый столбец матрицы наблюдений. Остальные т 1 (m > 1) столбцов соответствуют параметрам (факторам) х 2, х 3, х т. Требуется: установить количественную взаимосвязь между показателем и факторами. В таком случае задача регрессионного анализа понимается как задача выявления такой функциональной зависимости y * = f(x 2, x 3, x т), которая наилучшим образом описывает имеющиеся экспериментальные данные. Допущения: количество наблюдений достаточно для проявления статистических закономерностей относительно факторов и их взаимосвязей; обрабатываемые ЭД содержат некоторые ошибки (помехи), обусловленные погрешностями измерений, воздействием неучтенных случайных факторов; матрица результатов наблюдений является единственной информацией об изучаемом объекте, имеющейся в распоряжении перед началом исследования. Функция f(x 2, x 3, x т), описывающая зависимость показателя от параметров, называется уравнением (функцией) регрессии. Термин "регрессия" (regression(лат.) отступление, возврат к чему-либо) связан со спецификой одной из конкретных задач, решенных на стадии становления метода, и в настоящее время не отражает всей сущности метода, но продолжает применяться. Решение задачи регрессионного анализа целесообразно разбить на несколько этапов: предварительная обработка ЭД; выбор вида уравнений регрессии; вычисление коэффициентов уравнения регрессии; проверка адекватности построенной функции результатам наблюдений.

9 ВЫБОР ВИДА УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ Задача определения функциональной зависимости, наилучшим образом описывающей ЭД, связана с преодолением ряда принципиальных трудностей. В общем случае для стандартизованных данных функциональную зависимость показателя от параметров можно представить в виде y = f(u 1, u 2,...u p) + e (1) где f заранее не известная функция, подлежащая определению; e - ошибка аппроксимации ЭД. Указанное уравнение принято называть выборочным уравнением регрессии y на u. Это уравнение характеризует зависимость между вариацией показателя и вариациями факторов. А мера корреляции измеряет долю вариации показателя, которая связана с вариацией факторов. Иначе говоря, корреляцию показателя и факторов нельзя трактовать как связь их уровней, а регрессионный анализ не объясняет роли факторов в создании показателя. Еще одна особенность касается оценки степени влияния каждого фактора на показатель. Регрессионное уравнение не обеспечивает оценку раздельного влияния каждого фактора на показатель, такая оценка возможна лишь в случае, когда все другие факторы не связаны с изучаемым. Если изучаемый фактор связан с другими, влияющими на показатель, то будет получена смешанная характеристика влияния фактора. Эта характеристика содержит как непосредственное влияние фактора, так и опосредованное влияние, оказанное через связь с другими факторами и их влиянием на показатель. В регрессионное уравнение не рекомендуется включать факторы, слабо связанные с показателем, но тесно связанные с другими факторами. Не включают в уравнение и факторы, функционально связанные друг с другом (для них коэффициент корреляции равен 1). Включение таких факторов приводит к вырождению системы уравнений для оценок коэффициентов регрессии и к неопределенности решения. Функция f должна подбираться так, чтобы ошибка e в некотором смысле была минимальна. Существует бесконечное множество функций, описывающих ЭД абсолютно точно (e = 0), т.е. таких функций, которые для всех значений параметров u j,2, u j,3, u j,т принимают в точности соответствующие значения показателя y i, i =1, 2, п. Вместе с тем, для всех других значений параметров, отсутствующих в результатах наблюдений, значения показателя могут принимать любые значения. Понятно, что такие функции не соответствуют действительной связи между параметрами и показателем. В целях выбора функциональной связи заранее выдвигают гипотезу о том, к какому классу может принадлежать функция f, а затем подбирают "лучшую" функцию в этом классе. Выбранный класс функций должен обладать некоторой "гладкостью", т.е. "небольшие" изменения значений аргументов должны вызывать "небольшие" изменения значений функции (ЭД содержат некоторые ошибки измерений, а само поведение объекта подвержено влиянию помех, маскирующих истинную связь между параметрами и показателем). Простым, удобным для практического применения и отвечающим указанному условию является класс полиномиальных функций (2) Для такого класса задача выбора функции сводится к задаче выбора значений коэффициентов a 0, a j, a jk, a jj,. Однако универсальность полиномиального представления обеспечивается только при возможности неограниченного увеличения степени полинома, что не всегда допустимо на практике, поэтому приходится применять и другие виды функций.

