Конспект урока "уравнение касательной к графику функции". Урок "уравнение касательной к графику функции" Номера из учебника

Слайд 8

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны

Параллельны ли прямые:

Слайд 9

Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Слайд 10

Геометрический смысл производной

Если к графику функции y = f (x)в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной

Слайд 11

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е. Причем, если: .

Слайд 12

Вывод уравнения касательной

Пусть прямая задана уравнением: уравнение касательной к графику функции

Слайд 13

Составить уравнение касательной:

к графику функции в точке

Слайд 14

к графику функции в точке

Слайд 15

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a. Вычислим. Найдем и. Подставим найденные числа a , в формулу

Слайд 16

Составить уравнение касательной к графику функции в точке.

Слайд 17

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой.

Слайд 18

Слайд 19

Самостоятельная работа

Слайд 20

Номера из учебника

№ 29.3 (а,в) № 29.12 (б,г) № 29.18 № 29.23 (а)

Слайд 21

Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке? В чем заключается геометрический смысл производной? Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Слайд 22

Домашняя работа

№ 29.3 (б,г) № 29.12 (а,в) № 29.19 № 29.23 (б)

Слайд 23

Литература

Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010 ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010

Посмотреть все слайды

Учитель: Горбунова С. В.

Тема урока: Уравнение касательной к графику функции.

Цели урока

1. 
   Уточнить понятие «касательной».
2. 
   Вывести уравнение касательной.
3. 
   Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции

1. 
   Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.
2. 
   Формировать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, развивать математическую речь.

Оборудование: компьютер, презентация, проектор, интерактивная доска, карточки с памяткой, карточки для рефлексии.

Структура урока:

1. 
   О.Н. У.
2. 
   Сообщение темы урока
3. 
   Повторение изученного материала
4. 
   Постановка проблемы.
5. 
   Объяснение нового материала.
6. 
   Создание алгоритма «составления уравнения касательной».
7. 
   Историческая справка.
8. 
   Закрепление. Отработка умений и навыков в составлении уравнения касательной.
9. 
   Домашнее задание.
10. 
    Самостоятельная работа с самопроверкой
11. 
    Подведение итогов урока.
12. 
    Рефлексия

1. О.Н.У.

2. Сообщение темы урока

Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. (слайд 1)

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.(слайд 2)

• 
  Плохих идей не бывает
• 
  Мыслите творчески
• 
  Рискуйте
• 
  Не критикуйте

2. Повторение изученного материала (слайд 3).

Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

У кого не одной ошибки? У кого одна?

3. Актуализация

Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока. (Слайд 4)

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

Примеры. (слайд 5)
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x 2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

^ 4. Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: (слайд 6)

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при решении задач
^ 5. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? (слайд 7)

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой.(у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(x). (слайд 8)

Давайте проиллюстрируем это на чертеже. (слайд 9)

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а)) и пусть существует производная f "(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? (да, k = f "(а).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f "(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f "(а)x + f(a) – f "(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f "(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом: (слайд 10)

1. 
   (а, f (а)) – точка касания
2. 
   f "(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент
3. 
   (х,у) – любая точка касательной

6. Составление алгоритма (слайд 11).

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

1. 
   Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
2. 
   Вычислим f(a).
3. 
   Найдем f "(х) и вычислим f "(а).
4. 
   Подставим найденные значения числа а, f(а), f "(а) в уравнение касательной.
5. 
   y = f(a) + f "(а) · (x-a).

1. 
   Историческая справка (слайд 12).

Какова история происхождения этого названия? (слайд 14,15)

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой .

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.

8. Закрепление (слайд 16-18).

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

1. 
   а = -1;
2. 
   f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. 
   f "(x) = 2х – 3,
   f "(a) = f "(-1) = -2 – 3 = -5;
4. 
   y = 9 – 5 · (x + 1),

Ответ: y = 4 – 5x.

Задания ЕГЭ 2011 года В-8

1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f"(x) в точке а= 1.

Решение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x 1 ;у 1), (х 2 ; у 2)- координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1), значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f"(x) в точке а = -2.

Решение: график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8.Домашнее задание (слайд 19).

Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

^ 9.Самостоятельная работа

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

10. Подведение итогов.

