Чтобы измерить земной шар, нужно узнать величину его радиуса или длину его большой окружности, например измеряя пройденное расстояние в кругосветном путешествии вдоль экватора или меридианов. Но такие путешествия требовали больших затрат и в древности были технически неосуществимы.

В III веке до н. э. греческий ученый Эратосфен придумал удивительно простой способ измерения Земли, используемый и поныне. Если уже известно, что Земля — шар, то не обязательно измерять всю длину его окружности. Достаточно измерить длину лишь небольшой дуги окружности и определить, какую часть она составляет от всей окружности, то есть какую часть от 360 градусов составляет угол между радиусами, проведенными через концы дуги. Направление по радиусу на шаровой невращающейся планете совпадает с направлением силы тяжести и определяется по направлению отвеса в пространстве по отношению к звездам, например Полярной звезде. Таким образом, для вычисления радиуса Земли нужно измерить расстояние между какими-либо точками на ровном месте вдоль меридиана и измерить угол между направлениями отвесов в этих точках.

Эратосфен измерил углы между направлением на Солнце и направлениями отвесов в Александрии и Сиене. Разделив расстояние между этими городами на угол между направлениями отвесов в радианах, он определил радиус Земли в 6000-7000 километров. Измерения арабских ученых в VII веке н. э. уточнили значение радиуса Земли до 6400 километров.

Расстояния, недоступные для непосредственного измерения, в геодезии и астрономии вычисляют на основе свойства треугольника: по известной стороне и двум прилежащим углам можно вычислить все стороны треугольника.

Когда во многих местах земной поверхности были сделаны линейные и угловые измерения, то оказалось, что радиус кривизны поверхности не везде одинаков. Земля не точный шар, а благодаря вращению сплюснута с полюсов. В среднем нашу планету можно представить как эллипсоид вращения с экваториальным радиусом в 6378 километров и полярным радиусом в 6357 километров.

Кроме описанного геодезического метода изучения формы Земли, в настоящее время применяют гравиметрический и астрономический методы. Благодаря сплющенности Земли у экватора имеется избыточная масса по сравнению с полюсом. Поэтому сила притяжения направлена не точно на центр Земли, а несколько к экватору. Величина же этой силы на экваторе меньше, чем на полюсе, из-за большего расстояния до центра. Следовательно, форму Земли можно изучать по величине и направлению силы притяжения в разных точках земной поверхности, то есть гравиметрическим методом.

Гравиметрическим и астрономическим методами, кроме формы Земли, измеряется и ее масса. По закону всемирного тяготения Ньютона сила притяжения любых двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Измерив в лаборатории на крутильных весах силу притяжения двух пробных шаров, ученые вычислили коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной.

Ускорение, с которым тела падают на Землю на полюсах, вызывается только всемирным тяготением. Поэтому, умножив ускорение свободного падения на квадрат радиуса Земли и разделив на гравитационную постоянную, сразу находим массу Земли, равную 6 000 000 000 000 миллиардов тонн. Если измерять ускорение не на полюсе, а на произвольной широте и делать более точные вычисления, то Нужно учитывать центробежную силу, возникающую из-за вращения Земли. Современное значение массы Земли оценивается в 5 976 000 000 000 миллиардов тонн.

Ныне продолжаются гравиметрические и астрономические измерения силы притяжения на поверхности и над Землей с целью уточнения массы планеты.

Знание размеров, формы, массы и поля тяготения Земли помогает вычислять траектории спутников и ракет.

Как взвесить Солнце?

В повседневной жизни тяготение тел друг к другу (кроме силы тяжести) неощутимо. Слишком ничтожно мала гравитация (т. е. тяготение) по сравнению с другими силами. Лишь исполинские массы Земли и других космических тел создают иллюзию мощности тяготения. Но только очень тонкими экспериментами удается измерить, как притягивают друг друга небольшие тела.

Первый успешный опыт такого рода был проделан еще в 1798 г. соотечественником Ньютона Г. Кавендишем (1731-1810). Его установка, получившая название крутильных весов (рис. 34), состояла из двух маленьких шариков (в), соединенных стержнем, который подвешивался на кварцевой нити. Вблизи этих шариков Кавендиш помещал два массивных свинцовых шара (В). Эти шары, притягивая концы стержня, закручивали кварцевую нить. По закручиванию нити можно вычислить силу притяжения F. По закону тяготения

где m 1 и m 2 - массы маленьких шариков, r - расстояние между ними и большими шарами, a G - коэффициент пропорциональности, называемый постоянной тяготения, значение которого можно определить из указанной формулы:

Зная G и используя закон тяготения, можно определить массу Земли и других космических тел. В самом деле, пусть масса Земли М. Тогда любое тело массой т притягивается Землей с силой

