Об одном методе решения терминальных задач для аффинных систем
Инженерное образование # 11, ноябрь 2013
DOI: 10.7463/1113.0622543

На основе геометрического подхода предлагается метод решения терминальной задачи для многомерных аффинных систем. Задача решается в предположении, что система может быть преобразована к регулярному квазиканоническому виду. Сформулировано необходимое и достаточное условие существования решения для преобразованной системы. Доказано достаточное условие разрешимости терминальной задачи для таких систем квазиканонического вида, у которых размерность нелинейной подсистемы не превышает размерность управления. Предъявлен алгоритм построения решения терминальной задачи для данного класса систем. Приведен числовой пример, иллюстрирующий работу алгоритма.

Решение терминальных задач для аффинных систем
Инженерное образование # 10, октябрь 2013
DOI: 10.7463/1013.0604151

Предлагается метод решения терминальной задачи для аффинных систем. Метод основан на преобразовании рассматриваемой системы к квазиканоническому виду. При этом предполагается, что в системе квазиканонического вида подсистемы канонического вида двумерны. Доказывается достаточное условие существования решения терминальной задачи. Предлагается численная процедура построения решения терминальной задачи для аффинных систем, эквивалентных системам квазиканонического вида с дву ерными подсистемами канонического вида. Приводится пример построения решения терминальной задачи в соответствии с предложенным методом.

Управляемость регулярных систем квазиканонического вида с двумерной нулевой динамикой и скалярным управлением
Инженерное образование # 10, октябрь 2012
DOI: 10.7463/1012.0465329

Предлагается метод решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с двумерной нулевой динамикой и скалярным управлением. Приведен пример решения терминальной задачи в соответствии с предложенным методом. Доказано достаточное условие управляемости регулярных систем квазиканонического вида с двумерной нулевой динамикой и скалярным управлением на всем пространстве состояний за любое конечное время. Применение полученного условия проиллюстрировано на примере системы четвертого порядка.

Достаточное условие управляемости аффинной системы
Инженерное образование # 08, август 2012
DOI: 10.7463/0812.0445546

В статье рассмотрена проблема управляемости аффинных систем со скалярным управлением. Основное предположение - рассматриваемая система эквивалентна системе квазиканонического вида, регулярной на всем пространстве состояний. Для регулярной системы квазиканонического вида получено достаточное условие существования решения терминальной задачи. С помощью этого условия показано, что при выполнении некоторых условий терминальная задача для регулярной системы квазиканонического вида имеет решение для любых начального и конечного состояний системы на любом конечном интервале времени. Тем самым доказано достаточное условие управляемости для рассматриваемого класса систем. Возможной областью применения полученных результатов является решение задач управления техническими системами.

77-30569/236936 Условие управляемости аффинной системы
Инженерное образование # 10, октябрь 2011

Рассмотрена проблема управляемости аффинной системы со скалярным управлением на всем пространстве состояний за любой конечный интервал времени. Исследование основано на приведении системы к квазиканоническому виду и дальнейшем анализе существования решений терминальных задач для преобразованной системы. Показано, что для системы с правой частью специального вида терминальная задача имеет решение для любых начального и конечного состояний системы и любого интервала времени. Тем самым доказано, что такая система управляема на всем пространстве состояний за любой конечный интервал времени. Возможной областью применения полученных результатов является решение задач управления техническими системами.

стр.
ВВЕДЕНИЕ 4

1. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ
СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ОДНОМЕР
ВЛЕНИЕМ 9

Свойства управляемости и достижимости для систем управления. 9

Преобразование аффинных систем со скалярным управлением к квазиканоническому виду 10

Терминальная задача для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным управлением 11

Поиск функции B(t) 15

Первое условие управляемости 16

Второе условие управляемости 33

Третье условие управляемости 37

Теорема сравнения 40

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ
СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ДВУМЕР
НОЙ НУЛЕВОЙ ДИНАМИКОЙ И СКАЛЯРНЫМ УПРА
ВЛЕНИЕМ 45

Поиск функции B(t) 45

Условие управляемости 46

Теорема сравнения 58

3. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ
СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ВЕКТОР
НЫМ УПРАВЛЕНИЕМ 65

3.1. Преобразование аффинных систем с векторным управле
нием к квазиканоническому виду 65

Терминальная задача для регулярных систем квазиканонического вида с векторным управлением 67

Случай р = 1 70

Поиск функций В] (t), ..., B m (t) 70

Условия управляемости 71

3.4. Случай р~т = 2 76

Поиск функций Bi(), В 2 () 76

Первая теорема сравнения 77

Условие управляемости 82

Вторая теорема сравнения 90

3.5. Случай р ~ 2, т > 2 92

3.5.1, Поиск функций B[(t), ..., B m (t) 93

3.5.2. Условия управляемости 93

3.6. Выводы 100

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 101

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 101

ПРИЛОЖЕНИЕ. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИ
ЖЕНИЯ ПО ЛЕСТНИЦЕ ПЯТИЗВЕННОГО ДВУНОГОГО
РОБОТА НА ОСНОВЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМЫ НУ
ЛЕВОЙ ДИНАМИКИ 111

П.1. Нормальная форма аффинной системы с векторным

управлением 111

П.2. Модель движения по лестнице пятизвенного двуногого

робота 113

П.З. Исследование системы нулевой динамики 122

П.4. Результаты вычислительного эксперимента 136

Введение к работе

Актуальность темы. Значительный раздел современной теории управления составляет проблема управляемости динамических систем. Наиболее полно разработана теория управляемости линейных систем, для которых получены необходимые и достаточные условия управляемости . Известен следующий результат: линейная система управляема тогда и только тогда, когда она эквивалентна системе канонического вида. За последние десятилетия получено много результатов и по исследованию нелинейных систем .

