Импульс тела. Закон сохранения импульса. Школьная энциклопедия Теорема об изменении количества движения

Закон сохранения импульса для движущегося малого объема W жидкой частицы (с непроницаемыми стенками) есть

где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на выделенный объем, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M"=0). Ограничиваясь рассмотрением массовой силы F m (например, центробежной или силы тяжести, действующих на единицу массы, [н/кг]) и сил давления P (действующих на единицу площади, [н/м 2 ]), запишем

.

Учитывая, что (интеграл берется по жидкой частице, то есть по заданному количеству жидкости), и, преобразуя поверхностный интеграл давления в объемный, можно переписать уравнение в виде

. (1.15)

Это закон сохранения количества движения в интегральной форме.

Исходя из произвольного выбора объема жидкой частицы, можно перейти к дифференциальной форме:

. (1.16)

Это закон сохранения количества движения в форме Лагранжа.

Входящая в уравнение производная dV/dt – это субстанциональная производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы.

Используя связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производной скорости по времени (изменение скорости в заданной точке), полученную ранее, приходим к другой дифференциальной форме уравнения сохранения количества движения (форме Эйлера):

. (1.17)

Это уравнение Эйлера, оно получено им еще в 1755 г. Данное уравнение выражает закон сохранения количества движения (импульса).

В проекциях на оси декартовой системы это уравнение имеет вид

Запишем полученные уравнения движения в другой форме – в форме переноса импульса. Для этого выполним следующие преобразования, используя уравнение неразрывности:

, но ,

тогда и, следовательно,

. (1.18)

В декартовой системе координат эти уравнения имеют вид

Эти уравнения, как и в случае уравнения неразрывности, могут быть получены еще одним способом. Выделим в потоке движущейся массы фиксированный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время dt.

Выделим в потоке газа или жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. На выделенный объем действуют массовые силы (например, инерционные, гравитационные), поверхностные силы – давления и трения. Найдем проекции этих сил на ось х (рис.1.5):

а) массовые силы приложим в центре элемента объемом dw.

Ее проекция на ось х равна:

аналогично на другие оси;

б) сила давления. На левой грани элемента по оси x удельное давление равно Р, на площадку dydz действует сила Pdydz. На противоположной грани удельное давление равно , а на эту грань действует сила . Знак «–» указывает на то, что сила действует против направления оси х. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

. (1.19)

Согласно второму закону механики равнодействующая равна произведению массы элемента ρdW на его ускорение dV x /dt:

где - локальное, - конвективное изменение величины V х, d/dt – субстанциальная производная:

Приравнивая уравнения (1.19) и (1.20), получим:

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z:

Это уравнение движения. Его часто записывают в виде

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю.

Рассмотрим теперь данный закон для реальной жидкости, учитывая вязкость (внутреннее трение). Начнем с рассмотрения уравнений движения для изотермической жидкости и еще раз напомним, что уравнение непрерывности справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещества. Воспользуемся уравнением, записанным в форме закона для переноса импульса идеальной жидкости, и допишем в него слагаемые, отвечающие за перенос импульса в результате действия вязких сил.

Главный вектор количества движения К системы материальных частиц равен интегралу от произведений их элементарных масс dm на векторы скоростей частиц V:

.

Применим к объему W массой m теорему об изменении главного вектора количества движения. Приравняв полную производную по времени от главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых F и поверхностных P сил, получим

, (13)

где p n – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S объема W.

Вычислим полную производную от главного вектора, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M"=0), тогда

Чтобы преобразовать поверхностный интеграл в правой части (13) в объемный, перепишем его в виде:

где p х, p y , p z – вектор напряжений, приложенный к положительным сторонам площадки, и применим формулы векторного анализа:

(1.23)

Тогда будем иметь

. (1.24)

Подставляя в (1.16) значения входящих в него величин и перенеся все члены в одну строку, получим

. (1.25)

Используя положение о произвольности объема W и приравнивая подынтегральную функцию нулю, получим

Проектируя обе части равенства на направления осей координат, получим:

(1.27)

Эти уравнения динамики сплошной среды «в напряжениях», или «уравнения импульсов».