где R - радиус Земли. Отсюда масса земного шара равна

Подставив в формулу известное значение величин, получим

По закону тяготения Земля и Луна обращаются вокруг общего центра тяжести С, который лежит внутри Земли. Обозначим его расстояние до центра Земли буквой х. Тогда по законам механики

где М - масса Земли, m - масса Луны, а r - расстояние между ними. Из-за движения Земли вокруг точки С меняется астрономическая долгота Солнца (по сравнению с той, которая была бы при отсутствии такого движения). Точные астрономические измерения приводят к выводу, что х = 4635 км и, следовательно,

"Взвесив" Луну, или, точнее говоря, определив ее массу, можно перейти к "взвешиванию" Солнца. Пусть некоторая планета массой т имеет спутник массой m 1 . Массу Солнца обозначим М, а периоды обращения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты соответственно Т и T 1 . Тогда по уточненному третьему закону Кеплера следует:

где а и a 1 - полуоси орбит планеты и спутника. Так как масса планеты мала по сравнению с массой Солнца, а у спутника много меньше, чем у планеты, приходим к приближенному равенству

Отрицательный результат для величины ближайшего расстояния кометы от Солнца указывает на несогласованность исходных данных задачи. Другими словами, комета со столь коротким периодом обращения – 2 года – не могла бы уходить от Солнца так далеко, как указано в романе Жюля Верна.

Как взвесили Землю?

Существует анекдотический рассказ про наивного человека, которого всего более удивляло в астрономии то, что ученые узнали, как звезды называются. Если говорить серьезно, то наиболее удивительным достижением астрономов должно, вероятно, казаться то что им удалось взвесить и Землю, на которой мы живем, и далекие небесные светила. В самом деле: каким способом, на каких весах могли взвесить Землю и небо?

Рис. 87. На каких весах могли взвесить Землю?

Начнем со взвешивания Земли. Прежде всего отдадим себе отчет, что следует понимать под словами «вес земного шара». Весом тела мы называем давление, которое оно оказывает на свою опору, или натяжение, которое оно производит на точку привеса. Ни то, ни другое к земному шару неприменимо: Земля ни на что не опирается, ни к чему не привешена. Значит, в таком смысле земной шар не имеет веса. Что же определили ученые, «взвесив» Землю? Они определили ее массу. В сущности, когда мы просим отвесить нам в лавке 1 кг сахара, нас нисколько ведь не интересует сила, с какой этот сахар давит на опору или натягивает нить привеса. В сахаре нас интересует другое: мы думаем лишь о том, сколько стаканов чая можно с ним выпить, другими словами, нас интересует количество заключающегося в нем вещества.

Но для измерения количества вещества существует только один способ: найти, с какой силой тело притягивается Землей. Мы принимаем, что равным массам отвечают равные количества вещества, а о массе тела судим только по силе его притяжения, так как притяжение пропорционально массе.

Переходя к весу Земли, мы скажем, что «вес» ее определится, если станет известна ее масса; итак, задачу определения веса Земли надо понимать как задачу исчисления ее массы.

Рис. 88. Один из способов определения массы Земли: весы Йолли

Опишем один из способов ее решения (способ Йолли, 1871). На рис. 88 вы видите очень чувствительные чашечные весы, в которых к каждому концу коромысла подвешены две легкие чашки: верхняя и нижняя. Расстояние от верхней до нижней 20–25 см. На правую нижнюю чашку кладем сферический груз массой m v Для равновесия на левую верхнюю чашку положим груз т т Эти грузы не равны, так как, находясь на разной высоте, они с разной силой притягиваются Землей. Если под правую нижнюю чашку подвести большой свинцовый шар с массой М, то равновесие весов нарушится, так как масса m l будет притягиваться массой свинцового шара М с силой F v пропорциональной произведению этих масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния d, разделяющего их центры:

где к – так называемая постоянная тяготения.

Чтобы восстановить нарушенное равновесие, положим на верхнюю левую чашку весов малый груз массой п. Сила, с которой он давит на чашку весов, равна его весу, т. е. равна силе притяжения этого груза массой всей Земли. Эта сила F равна

Пренебрегая тем ничтожным влиянием, которое присутствие свинцового шара оказывает на грузы, лежащие на верхней левой чашке, мы можем написать условие равновесия в следующем виде:

В этом соотношении все величины, кроме массы Земли

Могут быть измерены. Отсюда определим

В тех опытах, о которых говорилось, М= 5775,2 кг, R = 6366 км, d = 56,86 см, m 1 = 5,00 кг и п = 589 мг.