• 
  Что называется касательной к графику функции в точке?
• 
  В чём заключается геометрический смысл производной?
• 
  Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.

Дата: _____________________

Тема урока: Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Учащиеся должны знать :

что называется угловым коэффициентом прямой;

углом между прямой и осью Ох;

в чем состоит геометрический смысл производной;

уравнение касательной к графику функции;

способ построения касательной к параболе;

уметь применять теоретические знания на практике.

Задачи урока :

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

наглядные;

практические;

по мыслительной деятельности: индуктивный;

по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;

стимулирующие: поощрения;

контроля: устный фронтальный опрос.

План урока

Устные упражнения (найти производную)

Изучение нового материала

Решение заданий.

Подведение итогов урока.

Оборудование : карточки

Ход урока

“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

I. Организационный момент.

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Устный счет

1. Найдите производные:

", ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

II. Изучение нового материала.

Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.

Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.

Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.

Рисунок 1

Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)

Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Рисунок 2

Рисунок 3

Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.

Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .

Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х – 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .

III. Решение заданий.

Показать на доске.

Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.

№ 159, № 161 – у доски.

Вопросы к классу:

Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).

Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).

Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).

Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).

IV. Подведение итогов урока

1) В чем состоит геометрический смысл производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?

План-конспект урока в 10 классе

«Уравнение касательной к графику функции»

Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний и формирования первоначальных предметных навыков, овладения предметными умениями.

Дидактическая задача урока: Обеспечение осознания и усвоения понятий, правил, алгоритмов; формирование умений применения теоретических положений в условиях решения учебных задач.

Цели урока: вывести уравнение касательной к графику функции, научить составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке.

Планируемые результаты:

ЗУНы. Учащиеся должны

знать: уравнение касательной к графику функции в точке х 0 ;

уметь: составлять уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.

формирование навыка составления уравнения касательной к графику заданной функции в заданной точке.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебники, тетради учащихся, письменные принадлежности.

Учитель: Нестерова Светлана Юрьевна

1 слайд. «Касательная к графику функции»

Устная работа, направленная на подготовку учащихся к восприятию новой темы (повторение ранее изученного материала)

10.01 – 10.03

Фронтальная

Устная работа

Для того чтобы качественно разобраться с темой сегодняшнего урока, нам необходимо вспомнить то, что мы с вами ранее изучали.

Ответьте на следующие вопросы.

2 слайд.

Графиком какой функции является прямая? (линейной)

Каким уравнением задается линейная функция? (у = k х + b )

Как называется число, стоящее перед « х »? (угловой коэффициент прямой)

По-другому уравнение у = k х + b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

3 слайд.

Чему равен угловой коэффициент прямой? (тангенсу угла наклона прямой, который эта прямая образует с положительным направлением оси Ох).

Сформулируйте определение касательной: (прямая, проходящая через точку (х о ; f (х о )), с отрезком которой практически сливается график дифференцируемой в точке х о функции f при значениях х близких к х о ).

4 слайд.

Если в точке x o существует производная , то существует касательная (невертикальная) к графику функции в точке x o .

5 слайд.

Если же f ’ ( x 0 ) не существует, то касательная либо

не существует (как у функции у = |х|),

либо вертикальная (как у графика у = 3 √х).

6 слайд.

Вспоминаем, каким может быть взаимное расположение касательной с осью абсцисс?

Прямая возрастающая => угловой коэффициент k >0, tg > 0 => угол острый.

Прямая // оси ОХ => угловой коэффициент k =0, tg = 0 => угол = 0 0

Прямая убывающая => угловой коэффициент k <0, tg < 0 => угол тупой.

7 слайд.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке проведения касательной k = f `( x o ).

Хорошо, молодцы, повторение окончено.

Тема урока. Постановка цели урока

10.03-10.05

Обсуждение, беседа

Выполните следующее задание:

Дана функция у = х 3 . Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.

ПРОБЛЕМА ? Да. Каким образом её решать? Ваши варианты? Где вы сможете найти помощь в решении этой проблемы? В каких источниках? Но проблема решаема? Так как вы думаете, какова будет тема нашего урока?

Тема сегодняшнего урока «Уравнение касательной» .

Ну а теперь сформулируйте цели нашего урока (ДЕТИ ):

1. Вывести уравнения касательной к графику функции в точке х о .