Cила трения на единицу поверхности по закону Ньютона

(μ – коэффициент динамической вязкости, Н×с/м 2).

.

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.28)

Получим уравнения движения с учетом вязкости, используя подход, изображенный на рис.1.5. Добавим силу трения, определив ее из рассмотрения плоского ламинарного потока, в котором скорость V x изменяется лишь в направлении оси y. В этом случае сила трения s возникает лишь на боковых гранях элемента (рис.1.6).

Около левой грани скорости движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении "y" сила трения направлена против движения и равна – sdxdz. У правой грани скорость движения больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении "y+dy" сила трения направлена в сторону движения и равна

Здесь – сила трения на единицу поверхности, по закону Ньютона.

Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая μ = const, получим .

В общем случае, когда V x изменяется по трем направлениям, проекция силы трения на ось х определяется выражением

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.29)

Используя вновь понятие субстанциальной производной

согласно второму закону механики получим:

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z (учитывая, что ):

Эти уравнения движения называют уравнениями Навье-Стокса. Дифференциальное уравнение движения в форме Навье-Стокса описывает движение вязкой сжимаемой жидкости или газа и справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения.

В случае гипотезы “идеального газа” уравнения движения Навье - Стокса переходят в уравнения Эйлера:

(1.30)

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю. Для двух- и одномерного движения уравнения Навье-Стокса и Эйлера соответствующим образом упрощаются.

Закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии не только устанавливает неизменность всей энергии для любой выделенной массы жидкости или газа, но и отражает взаимопреобразование различных форм движения материи, и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии, который для индивидуального (непроницаемого) объема движущейся среды формулируется так:

– изменение полной энергии выделенного объема жидкости или газа за единицу времени равно сумме работ приложенных к нему массовых и поверхностных внешних сил на поверхностях, ограничивающих этот объем, и подведенного извне тепла за то же время.

Этот закон выражается интегральным равенством

где – удельная полная энергия; U = c v T – удельная внутренняя энергия; – результирующая массовых сил, – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S выделенного объема W; q – удельное количество энергии (обычно тепла), подводимое в единицу времени к рабочему телу в выделенном объеме.

Учитывая произвольность выделенного объема W, получаем дифференциальную форму данного закона:

Необходимость введения уравнения энергии следует из того, что два уравнения – неразрывности (скалярное) и движения (векторное) – содержат три неизвестных величины: одну векторную (скорость ) и две скалярные (давление р и плотность r), поэтому для газа (W=var) число искомых величин на одну больше, чем число уравнений. Если присоединить уравнение энергии, то добавится ещё одна неизвестная величина – температура Т. Система уравнений получиться замкнутой присоединением уравнения состояния, и тогда задача аэрогазодинамики (при заданных граничных и начальных условиях) становится определенной.

Если рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, то полагают, что в жидкости отсутствуют теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энергия каждого жидкого элемента остается постоянной:

Отсюда следует, что для описания движения идеальной несжимаемой жидкости уравнение энергии не используется.

Лекция 5. Количество движения системы (импульс системы).

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Количество движения системы (импульс системы).

2. Теорема об изменении количества движения (импульса).

3. Закон сохранения количества движения (импульса).

4. Главный момент количеств движения (импульса) системы.

5. Теорема моментов.

6. Закон сохранения главного момента количеств движения (импульса).

Изучение данных вопросов необходимо для динамики колебательного движения механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

В предыдущих лекциях излагались методы определения движения материальной системы, которые сводились к составлению дифференциальных уравнений, как правило, второго порядка. И решение их оказывалось не всегда простым.

Если ввести новые обобщенные понятия, характеризующие свойства и движение системы в целом, то эти трудности нередко можно обойти. К ним относятся понятия о центре масс и кинетической энергии, которые уже нам знакомы, понятия о количестве движения материальной системы и моменте количества движения.