В итоге масса Земли оказывается равной 6,15 х 10 27 г.

Современное определение массы Земли, основанное на большом ряде измерений, дает

5,974 х 10 27 г, т. е. около 6 тысяч триллионов тонн. Возможная ошибка определения этой величины не более 0,1 %.

Итак, астрономы определили массу земного шара. Мы имеем полное право сказать, что они взвесили Землю, потому что всякий раз, когда мы взвешиваем тело на рычажных весах, мы, в сущности, определяем не в е с его, не силу, с какой оно притягивается Землей, а массу: мы устанавливаем лишь, что масса тела равна массе гирь.

Из чего состоят недра Земли?

Здесь уместно отметить ошибку, которую приходится встречать в популярных книгах и статьях. Стремясь упростить изложение, авторы представляют дело взвешивания Земли так: ученые измерили средний вес 1 см 3 нашей планеты (т. е. ее удельный вес) и, вычислив геометрически ее объем, определили вес Земли умножением ее удельного веса на объем. Указываемый путь, однако, неосуществим: нельзя непосредственно измерить удельный вес Земли, так как нам доступна только сравнительно тонкая наружная ее оболочка и ничего не известно о том, из каких веществ состоит остальная, значительно большая часть ее объема.

Мы уже знаем, что дело происходило какраз наоборот: определение массы земного шара предшествовало определению его средней плотности. Она оказалась равной 5,5 г на 1 см 3 – гораздо больше, чем средняя плотность пород, составляющих земную кору. Это указывает на то, что в глубине земного шара залегают очень тяжелые вещества. По их предполагаемому удельному весу (а также и по другим основаниям) раньше думали, что ядро нашей планеты состоит из ж е л е з а, сильно уплотненного давлением вышележащих масс. Сейчас считают, что в общем центральные области Земли не отличаются по составу от коры, но плотность их больше вследствие огромного давления.

Вес Солнца и Луны

Как ни странно, вес далекого Солнца оказывается несравненно проще определить, чем вес гораздо более близкой к нам Луны. (Само собой разумеется, что слово «вес» по отношению к этим светилам мы употребляем в том же условном смысле, как и для Земли: речь идет об определении массы.)

Масса Солнца найдена путем следующего рассуждения. Опыт показал, что 1 г притягивает 1 г на расстоянии I см с силой, равной 1/15 000 000 мг. Взаимное притяжение f двух тел с массами М и т на расстоянии D выразится согласно закону всемирного тяготения так:

Если М – масса Солнца (в граммах), т – масса Земли, D – расстояние между ними, равное 150 000 000 км, то взаимное их притяжение в миллиграммах равно (1/15 000 000)х(15 000 000 000 000 2)мг С другой стороны, эта сила притяжения есть та центростремительная сила, которая удерживает нашу планету на ее орбите и которая по правилам механики равна (тоже в миллиграммах) mV 2 /D, где т – масса Земли (в граммах), V – ее круговая скорость, равная 30 км/с = 3 000 000 см/с, a D – расстояние от Земли до Солнца. Следовательно,

Из этого уравнения определяется неизвестное М (выраженное, как сказано, в граммах):

М=2х10 33 г = 2х10 27 т.

Разделив эту массу на массу земного шара, т. е. вычислив

получаем 1/3 миллиона.

Другой способ определения массы Солнца основан на использовании третьего закона Кеплера. Из закона всемирного тяготения третий закон выводится в следующей форме:

– масса Солнца, Т – звездный период обращения планеты, а – среднее расстояние планеты от Солнца им– масса планеты. Применяя этот закон к Земле и Луне, получим

Подставляя известные из наблюдений

и пренебрегая в первом приближении в числителе массой Земли, малой по сравнению с массой Солнца, а в знаменателе массой Луны, малой по сравнению с массой Земли, получим

Зная массу Земли, получим массу Солнца.

Итак, Солнце тяжелее Земли в треть миллиона раз. Нетрудно вычислить и среднюю плотность солнечного шара: для этого нужно лишь его массу разделить на объем. Оказывается, что плотность Солнца примерно в четыре раза меньше плотности Земли.

Что же касается массы Луны, то, как выразился один астроном, «хотя она к нам ближе всех других небесных тел, взвесить ее труднее, чем Нептун, самую далекую (тогда) планету». У Луны нет спутника, который помог бы вычислить ее массу, как вычислили мы сейчас массу Солнца. Ученым пришлось прибегнуть к другим, более сложным методам, из которых упомянем только один. Он состоит в том, что сравнивают высоту прилива, производимого Солнцем, и прилива, порождаемого Луной.