2. Научиться составлять уравнение касательной для заданной функции.

Открываем тетради, записываем на полях число, «классная работа», тема урока.

Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала

10.06- 10.12

Фронтальная

Поисково - исследовательская

8 слайд.

Решим эту практическую задачу. Я пишу на доске – вы смотрите, рассуждаете вместе со мной.

Дана функция у = х 3 . Необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.

Рассуждаем: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .

Для того чтобы его написать, нам необходимо знать значение k и b .

Найдем k (из геометрического смысла производной):

k = f `( x o ) = f `(1) = 3 * 1 2 = 3, т.е. k = 3 .

Наше уравнение приобретает вид: у = 3х + b .

Вспомните: если прямая проходит через заданную точку, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой должно получиться верное равенство. Значит, нам необходимо найти ординату точки – значение функции в точке х 0 = 1: f (1) =1 3 =1. Точка касания имеет координаты (1; 1).

Подставляем найденные значения в уравнение прямой, получаем:

1 = 3 . 1+ b ; значит b = - 2 .

Подставим найденные значения k = 3 и b = - 2 в уравнение прямой: у = 3х - 2.

Задача решена.

9 слайд.

А теперь решим эту же задачу в общем виде.

Дана функция у = f ( x ), необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 .

Рассуждаем по той же схеме: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .

Из геометрического смысла производной: k = f `( x o )=> у = f `( x o ) * х + b .

Значение функции в точке х 0 есть f ( x o ), значит касательная проходит через точку с координатами ( х 0 ; f ( x o ))=> f ( x o )= f `( x o ) * x o + b .

Выразим из данной записи b : b = f ( x o ) - f `( x o ) * x o .

Подставим все выражения в уравнение прямой:

у = f `( x o ) * х + b = f `( x o ) * х + f ( x o ) - f `( x o ) * x o = f `( x o ) * ( х - x o )+ f ( x o ).

СРАВНИТЬ С УЧЕБНИКОМ (стр. 131)

Найдите, пожалуйста, в тексте учебника запись уравнения касательной и сравните с тем, что у нас получилось.

Запись немного отличается (чем?), но она верна.

Принято записывать уравнение касательной в следующем виде:

у = f ( x o ) + f `( x o )( х - x o )

Запишите эту формулу себе в тетрадь и выделите – вы должны её знать!

9 слайд.

А теперь давайте составим алгоритм нахождения уравнения касательной. Все «подсказки» у нас в формуле.

Найти значение функции в точке х о

Вычислить производную функции

Найти значение производной функции в точке х о

Подставить полученные числа в формулу

y = f ( x o ) + f `( x o )( x – x o )

Привести уравнение к стандартному виду

Отработка первичных навыков

10.12-10.14

Фронтальная

Письменная + совместное обсуждение

Каким образом эта формула работает? Рассмотрим на примере. Записываем пример в тетрадь.

Напишите уравнение касательной к графику функции f (x ) = х 3 – 2х 2 + 1 в точке с абсциссой 2.

Выполняем вывод уравнения с записью на доске и в тетрадях.

Ответ: у = 4х – 7.

Работа с источником информации

10.14-10.15

Индивидуальная

Чтение текста, обсуждение

Посмотрите в учебник на с. 131, пример 2. Прочитайте до п.3. О чем идет речь в данном примере? (можно составить уравнение для заданной функции в общем виде и потом найти уравнение касательной при любом значении х 0 , а ещё можно найти точку пересечения касательной к стандартной параболе с осью Ох

Динамическая пауза

10.15-10.16

Отдых

Минутка отдыха.

Слайд – зарядка для тела, зарядка для глаз.

Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений и решения задач

10.16- 10.30

Фронтальная, индивидуальная

Письменная (доска + тетрадь)

Ну а теперь приступим к практической работе, цель которой – сформировать навык составления уравнения касательной.

На доске записать №№ 255(а, б), 256(а, б), резерв 257 (а, б), * .

* – задание следующего уровня сложности для наиболее подготовленных учеников: На параболе у = 3х 2 - 4х + 6 найти точку, в которой касательная к ней // прямой у =2х+4 и написать уравнение касательной к параболе в этой точке.

Для работы к доске приглашаются учащиеся (поочерёдно).