Теоремы, определяющие изменение этих характеристик, позволяют получить более полное представление о движении материальной системы.

Количество движения системы (импульс системы).

Количество движения (импульс тела) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Импульс (количество движения) – одна из самых фундаментальных характеристик движения тела или системы тел.

Запишем II закон Ньютона в другой форме, учитывая, что ускорение Тогда следовательно

Произведение силы на время ее действия равно приращению импульса тела (рис. 1):

Где - импульс силы, который показывает, что результат действия силы зависит не только от ее значения, но и от продолжительности ее действия.

Рис.1

Количеством движения системы (импульсом) будем называть векторную величину , равную геомет­рической сумме (главному вектору) количеств движения (импульсов) всех точек системы (рис.2):

Из чертежа видно, что независимо от величин скоростей точек системы (если только эти скорости не параллельны) вектор может принимать любые значения и даже оказаться равным нулю, когда многоугольник, построенный из векторов , замкнется. Следова­тельно, по величине нель­зя полностью судить о ха­рактере движения системы.

Рис.2

Найдем формулу, с по­мощью которой значительно легче вычислять величину , а также уяснить ее смысл.

Из равенства

следует, что

Беря от обеих частей производную по времени, получим

Отсюда находим, что

т.е. количество движения (импульс) системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс . Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.

Из формулы видно, что если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс, будет равно нулю.

Если же движение тела является сложным, то величина не будет характеризовать вращательную часть движения вокруг центра масс. Например, для катящегося колеса независимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс С .

Таким образом, количество движения характеризует только поступательное движение системы. При сложном же движении величина характеризует только поступательную часть движения системы вместе с центром масс.

Теорема об изменении количества движения (импульса).

Рассмот­рим систему, состоящую из п материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим:

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения (импульса) системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения (импульса) системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил .

Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент t=0 количество движения системы равно , а в момент становится равным . Тогда, умножая обе части равенства на dt и интегрируя, получим:

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежу­ток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будем иметь:

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о дви­жении центра масс. Так как то, подставляя это значение в равенство и учитывая, что , мы получим .

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости).

Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса).

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следую­щие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что Q= =const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Оx ) равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом Q x =const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения (импульса) системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы. В более общем случае, когда система незамкнута, из следует, что полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил.

Рассмотрим неко­торые примеры:

а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное коли­чество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы останется равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления бу­дут силами внутренними, и они не могут изменить суммарное коли­чество движения системы ракета - продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, на­правленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Пример 1. На рельсах стоит платформа массой m 1 =10 т. На платформе закреплено орудие массой m 2 =5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m 3 =100 кг; его начальная скорость относительно орудия v 0 =500 м/с. Найти скорость платформы в первый момент после выстрела, если: 1) платформа стояла неподвижно (v = 0); 2) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч, а выстрел был произведен в направлении ее движения; 3) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч, а выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса, утверждающим, что импульс замкнутой системы остается постоянным.

Запишем импульс системы, состоящей из пушки, орудия и снаряда, до выстрела () и после него (), в результате которого этот импульс меняется. Напомним, что суммарный импульс системы представляет собой векторную сумму импульсов тел, входящих в систему.

1) Импульс системы до выстрела

т.к. вначале платформа с орудием покоилась (v =0).

После выстрела импульс системы

По закону сохранения импульса , следовательно,

Спроецируем это уравнение на выбранную ось х (рис.3):

Рис.3

Обратим внимание на следующий факт. Из опыта мы знаем, что в результате выстрела платформа с орудием откатится в сторону, противоположную выстрелу, поэтому при проецировании мы сразу можем учесть это, поставив знак «минус» перед скоростью u платформы. Тогда мы получим

В ряде случаев, когда заранее нет ясности в том, в какую сторону будет двигаться объект, считаем, что скорость направлена вдоль оси х . В этом случае положительное значение полученного результата вычислений подтвердит наше предположение, а отрицательное – укажет на то, что движение происходит в направлении, противоположном выбранному.