Высота прилива зависит от массы и расстояния порождающего его тела, а так как масса и расстояние Солнца известны, расстояние Луны – тоже, то из сравнения высоты приливов и определяется масса Луны. Мы еще вернемся к этому расчету, когда будем говорить о приливах. Здесь сообщим лишь окончательный результат: масса Луны составляет 1/81 массы Земли (рис. 89).

Зная диаметр Луны, вычислим ее объем; он оказывается в 49 раз меньшим объема Земли. Поэтому средняя плотность нашего спутника составляет 49/81 =0,6 плотности Земли.

Рис. 89. Земля «весит» в 81 раз больше Луны

Значит, Луна в среднем состоит из более рыхлого вещества, нежели Земля, но более плотного, чем Солнце. Дальше мы увидим (см. табличку на стр. 199), что средняя плотность Луны выше средней плотности большинства планет.

Вес и плотность планет и звезд

Способ, каким «взвесили» Солнце, применим и к взвешиванию любой планеты, имеющей хотя бы один спутник.

Зная среднюю скорость v движения спутника по орбите и его среднее расстояние D от планеты, мы приравниваем центростремительную силу, удерживающую спутник на его орбите, mv 2 /D, силе взаимного притяжения спутника и планеты, т. е. kmM/D 2 , где к – сила притяжения 1 г к 1 г на расстоянии 1 см, m – масса спутника, М – масса планеты:

По этой формуле легко вычислить массу M планеты.

Третий закон Кеплера применим и к этому случаю:

И здесь, пренебрегая в скобках малыми слагаемыми, получим отношение массы Солнца к массе планеты

Зная массу Солнца, можно легко определить массу планеты.

Подобное же вычисление применимо и к двойным звездам с той лишь разницей, что здесь в результате вычисления получаются не массы отдельных звезд данной пары, а с у м м а их масс.

Гораздо труднее определить массу спутников планет, а также массу тех планет, которые вовсе не имеют спутников.

Например, массы Меркурия и Венеры найдены из учета того возмущающего влияния, которое они оказывают друг на друга, на Землю, а также на движение некоторых комет.

Для астероидов, масса которых настолько незначительна, что они не оказывают один на другой никакого заметного возмущающего действия, задача определения массы, вообще говоря, неразрешима. Известен лишь – и то гадательно – высший предел совокупной массы всех этих крошечных планеток.

По массе и объему планет легко вычисляется их средняя плотность. Результаты сведены в следующую табличку:

Мы видим, что наша Земля и Венера – самые плотные из всех планет нашей системы. Малые средние плотности больших планет объясняются тем, что твердое ядро каждой большой планеты покрыто громадным слоем атмосферы, которая обладает малой массой, но весьма увеличивает видимый объем планеты.

Тяжесть на Луне и на планетах

Люди, мало начитанные в астрономии, нередко высказывают изумление по поводу того, что ученые, не посетив Луны и планет, уверенно говорят о силе тяжести на их поверхности. Между тем совсем нетрудно рассчитать, сколько килограммов должна весить гиря, перенесенная на другие миры. Для этого нужно лишь знать радиус и массу небесного тела.

Определим, например, напряжение силы тяжести на Луне. Масса Луны, как мы знаем, в 81 раз меньше массы Земли. Если бы Земля обладала такой маленькой массой, то напряжение силы тяжести на ее поверхности было бы в 81 раз слабее, чем теперь. Но по закону Ньютона шар притягивает так, словно вся его масса сосредоточена в центре. Центр Земли отстоит от ее поверхности на расстоянии земного радиуса, центр Луны – на расстоянии лунного радиуса. Но лунный радиус составляет 27/100 земного, а от уменьшения расстояния в 100/27 раза сила притяжения увеличивается в (100/27) 2 раз. Значит, в конечном итоге напряжение силы тяжести на поверхности Луны составляет

Итак, гиря в 1 кг, перенесенная на поверхность

Луны, весила бы там только 1/6 кг, но, конечно, уменьшение веса можно было бы обнаружить только с помощью пружинных весов (рис. 90), а не рычажных.

Рис. 90. Сколько весил бы человек на разных планетах. Вес человека на Плутоне – не 18 кг, а всего лишь 3,6 кг (по современным данным)

Любопытно, что если бы на Луне существовала вода, пловец чувствовал бы себя в лунном водоеме так же, как на Земле. Его вес уменьшился бы в шесть раз, но во столько же раз уменьшился бы и вес вытесняемой им воды; соотношение между ними было бы такое же, как на Земле, и пловец погружался бы в воду Луны ровно на столько же, на сколько погружается он у нас.

Впрочем, усилия подняться над водой дали бы на Луне более заметный результат: раз вес тела пловца уменьшился, оно может быть поднято меньшим напряжением мускулов.