Значительная часть работ посвящена исследованию локальной управляемости нелинейных систем. Задача локальной управляемости заключается в установлении условий, при которых все траектории системы, выходящие из фиксированной точки, заполняют полную окрестность данной точки, не покидая этой окрестности. Известен принцип линеаризации : аффинная система локально управляема в окрестности точки, в которой управляемо линейное приближение этой системы. Для случаев, когда по линейному приближению системы о локальной управляемости судить нельзя, получены соответствующие условия высших порядков (см., напр., ).

В связи с этим представляется актуальным получить для нелинейной системы условия управляемости на всей области ее определения за любой конечный интервал времени.

Одним из направлений анализа управляемости нелинейных систем является подход, заключающийся в преобразовании исходной системы в некоторую эквивалентную систему того или иного специального вида, для которого рассматриваемая задача может быть решена с помощью известных методов. Эта идея использована для исследования управляемости нелинейных систем в работах . Так, в монографии для неавтономных систем предложен способ приведения системы к треугольной форме, дающий возможность для определенного класса систем получить достаточные условия управляемости.

С исследованием управляемости динамических систем тесно связаны вопросы существования решений терминальных задач. В работах изложен метод построения алгоритмов терминального управления, основанный на дифференциально-геометрическом подходе к нелинейным системам и концепции обратных задач динамики. В рамках метода рассматриваемая аффинная система преобразуется к эквивалентному регулярному каноническому виду, после чего на основе концепции обратных задач динамики строится программное движение, состоящее из программных управлений и соответствующих им программных траекторий, которые удовлетворяют граничным условиям и уравнениям движения. С использованием этого метода показано, что если аффинная система эквивалентна регулярной системе канонического вида, определенной на всем пространстве состояний, то эта система управляема.

Основное предположение изложенного метода - эквивалентность аффинной системы регулярной системе канонического вида - выполнено далеко не для всех аффинных систем. В связи с этим представляется актуальным расширить класс управляемых систем за счет введения в рассмотрение систем квазиканонического вида .

В данной работе рассматриваются аффинные системы, которые в области определения эквивалентны регулярной системе квазиканонического вида, определенной на всем пространстве состояний. Исследование управляемости для преобразованной системы проводится на основе анализа существования решений терминальных задач.

К исследованию аффинных систем с нулевой динамикой приводит решение целого ряда практических задач. Среди них можно выделить задачу моделирования движений различных шагающих механизмов. Значительное место в этих исследованиях занимает разработка алгоритмов управления плоским перемещением двз^ногих шагающих роботов .

Одной из задач, рассматриваемых в этих работах, является задача построения периодического движения робота по некоторой поверхности. Главная сложность, возникающая при решении этой задачи, состоит в необходимости анализировать динамические системы большой размерности. Так, для пятизвенного шагающего механизма система уравнений, описывающая движение механизма на каждом шаге, имеет десятый порядок. Представляется актуальным предложить метод решения, дающий приемлемые результаты на основе анализа системы уравнений меньшей размерности.

Один из возможных вариантов такого метода состоит в преобразовании исходной аффинной системы к нормальной форме и сведение исследования преобразованной системы к исследованию системы уравнений нулевой динамики, имеющей второй порядок.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида, разработка методов решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой и получение условий управляемости таких систем.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и различные численные методы.

Научная новизна. Получены необходимые и достаточные условия существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным и векторным управлением.

Разработан метод решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

С помощью разработанного метода доказаны достаточные условия управляемости регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами математического моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления, позволяют решать терминальные задачи для аффинных систем, исследовать управляемость регулярных систем квазиканонического вида и разрабатывать алгоритмы управления различными шагающими механизмами.

На защиту выносятся следующие положения.

Необходимые и достаточные условия существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным и векторным управлением.

Метод решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

Достаточные условия управляемости регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VIII международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е.С. Пятницкого, проходившем в 2004 г. в Москве, на 2-й Московской конференции "Декомпозиционные методы в математическом моделировании и информатике", проходившей в 2004 г. в Москве, а, также на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е. С. Пятницкого, проходившем в 2006 г. в Москве.

Фетисов Дмитрий Анатольевич ,

кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

показать расписание

Направление научной работы : Математическое моделирование процессов управления .