2) Закон сохранения импульса в случае, когда платформа движется со скоростью v =18 км/ч = 5 м/с, имеет вид

В проекциях на ось х (рис.4):

Рис.4

Обратим внимание на то, что, посчитав, как в предыдущем случае, что платформа после выстрела начнет двигаться в обратную сторону, мы ошиблись, на что указывает знак «минус» в полученном ответе. Значит, направление движения платформы осталось прежним, но скорость ее уменьшилась.

3) Закон сохранения импульса в третьем случае имеет вид, аналогичным тому, что был записан для второго случая, т.е.

с той лишь разницей, что при проецировании на ось х (рис.5), получим другие знаки для скоростей:

Рис.5

Таким образом, платформа будет двигаться в том же направлении со скоростью большей, чем первоначальная.

Пример 2. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью v , укреплено орудие, ствол которого направлен в сторону движения платформы под углом α к горизонту (рис.5.1). Орудие произвело выстрел, в результате чего скорость платформы с орудием уменьшилась в три раза. Найти скорость снаряда относительно орудия при вылете из ствола. Масса снаряда m 1 , масса платформы с орудием m 2 .

Рис.5.1

Решение. На систему тел “платформа с орудием + снаряд” действуют внешние силы - тяжести и нормального давления со стороны рельсов, направленные вертикально (горизонтальные силы трения можно считать пренебрежимо малыми) и внутренняя сила - давления газов, образующихся при выстреле. Следует учесть, что при выстреле сила нормального давления превышает силу тяжести, их равнодействующая не равна нулю. Следовательно, при выстреле вертикальная составляющая импульса системы не сохраняется, горизонтальная составляющая импульса останется неизменной.

Рассмотрим действие друг на друга двух изолированных тел не взаимодействующих с другими телами. Будем считать силы во все время взаимодействия постоянными. В соответствии со вторым законом динамики изменение количества движения первого тела:

где - интервал времени взаимодействия.

Изменение количества движения второго тела:

где -сила, действующая со стороны первого тела на второе.

Согласно третьему закону Ньютона

и, кроме того, очевидно,

Следовательно,

Независимо от природы сил взаимодействия и длительности их действия общее количество движения двух изолированных тел остается постоянным.

Полученный результат может быть распространен на любое число взаимодействующих тел и на силы, меняющиеся со временем. Для этого интервал времени в течение которого происходит взаимодействие тел, разобьем на столь малые промежутки в течение каждого из которых силу можно с заданной степенью точности считать постоянной. В течение каждого промежутка времени будет выполняться соотношение (1.8). Следовательно, оно будет справедливо и для всего интервала времени

Для обобщения вывода на взаимодействующих тел введем понятие замкнутой системы.

Замкнутой называется система тел, для которой результирующая внешних сил равна нулю.

Пусть материальных точек массами образуют замкнутую систему. Изменение количества движения каждой из этих точек в результате взаимодействия ее со всеми остальными точками системы соответственно:

Обозначим внутренние силы, действующие на точку массой со стороны других точек, через на точку массой и т. д. (Первый индекс обозначает точку, на которую действует сила; второй индекс указывает точку, ос стороны которой действует сила.)

Запишем в принятых обозначениях второй закон динамики для каждой точки в отдельности:

Число уравнений равно числу тел системы. Чтобы найти общее изменение количества движения системы, нужно подсчитать геометрическую сумму изменений количества движения всех точек системы. Просуммировав равенства (1.9), мы получим в левой части полный вектор изменения количества движения системы за время, а в правой части - элементарный импульс результирующей всех сил, действующих в системе. Но так как система замкнута, то результирующая сил равна нулю. В самом деле, по третьему закону динамики каждой силе в равенствах (1.9) соответствует сила причем

т. е. и т. д.,

и результирующая этих сил равна нулю. Следовательно, во всей замкнутой системе изменение количества движения равно нулю:

полное количество движения замкнутой системы - величина постоянная во все время движения (закон сохранения количества движения).