Ниже приведена табличка величины силы тяжести на разных планетах по сравнению с земной.

Как видно из таблички, наша Земля по силе тяжести стоит на пятом месте в солнечной системе после Юпитера, Нептуна, Сатурна и Урана.

Рекордная тяжесть

Самой большой величины достигает сила тяжести на поверхности тех «белых карликов» типа Сириуса В, о котором мы говорили в главе IV. Легко сообразить, что огромная масса этих светил при сравнительно небольшом радиусе должна обусловить весьма значительное напряжение силы тяжести на их поверхности. Сделаем расчет для той звезды созвездия Кассиопеи, масса которой в 2,8 раза больше массы нашего Солнца, а радиус – вдвое меньше радиуса Земли. Вспомнив, что масса Солнца в 330 000 раз больше земной, устанавливаем, что сила тяжести на поверхности упомянутой звезды превышает земную в

2,8 330 000 2 2 = 3 700 000 раз.

1 см 3 воды, весящий на Земле 1 г, весил бы на поверхности этой звезды почти 3 3 / 4 т! 1 см 3 вещества самой звезды (которое в 36 000 000 раз плотнее воды) должен в этом удивительном мире иметь чудовищный вес

3 700 000 36 000 000 = 133 200 000 000 000 г.

Наперсток вещества, весящий сто миллионов тонн, – вот диковинка, о существовании которой во вселенной не помышляли еще недавно самые смелые фантасты.

Тяжесть в глубине планет

Как изменился бы вес тела, если бы оно было перенесено в глубь планеты, например, на дно фантастической глубокой шахты?

Многие ошибочно считают, что на дне такой шахты тело должно сделаться тяжелее: ведь оно ближе к центру планеты, т. е. к той точке, к которой притягиваются все тела. Это соображение, однако, неправильно: сила притяжения к центру планеты не возрастает на глубине, а, напротив, ослабевает. Общепонятное разъяснение этого читатель может найти в моей «Занимательной физике». Чтобы не повторять сказанного там, замечу лишь следующее.

В механике доказывается, что тела, помещенные в полость однородной шаровой оболочки, совсем лишены веса (рис. 91). Отсюда следует, что тело, находящееся внутри сплошного однородного шара, подвержено притяжению только той части вещества, которая заключена в шаре с радиусом, равным удалению тела от центра (рис. 92).

Рис. 91. Тело внутри шаровой оболочки не имеет веса

Рис. 92. От чего зависит вес тела в недрах планеты?

Рис. 93. К вычислению изменения веса тела с приближением к центру планеты

Опираясь на эти положения, нетрудно вывести закон, по которому изменяется вес тела с приближением к центру планеты. Обозначим радиус планеты (рис. 93) через R и расстояние тела от ее центра через r . Сила притяжения тела в этой точке должна возрасти в (R/r) 2 раз и одновременно ослабеть в (R/r) 3 раз (так как притягивающая часть планеты уменьшилась в указанное число раз). В конечном итоге сила притяжения должна ослабеть в

Значит, в глубине планет вес тела должен уменьшиться во столько же раз, во сколько раз уменьшилось расстояние до Реферат

Философом. Киркегардт - одно из самых ярких выражений экзистенциальной философии. Сам я давно уже, в книге , написанной более... в нем , доступной ему только зрительно, картиной звездного неба и планет *. Для изучения небесных светил и построенного из ...

Всякий раз, когда моя книга выходит в свет и направляется к читателю, я испытываю острое волнение. Так было в дни моей житейской и литературной молодости, когд

Документ

... читатель берет книгу . Что он ждет от книги ... увлекательный , ... удивительной ... происходящих ... Перед слушателями вставала живая картина работы Второго съезда, напряженной и страстной борьбы на нем ... одну из самых широких ... звездное небо ... интересах одного ... пространства , ...

Как взвесили Землю?

Существует анекдотический рассказ про наивного человека, которого всего более удивляло в астрономии то, что ученые узнали, как звезды называются. Если говорить серьезно, то наиболее удивительным достижением астрономов должно, вероятно, казаться то, что им удалось взвесить и Землю, на которой мы живем, и далекие небесные светила. В самом деле: каким способом, на каких весах могли взвесить Землю и небо?

Рис. 87.

Начнем со взвешивания Земли. Прежде всего отдадим себе отчет, что следует понимать под словами «вес земного шара». Весом тела мы называем давление, которое оно оказывает на свою опору, или натяжение, которое оно производит на точку привеса. Ни то, ни другое к земному шару неприменимо: Земля ни на что не опирается, ни к чему не привешена. Значит, в таком смысле земной шар не имеет веса. Что же определили ученые, «взвесив» Землю? Они определили ее массу. В сущности, когда мы просим отвесить нам в лавке 1 кг сахара, нас нисколько ведь не интересует сила, с какой этот сахар давит на опору или натягивает нить привеса. В сахаре нас интересует другое: мы думаем лишь о том, сколько стаканов чая можно с ним выпить, другими словами, нас интересует количество заключающегося в нем вещества.