10 Частным случаем, широко применяемым на практике, является полином первой степени или уравнение линейной регрессии. (3) Это уравнение в регрессионном анализе следует трактовать как векторное, ибо речь идет о матрице данных, i =1, 2, n. () Обычно стремятся обеспечить такое количество наблюдений, которое превышало бы количество оцениваемых коэффициентов модели. Для линейной регрессии при п > т количество уравнений превышает количество подлежащих определению коэффициентов полинома. Но и в этом случае нельзя подобрать коэффициенты таким образом, чтобы ошибка в каждом скалярном уравнении обращалась в ноль, так как к неизвестным относятся а j и e i, их количество n +т 1, т.е. всегда больше количества уравнений п. Аналогичные рассуждения справедливы и для полиномов степени, выше первой. Для выбора вида функциональной зависимости можно рекомендовать следующий подход: в пространстве параметров графически отображают точки со значениями показателя. При большом количестве параметров можно строить точки применительно к каждому из них, получая двумерные распределения значений; по расположению точек и на основе анализа сущности взаимосвязи показателя и параметров объекта делают заключение о примерном виде регрессии или ее возможных вариантах; после расчета параметров оценивают качество аппроксимации, т.е. оценивают степень близости расчетных и фактических значений; если расчетные и фактические значения близки во всей области задания, то задачу регрессионного анализа можно считать решенной. В противном случае можно попытаться выбрать другой вид полинома или другую аналитическую функцию, например периодическую.

11 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Систему уравнений (4) на основе имеющихся ЭД однозначно решить невозможно, так как количество неизвестных всегда больше количества уравнений. Для преодоления этой проблемы нужны дополнительные допущения. Здравый смысл подсказывает: желательно выбрать коэффициенты полинома так, чтобы обеспечить минимум ошибки аппроксимации ЭД. Могут применяться различные меры для оценки ошибок аппроксимации. В качестве такой меры нашла широкое применение среднеквадратическая ошибка. На ее основе разработан специальный метод оценки коэффициентов уравнений регрессии метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод позволяет получить оценки максимального правдоподобия неизвестных коэффициентов уравнения регрессии при нормальном распределения вариант, но его можно применять и при любом другом распределении факторов. В основе МНК лежат следующие положения: значения величин ошибок и факторов независимы, а значит, и некоррелированы, т.е. предполагается, что механизмы порождения помехи не связаны с механизмом формирования значений факторов; математическое ожидание ошибки e должно быть равно нулю (постоянная составляющая входит в коэффициент a 0), иначе говоря, ошибка является центрированной величиной; выборочная оценка дисперсии ошибки должна быть минимальна. Рассмотрим применение МНК применительно к линейной регрессии стандартизованных величин. Для центрированных величин u j коэффициент a 0 равен нулю, тогда уравнения линейной регрессии. (5) Здесь введен специальный знак "^", обозначающий значения показателя, рассчитанные по уравнению регрессии, в отличие от значений, полученных по результатам наблюдений. По МНК определяются такие значения коэффициентов уравнения регрессии, которые обеспечивают безусловный минимум выражению. (6) Минимум находится приравниванием нулю всех частных производных выражения (6), взятых по неизвестным коэффициентам, и решением системы уравнений (7) Последовательно проведя преобразования и используя введенные ранее оценки коэффициентов корреляции

12 получим. (8) Итак, получено т 1 линейных уравнений, что позволяет однозначно вычислить значения a 2, a 3, a т. Применение МНК для нелинейных функций практически ничем не отличается от рассмотренной схемы (только коэффициент a 0 в исходном уравнении не равен нулю). Например, пусть необходимо определить коэффициенты параболической регрессии = a 0 + a 2 u 2 + a 22 u 2 2. Выборочная дисперсия ошибки. На ее основе можно получить следующую систему уравнений После преобразований система уравнений примет вид Учитывая свойства моментов стандартизованных величин, запишем Определение коэффициентов нелинейной регрессии основано на решении системы линейных уравнений. Для этого можно применять универсальные пакеты численных методов или специализированные пакеты обработки статистических данных. С ростом степени уравнения регрессии возрастает и степень моментов распределения параметров, используемых для определения коэффициентов. Так, для

13 определения коэффициентов уравнения регрессии второй степени используются моменты распределения параметров до четвертой степени включительно. Известно, что точность и достоверность оценки моментов по ограниченной выборке ЭД резко снижается с ростом их порядка. Применение в уравнениях регрессии полиномов степени выше второй нецелесообразно. Качество полученного уравнения регрессии оценивают по степени близости между результатами наблюдений за показателем и предсказанными по уравнению регрессии значениями в заданных точках пространства параметров. Если результаты близки, то задачу регрессионного анализа можно считать решенной. В противном случае следует изменить уравнение регрессии (выбрать другую степень полинома или вообще другой тип уравнения) и повторить расчеты по оценке параметров. При наличии нескольких показателей задача регрессионного анализа решается независимо для каждого из них. Анализируя сущность уравнения регрессии, следует отметить следующие положения. Рассмотренный подход не обеспечивает раздельной (независимой) оценки коэффициентов изменение значения одного коэффициента влечет изменение значений других. Полученные коэффициенты не следует рассматривать как вклад соответствующего параметра в значение показателя. Уравнение регрессии является всего лишь хорошим аналитическим описанием имеющихся ЭД, а не законом, описывающим взаимосвязи параметров и показателя. Это уравнение применяют для расчета значений показателя в заданном диапазоне изменения параметров.

Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\saue.kdu.edu.ua 2 ЛЕКЦИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ Интерполяция Интерполяция способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений Пусть в ходе эксперимента при изменении

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

66 Таким образом точка А является точкой глобального максимума а точка М- точкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D 5 Эмпирические формулы Определение параметров эмпирических формул

1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции (x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции (x в произвольной точке x Для

Построение ММ статики технологических объектов При исследовании статики технологических объектов наиболее часто встречаются объекты со следующими типами структурных схем (рис: О с одной входной х и одной

Постановка задачи аппроксимации Линейная, нелинейная (второго порядка) аппроксимация Лекция 5 Постановка задачи аппроксимации Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость y=f(x), был произведен

Лекция 3 5. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются сеточные табличные функции [ a b] y 5. определенные в узлах сетки Ω. Каждая сетка характеризуется шагами h неравномерного или h

Тема. Численные методы решения задачи аппроксимации Будем считать, что является функцией аргумента. Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение. На практике

ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка , если известны ее значения в некотором

Стр. Интерполяция - изменение (лат.) Аппроксимация - приближение (лат.) Интерполяция сеточных функций Дана сеточная функция, заданная таблицей: Лекция = f () Будем считать данную функцию f () и некоторую

Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность (6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения () f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Лабораторная работа Интерполяция и аппроксимация функций Цель работы изучение полиномиальных функций, методов интерполирования в программном комплексе Matlab. Содержание: 1.Представление полиномов и вычисление

46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор И.В. Абрамов

Голубев ВО Литвинова ТЕ Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона Постановка задачи Статистические модели создают на основании имеющихся экспериментальных данных

6. Поиск эмпирических формул. Аппроксимация 6.. Понятие регрессии и корреляции При изучении различных явлений приходится сталкиваться с функциональными связями между двумя и более переменными. Когда эти

Линейная корреляционная зависимость Часто на практике требуется установить вид и оценить силу зависимости изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин (случайных или неслучайных).

ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Лекция продолжение лекции МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ А ТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Пусть на множестве точкой ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ задана сетка а на сетке задана сеточная

Лабораторная работа 6. Построение эмпирической зависимости теплоемкости вещества от температуры. Понятие статистической зависимости Две величины (например, x и y), могут быть независимыми, либо связанными

3 Интерполирование функций полиномом Лагранжа Цель: формирование навыков интерполирования таблично заданных функций полиномом Лагранжа; оценка погрешности полинома Лагранжа Краткие теоретические сведения

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

3. Интерполяция данных 1 3. Интерполяция данных Практически всегда выборки случайных чисел (полученные в результате эксперимента или сгенерированные в рамках методов Монте-Карло) хранятся на компьютерах

Лекция 5. Элементы теории корреляции.. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, т.е. изменение одной из них по

ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ На прошлой лекции была рассмотрена задача решения переопределенной системы. Такая система имеет вид: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, { a 1 x 1 + a x + + a x = f, { a 1 x 1 + a x

Регрессионный анализ [Часть II, стр. 59-68] Регрессионный анализ предназначен для получения теоретического уравнения регрессии = f(,), вид которого задается, исходя из особенностей изучаемой системы случайных

ОДНОФАКТОРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Цель работы проведение однофакторного регрессионного анализа на основе полиномиальных моделей первого, второго и третьего порядка. Теоретические основы. Под регрессионным

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество +) a b ; ; y y y y y Найти функцию: F F: y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Аппроксимация таблично заданных функций Таблично заданные функции. Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от расстояния между электродами Расстояние между шарами, см Диаметр

МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет

ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Постановка задачи аппроксимации По результатам экспериментов получена таблица с произвольным расположением аргументов: x, y,. Аналитическое

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5.1 Постановка задачи приближения функций. Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x некоторой функцией

55 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3 Постановка задачи регрессионного анализа Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли хозяйства) как правило представляются таблицами статистических данных:

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса Пусть имеются две измеренные случайные величины (СВ) X и Y. В результате проведения n измерений получено n независимых пар. Перед

АППРОКСИМАЦИЯ На практике часто приходится сталкиваться с задачей сглаживания экспериментальных данных задача аппроксимации. Основная задача аппроксимации построение приближенной (аппроксимирующей) функции

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD Алешин А. О., Растеряев Н.В. Донской государственный технический университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных. Краткие теоретические сведения Задачей приближения или аппроксимации функций (от лат. approimo приближаюсь) называется задача замены одних математических

Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.

Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

0 7 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Первоначально данные исследований представляют в виде таблиц. Однако табличные данные не имеют наглядности и не могут быть использованы

Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A() квадратная матрица

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Выбор вида и определение параметров эмпирической зависимости Методические указания по теоретической части. Эмпирический подход. Часто перед исследованием в любой области возникает следующая задача. Имеется

Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Лабораторная работа 6. Аппроксимация функций Аппроксимацией (приближением) функции f (x) называется нахождение такой функции g (x) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии

«Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 4 Методы математической статистики в задачах принятия решений Введение С О Д Е Р Ж А

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ Введение Весьма часто ученым и инженерам приходиться сталкиваться с таблично заданными функциями. Такого типа функции возникают при работе с экспериментальными, статистическими

Глава 7 Обработка результатов эксперимента в OpeOffice.org Calc В этой главе мы рассмотрим возможности пакета OpeOffice.org Calc при решении задач обработки экспериментальных данных. Одной из распространенных

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК) 1 Пусть вы изучаете зависимость одной физической величины у от другой х, то есть ищите зависимость у(х). Например, это может быть зависимость плотности вещества от температуры

Лабораторная работа 5. Линейная и квадратичная интерполяция. Постановка задачи аппроксимации функций. Постановка задачи: требуется приближенно заменить (аппроксимировать) заданную функцию f(x) некоторой

9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов () Линейная корреляция () () 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Занятие 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА Регрессионный анализ часто используется в химии с целью обработки экспериментальных данных, совокупность которых представлена некоторой

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ((5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы (называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ (БФ ФГБОУ ВО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

0 Оценка тесноты любой корреляционной связи Выше рассматривалась теснота линейной корреляционной связи Как оценить тесноту любой корреляционной связи? Пусть данные наблюдений над признаками X и Y сведены

Рассмотрим гильбертово пространство действительных функций, интегрируемых с квадратом с весом на . Норма в нем равна где скалярное произведение определено следующим образом:

Физический смысл весовой функции будет пояснен в п. 4. Выберем в качестве аппроксимирующей функции линейную комбинацию (37). Подставляя ее в условие наилучшего приближения (36), получим

Приравнивая нулю производные по коэффициентам, получим систему линейных уравнений

Ее определитель есть определитель Грама функций поскольку функции линейно-независимы, он отличен от нуля. Следовательно, наилучшее среднеквадратичное приближение существует и единственно. Для его вычисления необходимо решить систему линейных уравнений (38).

Линейно-независимую систему функций можно ортогонализировать.

Пусть уже образуют ортонормированную систему, т. е. ; тогда формулы (38) резко упрощаются и становятся удобными для вычислений

Это коэффициенты Фурье, так что наилучшее приближение есть отрезок обобщенного ряда Фурье.

Если функции образуют полную ортонормированную систему, то в силу равенства Парсеваля

Значит, при норма погрешности неограниченно убывает, т. е. наилучшее приближение среднеквадратично сходится к у и возможна аппроксимация с любой точностью.

Отметим, что если не ортогональны, то при определитель Грама обычно быстро стремится к нулю, система (38) становится плохо обусловленной, т. е. ее решение связано с большой потерей точности (см. главу V), и больше 5 - 6 членов суммы (37) брать нецелесообразно. Численная ортогонализация базиса при этом тоже приводит к большой потере точности. Поэтому если нужно большое число членов, то надо или проводить ортогонализацию точно (аналитически), или пользоваться готовыми системами ортогональных функций.

При интерполяции мы обычно полагали Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве брать многочлены, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребительны из них многочлены Якоби (частным случаем которых являются многочлены Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Для аппроксимации периодических функций используют тригонометрический ряд; он соответствует Сводка формул для ортогональных полиномов приведена в Приложении.

Все перечисленные выше системы функций полные, так что наилучшие приближения по ним среднеквадратично сходятся при если интегрируема с квадратом с заданным весом. При более сильных ограничениях имеет место сходимость во всех точках и даже равномерная сходимость. Приведем без доказательства некоторые результаты.

а) Ряд по многочленам Якоби сходится к непрерывной функции у равномерно на если существует непрерывная при некотором и если . В частности, для многочленов Чебышева первого рода достаточно а для многочленов Чебышева второго рода Для многочленов Лежандра доказан более сильный результат: ряд сходится равномерно, если существует ограниченная у

б) Если функция кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на и существует

то ряд по многочленам Лагерра сходится к функции в точках ее непрерывности и к полусумме односторонних пределов в точках разрыва. Эта сходимость, вообще говоря, не равномерная.

в) Если функция у кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на и существует

то ряд по многочленам Эрмита сходится так же, как в предыдущем абзаце.

г) Если у периодическая и непрерывная, причем ее модуль непрерывности удовлетворяет условию то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на всем периоде (признак Липшица); в частности, это условие выполняется для функции с ограниченной производной. Если функция имеет ограниченную производную а все младшие производные непрерывны, то для погрешности тригонометрического ряда Фурье и величин отдельных коэффициентов справедливы оценки

где А - константа. Видно, что при больших ряд сходится быстро. Но если кусочно-непрерывна, то сколько бы ни было у нее кусочно-непрерывных и ограниченных производных, ее коэффициенты Фурье убывают не быстрей и ряд сходится медленно (или даже расходится).