Закон сохранения количества движения - один из фундаментальных законов физики, справедливый как для систем макроскопических тел, так и для систем, образованных микроскопическими телами: молекулами, атомами и т. п.

Если на точки системы действуют внешние силы, то количество движения, которым обладает система, изменяется.

Напишем уравнения (1.9), включив в них результирующие внешних сил действующих соответственно на первую, вторую и т. д. До -й точки:

Сложив левые и правые части уравнений, мы получим: слева - полный вектор изменения количества движения системы; справа - импульс результирующей внешних сил:

или, обозначая результирующую внешних сил:

изменение полного количества движения системы тел равно импульсу результирующей внешних сил.

Равенство (1.13) может быть записано в другом виде:

производная по времени от общего количества движения системы точек равна результирующей внешних сил, действующих на точки системы.

Проецируя векторы количества движения системы и внешних сил на три взаимно перпендикулярные оси, вместо векторного равенства (6.14) получим три скалярных уравнения вида:

Если вдоль какой-либо оси, скажем, составляющая результирующей внешних сил равна нулю, то количество движения вдоль этой оси не изменяется, т. е., будучи вообще незамкнутой, в направлении система может рассматриваться как замкнутая.

Мы рассмотрели передачу механического движения от одних тел к другим без перехода его в другие формы движения материи.

Величина «mv оказывается здесь мерой просто перенесенного, т. е. продолжающегося, движения… ».

Применение закона изменения количества движения к задаче о движении системы тел позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы, что упрощает теоретическое исследования и решения практических задач.

1. Пусть на покоящейся тележке неподвижно стоит человек (рис. 2. а). Количество движения системы человек - тележка равно нулю. Замкнута ли эта система? На нее действуют внешние силы - сила тяжести и сила трения между колесами тележки и полом. Вообще говоря, система не замкнута. Однако, поставив тележку на рельсы и соответствующим образом обработав поверхность рельсов и колес, т. е. значительно уменьшив трение между ними, можно силой трения пренебречь.

Сила тяжести, направления вертикально вниз, уравновешивается реакцией деформированных рельсов, и результирующая этих сил не может сообщить системе горизонтального ускорения, т. е. не может изменить скорость, а следовательно, и количество движения системы. Таким образом, мы можем с известной степенью приближения считать данную систему замкнутой.

Положим теперь, что человек сходит с тележки влево(рис. 2. б), имея скорость. Чтобы приобрести эту скорость, человек должен, сократив свои мышцы, подействовать ступнями ног на площадку тележки и деформировать ее. Сила, действующая со стороны деформированной площадки на ступни человека, сообщает телу человека ускорение влево, а сила, действующая со стороны деформированных ступней человека (в соответствии с третьим законом динамики), сообщает тележке ускорение вправо. В результате, когда взаимодействие прекратится (человек сойдет с тележки), тележка приобретает некоторую скорость.

Для нахождения скоростей и с помощью основных законов динамики надо было бы знать, как меняются силы взаимодействия человека и тележки со временем и где приложены эти силы. Закон сохранения количества движения позволяет сразу найти отношение скоростей человека и тележки, а также указать их взаимную направленность, если известны значения масс человека и тележки.

Пока человек неподвижно стоит на тележке, общее количество движения системы остается равным нулю:

Скорости, приобретенные человеком и тележкой, обратно пропорциональны их массам. Знак «минус» указывает на их противоположную направленность.

2. Если человек, двигаясь со скоростью, вбегает на неподвижно стоящую тележку и останавливается на ней, то тележка приходит в движение, так что общее количество движения ее и человека оказывается равным количеству движения, которым обладал раньше человек один:

3. Человек, движущийся со скоростью,вбегает на тележку, перемещающуюся ему навстречу со скоростью, и останавливается на ней. Далее система человек - тележка движется с общей скоростью Общее количество движения человека и тележки равно сумме количеств движения, которыми они обладали каждый в отдельности:

4. Использовав то обстоятельство,что тележка может перемещаться только вдоль рельсов, можно продемонстрировать векторный характер изменения количества движения. Если человек входит и останавливается на неподвижной до этого тележке один раз вдоль направления возможного ее движения, второй раз - под углом 45є, а третий - под углом 90є к этому направлению, то во втором случае скорость, приобретенная тележкой, примерно в полтора раза меньше, чем в первом, а в третьем случае тележка неподвижна.