Но для измерения количества вещества существует только один способ: найти, с какой силой тело притягивается Землей. Мы принимаем, что равным массам отвечают равные количества вещества, а о массе тела судим только по силе его притяжения, так как притяжение пропорционально массе.

Переходя к весу Земли, мы скажем, что «вес» ее определится, если станет известна ее масса; итак, задачу определения веса Земли надо понимать как задачу исчисления ее массы.

Опишем один из способов ее решения (способ Йолли, 1871). На рис. 88 вы видите очень чувствительные чашечные весы, в которых к каждому концу коромысла подвешены две легкие чашки: верхняя и нижняя. Расстояние от верхней до нижней 20-25 см. На правую нижнюю чашку кладем сферический груз массой m v Для равновесия на левую верхнюю чашку положим груз т 2 . Эти грузы не равны, так как, находясь на разной высоте, они с разной силой притягиваются Землей. Если под правую нижнюю чашку подвести большой свинцовый шар с массой М, то равновесие весов нарушится, так как масса т ь будет притягиваться массой свинцового шара М с силой F u пропорциональной произведению этих масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния d, разделяющего их центры:

где к - так называемая постоянная тяготения,

Рис. 88. Один из способов определения массы Земли: весы Йолли

Чтобы восстановить нарушенное равновесие, положим на верхнюю левую чашку весов малый груз массой п. Сила, с которой он давит на чашку весов, равна его весу, т. е. равна силе притяжения этого груза массой всей Земли. Эта сила F равна

где Mg - масса Земли, a R - ее радиус.

Пренебрегая тем ничтожным влиянием, которое присутствие свинцового шара оказывает на грузы, лежащие на верхней левой чашке, мы можем написать условие равновесия в следующем виде:

В этом соотношении все величины, кроме массы Земли Mg, могут быть измерены. Отсюда определим Mg . В тех опытах, о которых говорилось, М = 5775,2 кг, R = 6366 км, d = 56,86 см, т 1 = 5,00 кг и п = 589 мг.

В итоге масса Земли оказывается равной 6,15 х 10 27 г.

Современное определение массы Земли, основанное на большом ряде измерений, дает Mg = 5,974 х 10 27 г, т. е. около 6 тысяч триллионов тонн. Возможная ошибка определения этой величины не более 0,1 %.

Итак, астрономы определили массу земного шара. Мы имеем полное право сказать, что они взвесили Землю, потому что всякий раз, когда мы взвешиваем тело на рычажных весах, мы, в сущности, определяем не вес его, не силу, с какой оно притягивается Землей, а массу : мы устанавливаем лишь, что масса тела равна массе гирь.

Обозначим неизвестное расстояние перигелия через x миллионов км. Большая ось орбиты кометы выразится тогда через x + 820 миллионов

км, а большая полуось через x 820 миллионов км. Сопоставляя период

обращения и расстояние кометы с периодом и расстоянием Земли, имеем по закону Кеплера

	x 820 3

x = –343.

Отрицательный результат для величины ближайшего расстояния кометы от Солнца указывает на несогласованность исходных данных задачи. Другими словами, комета со столь коротким периодом обращения – 2 года – не могла бы уходить от Солнца так далеко, как указано в романе Жюля Верна.

Как взвесили Землю?

Существует анекдотический рассказ про наивного человека, которого всего более удивляло в астрономии то, что учёные узнали, как звёзды называются. Если говорить серьёзно, то наиболее удивительным достижением астрономов должно, вероятно, казаться то, что им удалось взвесить и Землю, на которой мы живём, и далёкие небесные светила. В самом деле: каким способом, на каких весах могли взвесить Землю и небо?

Начнём со взвешивания Земли. Прежде всего отдадим себе отчёт, что следует понимать под словами «вес земного шара». Весом тела мы называем давление, которое оно оказывает на свою опору, или натяжение, которое оно производит на точку привеса. Ни то, ни другое к земному шару неприменимо: Земля ни на что не опирается, ни к чему не привешена. Значит, в таком смысле земной шар не имеет веса. Что же определили учёные, «взвесив» Землю? Они определили её массу. В сущности, когда мы просим отвесить нам в лавке 1 кг сахара, нас нисколько ведь не интересует сила, с какой этот сахар давит на опору или натягивает нить привеса. В сахаре нас интересует другое: мы думаем лишь о том, сколько стаканов чая можно с ним выпить, другими словами, нас интересует количество заключающегося в нём вещества.