Ответы:

№255

а) у = - 3х – 6, у = - 3х + 6 б) у = 2х, у = - 2х +4

№256

а) у = 3, у = - 3х + 3π б) у = 2х + 1 – π/ 2 , у = 4х + √3 - 4 π/ 3

№257 (резерв)

а) х = 1, у = 1, в т. (1; 1) касательная // Ох

б) х = - 2, у = - 24, в т. (-2; -24) касательная // Ох

Задание *ответы:

А (1; 5), уравнение касательной у = 2х + 3.

Самостоятельное использование навыков

10.30-10.35

Групповая, индивидуальная, самостоятельная

Письменная (тетрадь), обсуждение работы в парах

Итак, чем мы занимались? Кому был понятен материал? У кого остались вопросы? Проведем самоконтроль понимания темы урока.

Работать вы будете в парах - на столах у вас лежат карточки с заданиями. Внимательно прочитайте задание, на выполнение работы даётся 4-5 минут.

Задание: Написать уравнение касательной к заданной функции f (x ) в точке с заданной абсциссой.

I : f ( x ) = х 2 – 2х – 8, в точке с абсциссой -1 . Ответ: у = -4х – 9.

II : f ( x ) = 2х 2 – 4х + 12, в точке с абсциссой 2 . Ответ: у = 4х + 4.

III : f ( x ) = 3х 2 – х – 9, в точке с абсциссой 1 . Ответ: у = 5х –12.

IV : f ( x ) = 4х 2 + 2х + 3, в точке с абсциссой -0,5 . Ответ: у = -2х + 2.

Проверка выполнения самостоятельной работы

10.35-10.37

Фронтальная, групповая

Осуществление самоконтроля по образцу, обсуждение

На доске (поворотной) ответы. Учащиеся проводят самоконтроль.

У кого получились такие же ответы?

У кого ответы не сошлись?

Где вы допустили ошибку?

Вопросы учащимся на закрепление геометрического смысла производной:

Назовите прямые, которые пересекают ось Ох под острым углом.

Назовите прямые, которые // оси Ох.

Назовите прямые, которые образуют с осью Ох угол, тангенс которого является отрицательным числом.

Рефлексия деятельности

10.37-10.39

Фронтальная

Беседа

Подведение итогов урока.

Какая ПРОБЛЕМА возникла перед нами в ходе урока? (нужно было написать уравнение касательной, а мы не знали, как это сделать)

Какие цели мы с вами ставили на этот урок? (вывести уравнение касательной, научиться составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке)

Достигли ли вы цели урока?

Кто из вас может сказать с уверенностью, что научился составлять уравнение касательной?

У кого ещё остались вопросы? Мы обязательно ещё будем работать над этой темой и, я надеюсь, проблемы Ваши будут решены на 100%!

Домашнее задание

10.39-10.40

Запишите домашнее задание - №№ 255(вг), 256(вг), 257(вг), * , формула!!!

Посмотрите в учебник на задания вашей домашней работы.

№№ 255(вг), 256(вг) – продолжение классной работы по отработке навыка написания уравнения касательной.

* – задание следующего уровня сложности для тех, кто хочет себя проверить:

На параболе у = х 2 + 5х – 16 найти точку, в которой касательная к ней // прямой 5х+у+4 =0.

Спасибо за работу. Урок окончен.

Цель урока: Формирование навыков составления уравнения касательной к графику функции и рассмотреть основные типы заданий ЕГЭ, связанных с пониманием геометрического смысла производной.

Задачи урока:

Обучающие:

Систематизировать навыки применения геометрического смысла производной.

Закрепить такие понятия, как «угловой коэффициент касательной», «тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ», значение производной в точке касания».

Продолжить развивать навыки вычисления производных с использованием формул и правил дифференцирования.

отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции».

Развивающие:

способствовать развитию внимания;

интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

организовывать себя на работу, пользоваться умением самопроверки;

развивать познавательный интерес;

способствовать развитию логического мышления, математической интуиции;

способствовать развитию и пониманию у учащихся межпредметных связей;

Воспитательные:

воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели;

развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, умение аргументировать свою точку зрения);

показать красоту математики;

эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание в тетради, через наглядные и дидактические пособия.