Замечание 1. Сходимость не во всех рассмотренных случаях была равномерной. Более того, не существует такого веса чтобы любая непрерывная функция разлагалась в равномерно сходящийся ряд по полиномам, ортогональным с этим весом. Буа-Реймондом и Л. Фейером были построены примеры периодических непрерывных функций, у которых тригонометрический ряд Фурье в отдельных точках расходится.

Замечание 2. Сходимость среднеквадратичного приближения тем лучше, чем меньше у функции особенностей - разрывов ее самой или ее производных. Если можно выделить основные особенности в виде несложной функции и аппроксимировать разность у точность аппроксимации существенно улучшается.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ)

Факультет радиотехники и электроники

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Математика

Тема: «Методы аппроксимации функций»

Разработал студент группы КП-121

И.С. Кононученко

Руководитель Кострюков С.А

ЗАДАНИЕ на курсовую работу

Тема: «Методы аппроксимации функций».

Студент группы КП-121 Кононученко Илья Сергеевич

1. Методы аппроксимации функций.

1.1. Непрерывная аппроксимация.

2. Точечная аппроксимация.

3. Интерполяционный полином Лагранжа.

4. Интерполяционный полином Ньютона.

5. Погрешность глобальной интерполяции.

6. Метод наименьших квадратов.

7. Подбор эмпирических формул.

8. Кусочно-постоянная интерполяция

9. Кусочно-линейная интерполяция.

2. Практическая часть.

2.1. Построить интерполяционный многочлен для функции f(x)=lnx- по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение логарифма от 5,75. Получить оценку погрешности остаточного члена.

2.2. Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной зависимостью ??(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10.

1. Методы аппроксимации функций

1.1 Непрерывная аппроксимация

1.2 Точечная аппроксимация

4 Интерполяционный полином Ньютона

8 Кусочно-постоянная интерполяция

9 Кусочно-линейная интерполяция

Практическая часть

2.1 Построить интерполяционный многочлен для функции f(x)=lnx-по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение логарифма от 5,75. Получить оценку погрешности остаточного члена

2.2 Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной зависимостью ?(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью ?(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10

Список литературы

1.МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ

1.1Непрерывная аппроксимация

Если исходная функция f(x) задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке. Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным.

Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции f(x) было по абсолютной величине меньше заданной величины:

В этом случае говорят, что функция равномерно приближает функцию f(x) с точностью e на интервале. Практическое получение равномерного приближения представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях.

Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина

Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию, получают уравнения, позволяющие найти наилучшие значения этих параметров.

2 Точечная аппроксимация

Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек, называется точечной.

Для получения точечного среднеквадратичного приближения функции y=f(x), заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины

где yi - значения функции f(x) в точках xi.

Основная сфера применения среднеквадратичного приближения - обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул).

Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках xi, те же значения yi , что и функция f(x), т.е. .

Рисунок 1

В этом случае, близость интерполирующей функции к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

На рис. 1 показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичного приближения (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции f(x).

3 Интерполяционный полином Лагранжа

Лагранж предложил строить интерполяционный полином в виде разложения

где li(x) - базисные функции.

Для того, чтобы полином удовлетворял условиям Лагранжа, т.е. был бы интерполяционным, базисные функции li(x) должны обладать следующими свойствами:

) быть полином степени n

) удовлетворять условию

Лагранж показал, что функции, обладающие указанными свойствами, должны иметь следующий вид

С учетом этого выражения интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в виде

В отличие от интерполяционного полинома в канонической форме для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительно определять коэффициенты полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином Лагранжа приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.

Интерполяционный полином Лагранжа оказывается очень удобным для приближенного вычисления определенных интегралов. Если, например, некоторую функцию заменить интерполяционным полином Лагранжа, то определенный интеграл от нее может быть вычислен следующим образом

Значения интегралов от не зависят от f(x) и могут быть легко вычислены аналитически.

1.4 Интерполяционный полином Ньютона

Рассмотрим еще одну форму записи интерполяционного полинома

Требования совпадения значений полинома с заданными значения функции в узловых точках Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n приводит к системе линейных уравнений с треугольной матрицей для неизвестных коэффициентов:

решить которую не составляет труда.

Интерполяционный полином называется полиномом Ньютона. Интересная особенность полинома Ньютона состоит в том, что каждая частичная сумма его первых (m+1) слагаемых представляет собой интерполяционный полином степени m, построенный по первым (m+1) табличным данным.

5 Погрешность глобальной интерполяции

Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом n-й степени Ln(x) в точке x определяется разностью

Можно показать, что погрешность Rn(x) определяется следующим выражением

Здесь - производная (n+1) порядка функции f(x) в некоторой точке, а функция определена как

Если максимальное значение производной f (n+1)(x) равно

то для погрешности интерполяции следует оценка

Конкретная величина погрешности в точке x зависит, очевидно, от значения функции в этой точке. Качественный характер зависимости показан на рис. 2.