Но для измерения количества вещества существует только один способ: найти, с какой силой тело притягивается Землёй. Мы принимаем, что равным массам отвечают равные количества вещества, а о массе тела судим только по силе его притяжения, так как притяжение пропорционально массе.

Переходя к весу Земли, мы скажем, что «вес» её определится, если станет известна её масса; итак, задачу определения веса Земли надо понимать как задачу исчисления её массы.

Опишем один из способов её решения (способ Йолли, 1871). На рис. 92 вы видите очень чувствительные чашечные весы, в которых к каждо-

му концу коромысла подвешены две лёгкие чашки: верхняя и нижняя. Расстояние от верхней до нижней 20–25 см. На правую нижнюю чашку кладём сферический груз массой m 1 . Для равновесия на левую верхнюю чашку положим груз m 2 . Эти грузы не равны, так как, находясь на разной высоте, они с разной силой притягиваются Землёй. Если под правую нижнюю чашку подвести большой свинцовый шар с массой М , то равновесие весов нарушится, так как масса m 1 будет притягиваться массой свинцового шара М с силой F 1 , пропорциональной произведению этих масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния d , разделяющего их центры:

F k m 1 M , d 2

где k – так называемая постоянная тяготения.

Чтобы восстановить нарушенное равновесие, положим на верхнюю левую чашку весов малый груз массой п. Сила, с которой он давит на чашку весов, равна его весу, т. е. равна силе притяжения этого груза массой всей Земли. Эта сила F" равна

F" kn M R 2

где M – масса Земли, a R – её радиус.

Пренебрегая тем ничтожным влиянием, которое присутствие свинцового шара оказывает на грузы, лежащие на верхней левой чашке, мы можем написать условие равновесия в следующем виде:

F F " или m d 1 M 2 n M R 2 .

В этом соотношении все величины, кроме массы Земли M , могут

быть измерены. Отсюда определим M . В тех опытах, о которых говорилось,

М = 5775,2 кг, R = 6366 км, d = 56,86 см, т 1 =5,00 кг и n = 589 мг.

В итоге масса Земли оказывается равной 6,15 × 1027 г. Современное определение массы Земли, основанное на большом ря-

де измерений, даёт M = 5,974 × 1027 г, т. е. около 6 тысяч триллионов

тонн. Возможная ошибка определения этой величины не более 0,1%. Итак, астрономы определили массу земного шара. Мы имеем полное

право сказать, что они взвесили Землю, потому что всякий раз, когда мы взвешиваем тело на рычажных весах, мы, в сущности, определяем не вес его, не силу, с какой оно притягивается Землёй, а массу: мы устанавливаем лишь, что масса тела равна массе гирь.

Из чего состоят недра Земли?

Здесь уместно отметить ошибку, которую приходится встречать в популярных книгах и статьях. Стремясь упростить изложение, авторы представляют дело взвешивания Земли так: учёные измерили средний вес 1 см3 нашей планеты (т. е. её удельный вес) и, вычислив геометрически её объём, определили вес Земли умножением её удельного веса на объём. Указываемый путь, однако, неосуществим: нельзя непосредственно измерить удельный вес Земли, так как нам доступна только сравнительно тонкая наружная её оболочка1) и ничего не известно о том, из каких веществ состоит остальная, значительно большая часть её объёма.

Мы уже знаем, что дело происходило как раз наоборот: определение массы земного шара предшествовало определению его средней плотности. Она оказалась равной 5,5 г на 1 см3 – гораздо больше, чем средняя плотность пород, составляющих земную кору. Это указывает на то, что в глубине земного шара залегают очень тяжёлые вещества. По их предполагаемому удельному весу (а также и по другим основаниям) раньше думали, что ядро нашей планеты состоит из железа, сильно уплотнённого давлением вышележащих масс. Сейчас считают, что в общем центральные области Земли не отличаются по составу от коры, но плотность их больше вследствие огромного давления.

Вес Солнца и Луны

Как ни странно, вес далёкого Солнца оказывается несравненно проще определить, чем вес гораздо более близкой к нам Луны. (Само собой разумеется, что слово «вес» по отношению к этим светилам мы употреб-

1) Минералы земной коры исследованы только до глубины 25 км; расчёт показывает, что в минералогическом отношении изучена всего 1 /83 объёма земного шара.

ляем в том же условном смысле, как и для Земли: речь идёт об определении массы.)