создавать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем;

осознавать большую практическую и историческую значимость производной.

Тип урока урок закрепления изучаемого материала

Планируемый результат урока:

1.Учащиеся знают правила нахождения производных и готовы к выполнению заданий ЕГЭ.

2.Учащиеся почуствовали ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке.

Формы учебной работы :

индивидуальная;

индивидуально - коллективная (парами, в группе).

Оснащение: интерактивная доска, меловая доска, листы с заданиями из тренировочных вариантов ЕГЭ и из открытого банка заданий ЕГЭ, оценочный лист, презентация.

Ход урока:

1. Организационный момент

Здравствуйте! Я очень рада всех вас видеть, надеюсь, что это взаимно, и в доказательство оного улыбнемся, друг другу и начнём урок.

Эпиграфом к уроку служат слова французского философа-материалиста Дени Дидро (1713 - 1784) - современника Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой. «Начинать исследования можно по-разному... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки» (Дени Дидро) (слайд).

2) Мотивация учебной деятельности учащихся, постановка цели и задач урока.

В первом полугодии мы исследовали функцию по её графику. На данный момент стоим на пути исследования функция по её формуле. Три шага уже сделали.

Какие это шаги? (Высказывания учащихся: изучили определение производной, правила нахождения производных, уравнение касательной)

Какую тему мы начали рассматривать на предыдущем уроке? (Высказывания учащихся: Уравнение касательной)

Какие цели ставите вы перед собой на этом уроке? (Высказывания учащихся: отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции»).

Сегодня мы закрепим материал на тему «Уравнение касательной» решением ключевых или опорных задач, проверим усвоение техники нахождения производной и исследуем связь уравнения касательной с исследованием свойств графика функции, что в дальнейшем нам даст аппарат для построения практически графика любой функции и нахождения ее свойств.

Настройтесь на то, что сегодня на уроке вы будете много работать самостоятельно. В центре внимания на уроке будет «Оценочный лист» (приложение 1). Она находится у каждого из вас. Впишите фамилию и имя. После каждого этапа урока оцените себя и внесите результат в оценочный лист. Просмотрите критерии оценивания каждого этапа урока. В конце урока сами подведёте итог своей работы и поставите оценку за усвоение темы.

3. Повторение опорных знаний.

3.1. Выполнение заданий из открытого банка ЕГЭ 2 мин (УЭ-1) (Приложение № 2)

В начале урока выполним задание из открытого банка заданий ЕГЭ на движение. Перед вами лежат карточки.

3.2. Выполнение теста. (УЭ-2)

- Для того, чтобы исследовать в дальнейшем функцию, нужно уметь находить производные функции. Какие существуют правила вычисления производных? (Ответы учащихся).

Повторим их применение. Выполним тест. (Приложение № 3). Зашифровано, как Исаак Ньютон называл производную функции. Для этого вы должны найти производные функции и записать в тетрадь букву, соответствующую правильному ответу. (Выполнение теста).

Итак, как Исаак Ньютон называл производную?

Самопроверка теста. Ответ: флюксия (на слайде).

3.3. Мини проект. (УЭ-3)

Работа по созданию мини-проекта прошла следующие этапы:

Постановка проблемы;

планирование работы,;

исследование, на котором учащийся выполнил задания, согласно правилу, алгоритму и сделал вывод по результатам работы.

представление мини-проекта одноклассникам, ответы на вопросы по проведенному исследованию.

Он дал возможность организовать учебную деятельность, соблюдая разумный баланс между теорией и практикой; успешно интегрируется в образовательный процесс; обеспечивает не только интеллектуальное, но и нравственное развитие детей, их самостоятельность, активность.

- О методе флюксий расскажет учащийся. (Приложение № 4).

Представление мини-проекта.

Заносим результат в оценочный лист.

3.4. Фронтальный опрос. (УЭ-4)

1.Что называется секущей для графика функции y=f(x)?

2. Какая прямая называется касательной к графику функции?

3.В чем состоит геометрический смысл производной?

4. Когда касательная наклонена к под тупым углом к положительному направлению оси Ох?

5. Когда касательная наклонена к под острым углом к положительному направлению оси Ох?

6. Назвать уравнение касательной к графику функции в заданной точке в общем виде.