Рисунок 2

Вследствие описанного поведения погрешности, глобальная интерполяция в некоторых случаях может давать совершенно неудовлетворительный результат. Из рисунка видно, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка. За пределами отрезка интерполяции (т.е. при экстраполяции) быстро растет, поэтому погрешность возрастает существенно.

1.6 Метод наименьших квадратов

Пусть для исходных данных xi, fi, i=1,…,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости: y=?(a0,a1,…,am) с неизвестными коэффициентами a0,a1,…,am . Запишем сумму квадратов отклонений между вычисленными по эмпирической формуле и заданными опытными данными:

S(a0,a1,…,am)=(?(x1,a0,a1,…,am)-fi)2

Параметры a0,a1,…,am будем находить из условия минимума функции S(a0,a1,…,am). В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК).

Известно, что в точке минимума все частные производные от S по равны нулю:

Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим полином

?(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

Формула (1) для определения суммы квадратов отклонений примет вид:

S(a0,a1,…,am)=(a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)

Вычислим производные

Приравнивая эти выражения к нулю и собирая коэффициенты при неизвестных a0,a1,…,am , получим следующую систему линейных уравнений

Данная система уравнений называется нормальной. Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты.

В случае полинома первого порядка m=1, т.е. , система нормальных уравнений примет вид

При m=2 имеем:

Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей. По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них находят наилучшую по минимальной сумме отклонений.

1.7 Подбор эмпирических формул

При интерполировании функций мы использовали условие равенства значений интерполяционного полинома и данной функции в узлах интерполяции. Если же исходные данные получены в результате опытных измерений, то требование точного совпадения не нужно, так как данные не получены точно. В этих случаях можно требовать лишь приближенного выполнения условий интерполяции. Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис.

аппроксимация полином интерполяция формула

Рисунок 3

Тогда говорят о подборе эмпирических формул. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов подбора вида этой формулы, содержащей неизвестные параметры a0,a1,…,am, и определение наилучших в некотором смысле этих параметров. Вид формулы иногда известен из физических соображений (для упругой среды связь между напряжением и деформацией) или выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций. Успех здесь в значительной степени определяется опытом и интуицией исследователя.

Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .

После того, как выбран вид эмпирической зависимости степень близости к эмпирическим данным определяется, используя минимум суммы квадратов отклонений вычисленных и экспериментальных данных.

1.8 Кусочно-постоянная интерполяция

На каждом отрезке интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.

Для левой кусочно-линейной интерполяции

F(x)= fi-1, если xi-1 ?x

Для правой кусочно-линейной интерполяции F(x)= fi-1, если xi-1

Легко понять, что условия интерполяция выполняются. Построенная функция является разрывной, что ограничивает ее применение. Для левой кусочно-линейной интерполяции имеем графическое представление

Рисунок 4

1.9 Кусочно-линейная интерполяция

На каждом интервале функция является линейной Fi(x)=kix+li. Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi . Получаем систему уравнений: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , откуда находим ki=li= fi- kixi .

Следовательно, функцию F(x) можно записать в виде:

F(x)= x+ fi- kixi , если, т.е.

Или F(x)=ki ·(x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1 ? x ? xi, i=1,2,...,N-1

При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x, а затем подставить его в формулу.

Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно-постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно-линейной интерполяции приведена на рисунке

Рисунок 5

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Построим интерполяционный многочлен для функции

f(x)=lnx- по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12.

Формула для вычисления данного многочлена выглядит следующим образом:

где n- количество узлов.

Рассчитаем значения базисных полиномов.

Формула для расчета базисных полиномов:

Запишем значения узлов функции:

Вычислим значения функций f(x) в соответствующих узлах:

f(x0)==0.6931471805599453-1.5=-0.8068528194400547(x1)= =1.386294361119891-1.25=0.136294361119891(x2)= =1.791759469228055-1.1666666666666667=0.625092802561388(x3)= =2,079441541679835-1.125=0.954441541679835(x4)= =2.302585092994045-1.1=1.202585092994045(x5)= =2.484906649788-1.083333333333333=1.401573316454667

Рассчитаем значения соответствующих базисных полиномов:

Запишем формулу вычисления многочлена f(x)=lnx- по полученным данным:

L(x)=f(x0)·l0(x)+ f(x1)·l1(x)+ f(x2)·l2(x)+ f(x3)·l3(x)+ f(x4)·l4(x)+ f(x5)·l5(x).

Подставим в формулу полученные значения:

L(x)=((- 0.8068528194400547) ·(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0.136294361119891·5(x-2)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)- 0.625092802561388·10·

· (x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0.954441541679835·10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10)(x-12)-1.202585092994045·5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1.401573316454667·

·(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+

032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+1.50294940468648·x-2.886362165898854

Рисунок 6

L(x)= 0.000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+

032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+

50294940468648·x-2.886362165898854

Из рисунка видно, что графики функций совпадают.