Список трудов

1. Фетисов Д.А. Дисковый излучатель // Студенческая научная весна - 2001: Сборник докладов студенческой научной конференции. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - С. 91.
2. Крищенко А.П., Ткачев С.Б., Фетисов Д.А. Управление плоским перемещением двуногого пятизвенного робота // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. - 2003. - Вып. 3. - C. 201-216.
3. Фетисов Д.А., Ткачев С.Б. Исследование системы уравнений нулевой динамики для пятизвенного шагающего механизма // Декомпозиционные методы в математическом моделировании и информатике: Тезисы докладов 2-й Московской конференции. - Москва, 2004. - С.102-103.
4. Фетисов Д.А. Управление плоским перемещением пятизвенного двуногого робота по лестнице // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VIII международного семинара. - Москва, 2004. - С. 186-187.
5. Фетисов Д.А. Управляемость регулярных систем квазиканонического вида // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX международного семинара. - Москва, 2006. - С.274-275.
6. Крищенко А.П., Ткачев С.Б., Фетисов Д.А. Управление плоским перемещением двуногого пятизвенного робота по лестнице // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. - 2006. - №1. - С.38-64.
7. Фетисов Д.А. Исследование управляемости регулярных систем квазиканонического вида // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. - 2006. - №3. - С.12-30.

Вы думате, что вы русский? Родились в СССР и думаете, что вы русский, украинец, белорус? Нет. Это не так.

Вы на самом деле русский, украинец или белорус. Но думате вы, что вы еврей.

Дичь? Неправильное слово. Правильное слово “импринтинг”.

Новорожденный ассоциирует себя с теми чертами лица, которые наблюдает сразу после рождения. Этот природный механизм свойственен большинству живых существ, обладающих зрением.

Новорожденные в СССР несколько первых дней видели мать минимум времени кормления, а большую часть времени видели лица персонала роддома. По странному стечению обстоятельств они были (и остаются до сих пор) по большей части еврейскими. Прием дикий по своей сути и эффективности.

Все детство вы недоумевали, почему живете в окружении неродных людей. Редкие евреи на вашем пути могли делать с вами все что угодно, ведь вы к ним тянулись, а других отталкивали. Да и сейчас могут.

Исправить это вы не сможете – импринтинг одноразовый и на всю жизнь. Понять это сложно, инстинкт оформился, когда вам было еще очень далеко до способности формулировать. С того момента не сохранилось ни слов, ни подробностей. Остались только черты лиц в глубине памяти. Те черты, которые вы считаете своими родными.

Система и наблюдатель

Определим систему, как объект, существование которого не вызывает сомнений.

Наблюдатель системы - объект не являющийся частью наблюдаемой им системы, то есть определяющий свое существование в том числе и через независящие от системы факторы.

Наблюдатель с точки зрения системы является источником хаоса - как управляющих воздействий, так и последствий наблюдательных измерений, не имеющих причинно-следственной связи с системой.

Внутренний наблюдатель - потенциально достижимый для системы объект в отношении которого возможна инверсия каналов наблюдения и управляющего воздействия.

Внешний наблюдатель - даже потенциально недостижимый для системы объект, находящийся за горизонтом событий системы (пространственным и временным).

Гипотеза №1. Всевидящее око

Предположим, что наша вселенная является системой и у нее есть внешний наблюдатель. Тогда наблюдательные измерения могут происходить например с помощью «гравитационного излучения» пронизывающего вселенную со всех сторон извне. Сечение захвата «гравитационного излучения» пропорционально массе объекта, и проекция «тени» от этого захвата на другой объект воспринимается как сила притяжения. Она будет пропорциональна произведению масс объектов и обратно пропорциональна расстоянию между ними, определяющим плотность «тени».

Захват «гравитационного излучения» объектом увеличивает его хаотичность и воспринимается нами как течение времени. Объект непрозрачный для «гравитационного излучения», сечение захвата которого больше геометрического размера, внутри вселенной выглядит как черная дыра.

Гипотеза №2. Внутренний наблюдатель

Возможно, что наша вселенная наблюдает за собой сама. Например с помощью пар квантово запутанных частиц разнесенных в пространстве в качестве эталонов. Тогда пространство между ними насыщено вероятностью существования породившего эти частицы процесса, достигающей максимальной плотности на пересечении траекторий этих частиц. Существование этих частиц также означает отсутствие на траекториях объектов достаточно великого сечения захвата, способного поглотить эти частицы. Остальные предположения остаются такими же как и для первой гипотезы, кроме:

Течение времени

Стороннее наблюдение объекта, приближающегося к горизонту событий черной дыры, если определяющим фактором времени во вселенной является «внешний наблюдатель», будет замедляться ровно в два раза - тень от черной дыры перекроет ровно половину возможных траекторий «гравитационного излучения». Если же определяющим фактором является «внутренний наблюдатель», то тень перекроет всю траекторию взаимодействия и течение времени у падающего в черную дыру объекта полностью остановится для взгляда со стороны.

Также не исключена возможность комбинации этих гипотез в той или иной пропорции.