7. Рассказать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

Заносим результат в оценочный лист.

4. Решение задач.

4.1. Работа в парах. (УЭ-5)

- Вам выданы карточки на нахождение значения производной в заданной точке на чертеже, выполняете совместно задания на партах. (Приложение № 5). Далее правильные ответы появятся на экране. Самостоятельно проверите правильность выполнения задания. Занесете результат в оценочный лист.

Выполнение заданий. Самопроверка по слайду.

4.2. Самостоятельная работа по вариантам . (УЭ-6)Задания подготовлены на карточках. (Приложение № 5).

Выполним индивидуальную самостоятельную работу по вариантам на составление уравнения касательной. Приглашаются двое учащихся, от каждого варианта для работы на закрытой от класса плоскости меловой доски. Для тех, кто справится с самостоятельной работой быстрее, чем появится готовое решение на доске, выполняет дополнительное задание.

По мере выполнения учитель проверяет работу учащихся у доски. Остальные проверяют правильность своих решений по решениям на доске, так как они уже выверены учителем.

Самопроверка.

Заносим результат в оценочный лист.

4.3. Работа в группах . (УЭ-7)Формируются группы, учитывая математические способности ребят, каждой группе предлагаются карточки с разными видами заданий. С карточкой работают вчетвером. В группе идет совместное решение задания и один учащийся от группы отчитывается о проделанной работе. Проверка выполнения заданий учителем.

Работаем в группах постоянного состава. Выполняем задание на применение геометрического смысла производной. Совместно решаем и один учащийся от группы отчитается о проделанной работе.

Выполнение заданий.

Проверяем. Заносим результат в оценочный лист.

5. Домашнее задание: Пункт 19(уравнение касательной, геометрический смысл производной), стр. 134 № 256 (в,г), № 257 (а,б) , стр. 171 №4(3(а)) . Практическая задача на карточке:

6. Рефлексия. Итоги урок.

Подсчитайте, пожалуйста, сумму баллов за сегодняшний урок и поставьте себе отметку в соответствии с критериями в оценочном листе, подчеркните на ваш взгляд верные высказывания в таблице «Итоги урока»

Спасибо вам за урок, мне было приятно с вами работать. До свидания!

Список литературы:

1. Учебник- Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова -М..: Просвещение, 2011

2. Возняк Г.М. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики. - К.: Радянська школа, 1989.

3. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1985.

Электронные издания:

Большая Российская энциклопедия. - «Кирилл и Мефодий», 2002.

Приложение № 1

Урок по теме «Уравнение касательной»

Цель урока:

Отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной для различных функций и применения геометрического смысла производной.

Итог урока:

Я считаю, что сегодня на уроке работал на ______(оценка)

Приложение № 2

Вариант 1

1.На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной — время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.

В таблице напротив каждой буквой укажите соответствующий номер.

Вариант 2

На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в км/ч, на горизонтальной -время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.

В таблице напротив каждой буквой укажите соответствующий номер

Приложение № 3

Тест

Найдите производную функции:

y=x2+3sinx 2) y= 3) y= 4) y=cos3x 5)y= 6)y=cos(4x-1) 7)y=sin2x

С- y’= Ф- y’=2х+3cosх Я- y’=sin2х Л- y’=3х5 И- y’=-4 sin(4x-1)

Ю- y’= К- y’=-3 sin3х

Приложение №4

История появления производной.

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу.

Английский поэт Александр Поуп так охарактеризовал то время:

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач - метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой. Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 - 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Метод флюксий применяется здесь к большому числу геометрических вопросов (задачи на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и др.

Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.

К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 - 1557гг.) - здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

Приложение № 5

Приложение № 6

Вариант 1

Вариант 2

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Дополнительное задание: Составьте уравнение касательной к графику

функции y=f(x) в точке с абсциссой х0. х0=2

Приложение № 7

Прямая y = 6x +9 является касательной к графику функции

у=х3 -4х2 +9х+14. Найдите абсциссу точки касания.

Прямая y = 6x + 8 параллельна касательной к графику функции

у = х² +7х - 6. Найдите абсциссу точки касания

При каком значении а прямая у = 3х + а является касательной к графику функции у = 2х² - 5х + 1?