Вычислим приближенное значение логарифма от 5,75 с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением

Пользуясь формулой

посчитаем приближенное значение логарифма:

Получим оценку погрешности остаточного члена:

Формула нахождения остаточного члена в других точках:

Rn(x)=f(x)-Ln(x).

Подставим значения и вычислим остаточный член:

Rn(x)= -0.234721044665224-(-0.149875603361276)= 0.0122

Для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно получить следующую оценку:

0122374?9.9512361

Из оценки следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения можно получить результат с необходимой точностью.

Функцию f(x), заданную таблицей аппроксимируем линейной зависимостью ?(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью ?(х)=Ах2+Вх+С.

x10151720f(x)371117Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений для линейной зависимости (x)=Ax+B:

Учитывая, что n=4: ;

Решаем систему линейных уравнений:

Следовательно, линейная зависимость будет иметь вид:

Рассмотрим квадратичную зависимость?(х)=Ах2+Вх+С. Система нормальных уравнений имеет вид:

Найдем не подсчитанные суммы:

Следовательно, квадратичная зависимость будет иметь вид:

Рисунок 7

Функция, заданная таблицей.

Линейная зависимость

Квадратичная зависимость

По графику найдем значение х, для которого f(x)=10.

Список литературы

1. Кириллова С.Ю. Вычислительная математика/Кириллова С.Ю. Изд-во Владим. гос. ун-та, 2009. -102с.

2. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики/ Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда и др.; под ред. Л.И. Бородич.- М.: Высшая школа, 1986. -189с.

3. Тюканов, А.С. Основы численных методов: учеб. пособие для студентов. Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2007. -226с.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

В практике любителя микроконтроллеров нередко возникает необходимость работы с каким-либо аналоговым датчиком, например, терморезистором или термопарой. Многие из аналоговых датчиков обладают нелинейной характеристикой, которая обычно приводится в документации в виде графика.

По горизонтали показано выходное напряжение датчика, а по вертикали - измеряемая величина. При разработке программы, обрабатывающей сигнал с подобного датчика возникает проблема: как в программе реализовать подобную характеристику датчика в виде функции?

Наиболее простой метод заключается в замене сложной кривой ломаной линией, как показано на следующем рисунке.

Тонкая синяя линия состоит из отрезков прямых, по возможности максимально совпадающей с основной кривой. Работать с отрезками прямых в программе значительно проще, т. к. математически прямая описывается простым уравнением Y = k * X + c . Разумеется, замена гладкой кривой прямолинейными участками дает лишь приближенную картину соответствия X и Y , но тут уж надо идти на компромиссы.

Итак, мы заменили исходную кривую ломаной линией, т. е. выполнили кусочно-линейную аппроксимацию.

Ломаная линия определяется координатами (X;Y) точек ее изломов, т. е. для нашего случая это точки (0.8; 83), (2.2; 88), (3; 88), (4.2; 80), (5.2; 70), (7.8; 30), (10; 20) и (14.8; 12).

AB задается координатами двух точек (XA; YA) и (XB; YB) . Отрезок - это часть прямой, а уравнение прямой, как уже было сказано, описывается так: Y = k*X + c . Так как обе точки лежат на прямой, можно составить систему из двух уравнений:

YA = k*XA + с
YB = k*XB + с

В этой системе у нас два неизвестных k и c, следовательно, для их нахождения эту систему надо решить. Надеюсь, решение системы уравнений труда не составит, поэтому сам процесс не привожу, а привожу только готовое решение:

k = (YA - YB)/(XA - XB); с = YA - k * XA

Таким образом, возвращаясь к нашей ломаной, мы по вышеприведенным формулам легко получим уравнения для каждого из отрезков ломаной по координатам точек ее излома. Остается лишь описать процесс на языке Си.{code}

#define PT_CNT 8

typedef struct{
float X, Y;
} POINT;

POINT line = {{0.8, 83}, {2.2, 88}, {3, 88}, {4.2, 80}, {5.2, 70}, {7.8, 30}, {10, 20}, {14.8, 12}};

float function(float x){
for(int i=0; i < (PT_CNT-1); i++){
if((x >= line[i].X) && (x <= line.X){
float k = (line[i].Y - line.Y)/(line[i].X - line.X);
float с = line[i].Y - k * line[i].X;
return k * x + c;
}
}
return 0;
}{/code}

Сначала определяем константу PT_CNT , которая указывает количество точек излома нашей ломаной. При этом начало и конец ломаной так же являются точками ее излома.

Затем определяем новый тип POINT для описания точки излома. Ну а после этого задаем массив, содержащий все точки излома. Это будут исходные данные для дальнейших расчетов.