Масса Солнца найдена путём следующего рассуждения. Опыт пока-

мг. Взаимное притяжение f двух тел с массами М и m на расстоянии D выразится согласно закону всемирного тяготения так:

Если М – масса Солнца (в граммах), т – масса Земли, D – расстояние между ними, равное 150 000 000 км, то взаимное их притяжение в миллиграммах равно

			15 000 000 000 0002

С другой стороны, эта сила притяжения есть та центростремительная сила, которая удерживает нашу планету на её орбите и которая по пра-

вилам механики равна (тоже в миллиграммах) mV 2 , где т – масса Земли

(в граммах), V – её круговая скорость, равная 30 км/сек =3 000 000 см/сек, a D – расстояние от Земли до Солнца. Следовательно,

				3 000 0002

Из этого уравнения определяется неизвестное М (выраженное, как

сказано, в граммах):

М = 2 · 10 33 г = 2 · 10 27 т .

Разделив эту массу на массу земного шара, т. е. вычислив

2 10 27 ,

6 1021

получаем ⅓ миллиона.

Другой способ определения массы Солнца основан на использовании третьего закона Кеплера. Из закона всемирного тяготения третий закон выводится в следующей форме:

(M + m 1 ) T 1 2 a 1 3 ,

(M +m 2 )T 2 2 a 2 3

где,M – масса Солнца, Т – звёздный период обращения планеты, а –

среднее расстояние планеты от Солнца и m – масса планеты. Применяя этот закон к Земле и Луне, получим

(M +m ) T
(m + m ) T

Подставляя известные из наблюдений а, a и Т, T и пренебрегая в первом приближении в числителе массой Земли, малой по сравнению с

1) Точнее, дин; 1 дина = 0,98 мг.

массой Солнца, а в знаменателе массой Луны, малой по сравнению с массой Земли, получим

M 330 000. m

Зная массу Земли, получим массу Солнца.

Итак, Солнце тяжелее Земли в треть миллиона раз.

Нетрудно вычислить и среднюю плотность солнечного шара: для этого нужно лишь его массу разделить на объём. Оказывается, что плотность Солнца примерно в четыре раза меньше плотности Земли.

Что же касается массы Луны, то, как выразился один астроном, «хотя она к нам ближе всех других небесных тел, взвесить её труднее, чем Нептун, самую далёкую (тогда) планету». У Луны нет спутника, который помог бы вычислить её массу, как вычислили мы сейчас массу Солнца. Учёным пришлось прибегнуть к другим, более сложным методам, из которых упомянем только один. Он состоит в том, что сравнивают высоту прилива, производимого Солнцем, и прилива, порождаемого Луной.

Высота прилива зависит от массы и расстояния порождающего его тела, а так как масса и расстояние Солнца известны, расстояние Луны – тоже, то из сравнения высоты приливов и определяется масса Луны. Мы ещё вернёмся к этому расчёту, когда будем говорить о приливах. Здесь сообщим лишь окончательный результат: масса Луны составляет 1 массы Земли (рис. 93 ).

из более рыхлого вещества, нежели Земля, но более плотного, чем Солнце. Дальше мы увидим (см. табличку на стр. 157), что средняя плотность Луны выше средней плотности большинства планет.

Вес и плотность планет и звёзд

Способ, каким «взвесили» Солнце, применим и к взвешиванию любой планеты, имеющей хотя бы одного спутника.

Зная среднюю скорость v движения спутника по орбите и его среднее расстояние D от планеты, мы приравниваем центростремительную+ m спутника)

T планеты2

a планеты3

m планеты m спутника

T спутника2

a спутника3

И здесь, пренебрегая в скобках малыми слагаемыми, получим отно-

шение массы Солнца к массе планеты

Зная массу Солнца, мож-

но легко определить массу планеты.

m планеты

Подобное же вычисление применимо и к двойным звёздам с той лишь разницей, что здесь в результате вычисления получаются не массы отдельных звёзд данной пары, а сумма их масс.

Гораздо труднее определить массу спутников планет, а также массу тех планет, которые вовсе не имеют спутников.

Например, массы Меркурия и Венеры найдены из учёта того возмущающего влияния, которое они оказывают друг на друга, на Землю, а также на движение некоторых комет.

Для астероидов, масса которых настолько незначительна, что они не оказывают один на другой никакого заметного возмущающего действия, задача определения массы, вообще говоря, неразрешима. Известен лишь

– и то гадательно – высший предел совокупной массы всех этих крошечных планеток.

По массе и объёму планет легко вычисляется их средняя плотность. Результаты сведены в следующую табличку:

Мы видим, что наша Земля и Меркурий – самые плотные из всех планет нашей системы. Малые средние плотности больших планет объясняются тем, что твёрдое ядро каждой большой планеты покрыто гро-