Посмотрим теперь, что получается в случае большого количества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разумеется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую i-ю частицу (т. е. произведение силы, действующей на i-ю частицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количества движения этой частицы, а момент количества движения i-й частицы в свою очередь равен произведению импульса частицы на его плечо. Допустим теперь, что мы сложили моменты сил x i всех частиц и назвали это полным моментом сил τ. Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы моментов количества движения всех частиц L i . Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения L. Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения L равна полному моменту сил.

С непривычки может показаться, что полный момент сил — ужасно сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и внешние силы. Однако если мы вспомним, что по закону Ньютона силы действия и противодействия не только равны, но и (что особенно важно!) действуют по одной и той же прямой в противоположных направлениях (неважно, говорил ли об этом сам Ньютон или нет, неявно он подразумевал это), то два момента внутренних сил между двумя взаимодействующими частицами должны быть равны друг другу и направлены противоположно, поскольку для любой оси плечи их будут одинаковы. Поэтому все внутренние моменты сил взаимно сокращаются и получается замечательная теорема: скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси!

Итак, мы получили в руки мощную теорему о движении большого коллектива частиц, которая позволяет нам изучать общие свойства движения, не зная деталей его внутреннего механизма. Эта теорема верна для любого набора частиц, независимо от того, образуют ли они твердое тело или нет.

Особенно важным частным случаем этой теоремы является закон сохранения момента количества движения, который гласит: если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным.

Рассмотрим один очень важный частный случай набора частиц, когда они образуют твердое тело, т. е. объект, который всегда имеет определенную форму и геометрический размер и может только крутиться вокруг какой-то оси. Любая часть такого объекта в любой момент времени расположена одинаковым образом относительно других его частей. Попытаемся теперь найти полный момент количества движения твердого тела. Если масса i-й частицы его равна m i , а положение ее (x i , y i), то задача сводится к определению момента количества движения этой частицы, поскольку полный момент количества движения равен сумме моментов количества движения всех таких частиц, образующих тело. Для движущейся по окружности точки момент количества движения равен, конечно, произведению ее массы на скорость и на расстояние до оси вращения, а скорость в свою очередь равна угловой скорости, умноженной на расстояние до оси:

Это выражение очень похоже на формулу для импульса, который равен произведению массы на скорость. Скорость при этом заменяется на угловую скорость, а масса, как видите, заменяется на некоторую новую величину, называемую моментом инерции I. Вот что играет роль массы при вращении! Уравнения (18.21) и (18.22) говорят нам, что инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко расположены они от оси. Так что если мы имеем два тела равной массы, но в одном из них массы расположены дальше от оси, то его инерция вращения будет больше. Это легко продемонстрировать на устройстве, изображенном на фиг. 18.4. Масса М в этом устройстве не может падать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. Расположим сначала массы т около оси вращения, причем грузик М будет как-то ускоряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы т гораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик М ускоряется гораздо медленнее, чем прежде. Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции — суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения.

Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко изменить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чудеса, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I 1 , умноженному на угловую скорость ω 1 , т. е. ваш момент количества движения равен I 1 ω 1 . Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I 2 . Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение /со должно остаться тем же самым, то I 1 ω 1 должно быть равно I 2 ω 2 . Так что если вы уменьшили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.

Рассмотрим наиболее общие законы сохранения, которым подчиняется весь материальный мир и которые вводят в физику ряд фундаментальных понятий: энергия, количество движения (импульс), момент импульса, заряд.