Теперь определяем функцию function , которая получает в виде параметра x измеренное напряжение на датчике, а возвращает соответствующее ему значение измеряемого параметра, вычисленного по графику ломаной. Работает она по очень простому алгоритму.

Входной параметр функции х проверяется на принадлежность одному из отрезков ломаной, для чего в цикле перебираются соседние пары точек из массива line , и х сравнивается с координатами X этих точек. Если нужный отрезок найден, то по формулам вычисляются коэффициенты уравнения прямой k и с , а затем вычисляется значение функции.

Если же по каким-либо причинам значение параметра х не попало внутрь нашей ломаной, функция вернет 0, однако, это крайне скользкий случай, следует всегда быть уверенным, что такого не произойдет на самом деле, так как отличить нормально вычисленное значение функции от этого ошибочного невозможно.

Как видите, все довольно просто. Код получается достаточно универсальным, т. е. переопределив константу PT_CNT и соответственно содержимое массива line вы можете реализовать кусочно-линейную аппроксимацию любой кривой с любой точностью приближения. И только об одном следует заботиться: чтобы в кривой и аппроксимирующих ее отрезках никогда не было вертикальных кусков, потому что для вертикального отрезка вычисление коэффициента k приведет к делению на 0, а значит, совершенно неверному результату. К счастью, реальные датчики в своих характеристиках такой ситуации не создают.

Аппроксимация , или приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. В задачах, рассматриваемых в данном разделе и в следующем, используются исходные данные, полученные в результате табуляции заданной функции. Следует помнить, что в реальных задачах исходными данными являются результаты наблюдений (проведение опытов, научных экспериментов, наблюдение реальных событий и т.п.), которые подвержены ошибкам измерения и другим случайным факторам. Задача исследователя - подобрать по исходным точкам (которые на первый взгляд расположены хаотично) функциональную зависимость (если это вообще возможно), которая наилучшим образом описывает распределение исходных данных и в некоторых случаях попытаться сделать прогноз дальнейшего развития (например исследование временно́го ряда изменения котировок акций).

Задание . Построить таблицу значений функции F(x)=ax²+bx+c для 11 значений аргумента x в диапазоне –1 ≤ x ≤ +1 . Построить график этой функции, затем выполнить аппроксимацию линиями тренда двух типов. С помощью линий тренда построить прогноз на два периода вперёд.

Как и в предыдущих задачах вводим исходные данные: начальное значение аргумента функции Xn , конечное значение аргумента функции Xk , количество точек разбиения функции (количество строк таблицы) N , формулу для шага аргумента функции dX , коэффициенты a , b , c , затем создаем основную таблицу и строим диаграмму (все эти действия были подробно описаны в разделе ) :

Линии тренда на диаграмме

Линии тренда позволяют графически отображать тенденции изменения данных и прогнозировать их дальнейшие изменения . Подобный анализ называется также регрессионным анализом. Используя регрессионный анализ, можно продлить линию тренда в диаграмме за пределы реальных данных для предсказания будущих значений.

Линии тренда могут быть построены на всех двухмерных диаграммах (линию тренда нельзя добавить на объемных, лепестковых, круговых, кольцевых и пузырьковых диаграммах).

Существует шесть различных видов линий тренда:

Линейная
Полиномиальная
Логарифмическая
Экспоненциальная
Степенная

Линии тренда, добавленные к графику функции, на сами данные и исходную диаграмму никак не влияют.

Формулы для вычисления линий тренда

Линейная . Используется для линейной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: m - угол наклона, b - координата пересечения оси абсцисс.

Полиномиальная . Используется для полиномиальной или криволинейной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: b , c 1 , c 2 , … c 6 - константы.

Можно задать степень полинома от 2 до 6.

Логарифмическая . Используется для логарифмической аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: c и b - константы, ln - функция натурального логарифма.

Экспоненциальная . Используется для экспоненциальной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: c и b - константы, e - основание натурального логарифма.

Степенная . Используется для степенной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: c и b - константы.

Примечание . Экспоненциальная и степенная виды аппроксимации недоступны, если значения функции F(x) содержат отрицательные или нулевые значения. Кроме того, логарифмическая и степенная виды аппроксимации недоступны, если значения аргумента функции x содержат отрицательные или нулевые значения. Поскольку в заданиях к лабораторным работам используется отрицательное значение нижней границы аргумента Xn (x0 ), не выбирайте логарифмическую и степенную виды аппроксимации!

Скользящее среднее - это среднее значение за определенный период:

На диаграмме линия, построенная по точкам скользящего среднего, позволяет построить сглаженную кривую, более ясно показывающую закономерность в развитии данных.

Добавление линии тренда к рядам данных

Выделяем диаграмму (щелкаем в любом пустом месте диаграммы), после чего на ленте меню появятся три дополнительные вкладки: Конструктор , Макет и Формат . На вкладке Макет в группе Анализ щелкаем по кнопке .