Закон сохранения импульса

Как известно, количеством движения, или импульсом, называют произведение скорости на массу движущегося тела: p = mv Эта физическая величина позволяет найти изменение движения тела за какой‑нибудь определенный промежуток времени. Для решения этой задачи следовало бы применять второй закон Ньютона бесчисленное число раз, во все промежуточные моменты времени. Закон сохранения количества движения (импульса) можно получить, используя второй и третий законы Ньютона. Если рассматривать две (или более) материальные точки (тела), взаимодействующие между собой и образующие систему, изолированную от действия внешних сил, то за время движения импульсы каждой точки (тела) могут изменяться, но общий импульс системы должен оставаться неизменным:

m 1 v +m 1 v 2 = const.

Взаимодействующие тела обмениваются импульсами при сохранении общего импульса.

В общем случае получаем:

где P Σ – общий, суммарный импульс системы,m i v i – импульсы отдельных взаимодействующих частей системы. Сформулируем закон сохранения импульса:

Если сумма внешних сил равна нулю, импульс системы тел остается постоянным при любых происходящих в ней процессах.

Пример действия закона сохранения импульса можно рассмотреть на процессе взаимодействия лодки с человеком, которая уткнулась носом в берег, а человек в лодке быстро идет из кормы в нос со скоростью v 1 . В этом случае лодка отойдет от берега со скоростьюv 2 :

Аналогичный пример можно привести со снарядом, который разорвался в воздухе на несколько частей. Векторная сумма импульсов всех осколков равна импульсу снаряда до разрыва.

Закон сохранения момента импульса

Вращение твердых тел удобно характеризовать физической величиной, которая называется моментом импульса.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная частица тела движется по окружности радиусом r i с какой‑то линейной скоростьюv i . Скоростьv i и импульсp = m i v i перпендикулярны радиусу r i . Произведение импульсаp = m i v i на радиусr i называется моментом импульса частицы:

L i = m i v i r i = P i r i ·

Момент импульса всего тела:

Если заменить линейную скорость угловой щ (v i = ωr i), то

где J = mr 2 – момент инерции.

Момент импульса замкнутой системы не изменяется во времени, то есть L = const и Jω = const.

При этом моменты импульса отдельных частиц вращающегося тела могут как угодно изменяться, однако общий момент импульса (сумма моментов импульса отдельных частей тела) остается постоянным. Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно, наблюдая вращение фигуриста на коньках с руками, вытянутыми в стороны, и с руками, поднятыми над головой. Так как Jω = const, то во втором случае момент инерции J уменьшается, значит, при этом должна возрасти угловая скорость щ, так как Jω = const.

Закон сохранения энергии

Энергия – это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Энергия, отданная одним телом другому, всегда равна энергии, полученной другим телом. Для количественной оценки процесса обмена энергией между взаимодействующими телами в механике вводится понятие работы силы, вызывающей движение.

Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы. Сила, вызывающая движение тела, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Как известно, тело массой m, движущееся со скоростьюv, обладает кинетической энергиейE =mv 2 /2.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, которые взаимодействуют посредством силовых полей, например посредством гравитационных сил. Работа, совершаемая этими силами, при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от траектории движения, а зависит только от начального и конечного положения тела в силовом поле.

Такие силовые поля называют потенциальными, а силы, действующие в них, – консервативными. Гравитационные силы являются консервативными силами, а потенциальная энергия тела массойm, поднятого на высотуh над поверхностью Земли, равна

Е пот = mgh,

где g – ускорение свободного падения.

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

E = Е кин + Е пот

Закон сохранения механической энергии (1686 г., Лейбниц) гласит, что в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется неизменной во времени. При этом могут происходить превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах.

Существуют еще один вид систем, в которых механическая энергия может уменьшаться за счет преобразования в другие формы энергии. Например, при движении системы с трением часть механической энергии уменьшается за счет трения. Такие системы называются диссипативными, то есть системами, рассеивающими механическую энергию. В таких системах закон сохранения полной механической энергии несправедлив. Однако при уменьшении механической энергии всегда возникает эквивалентное этому уменьшению количество энергии другого вида. Таким образом,энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. Здесь проявляется свойство неуничтожимости материи и ее движения.