Умения:
4. пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах.
Норма времени: 6
Ход работы.
1.1 Целые и рациональные числа
1. 4064,5: 5,5 – 7,6 89,6
3. 82,8 0,54 – 7,54: 6,5
4. 25,3 5,3 – 556,272: 4,8
5. 32,6 15,6 – 7230,912: 5,2
6. 4976,748: 8,7 – 5,8 97,3
7. ,75
9. 
1.2 Действительные числа
Найдите значение выражения
1. a 3 – ba 2 при а = 6, b = 0,4
2. 3a 3 – 6ba 2 при а = -1, b = 0,8
3. x 2 + bx при х = -6, b = 0,4
4. ba 3 – b 2 a при а = 6, b = -4
5. при х = -5; у = 3
6. а 2 – ba 3 при а = 4, b = 0,4
7. при х = 4; у = 8
8. при х = 8; у = -3
1.3 Приближенные вычисления
Округлите числа до сотен, единиц, десятых, сотых, тысячных долей: 3620,80745; 208,4724; 82,30065; 0,03472
Форма отчетности. Письменная работа.
Контрольные вопросы.
- Какие числа называются целыми?
- Какие числа называются натуральными?
- Какие числа называются рациональными?
- Какие числа называются иррациональными?
- Какие числа называются действительными?
- Какие числа называются комплексными?
Литература.
Оценка результатов работы. Входная контрольная работ
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
Тема: Тригонометрические выражения
Цель: Научится выполнять преобразование тригонометрических выражений при помощи основных формул.
Норма времени: 10
Учебно-методическое оснащение рабочего места: справочные таблицы, раздаточный материал.
Ход работы.
2. 1. Основные тригонометрические функции. Радианная мера угла.
1. Вычислите, используя таблицу:
2. Определите знак выражения:
- Выразите в градусах:
2. Выразите в радианах;
135 0 ; 210 0 ; 36 0 ; 150 0 ; 240 0 ; 300 0 ; -120 0 ;
225 0 ;10 0 ;18 0 ; 54 0 ;200 0 ; 390 0 ;-45 0 ; -60 0
3. Вычислите:
| а) 2 sin + tg ; б) cos - sin ; в) cos π - 2 sin ; г) 2 cos + tg π ; | д) sin 2 + sin 2 ; е) cos 2 - cos 2 ; ж) tg 2 sin tg 2 ; з) tg cos 2 sin ; и) cos + sin 2 . |
4. Найдите значение выражения:
| а) 2 sin π -2 cos + 3 tg - ctg ; б) sin(- ) + 3 cos - tg + ctg ; в) 2 sin - 3 tg + ctg(- ) - tg π ; г) 2 tg(- ) + 2 sin - 3 tg 0 – 2 ctg ; д) 5 sin + 4 cos 0 – 3 sin + cos π ; е) sin(- π) -2 cos(- ) + 2 sin 2 π - tg π ; ж) 3 - sin 2 + 2 cos 2 - 5 tg 2 ; з) 3 sin 2 - 4tg 2 - 3 cos 2 + 3 ctg 2 |
Формулы приведения
Замените тригонометрической функцией угла
2.Найдие значение выражения
| а) sin 240 0 б) cos (-210 0) | в) tg 300 0 г) sin 330 0 | д) сtg (-225 0) е) sin 315 0 |
3. Упростите выражение
| а) sin(α - ) б) cos(α – π ) | в) ctg(α - 360 0) г) tg(-α + 270 0) |
4. Преобразуйте выражение
а) sin 2 ( π +α); б) tg 2 ( + α); в) cos 2 ( - α)
5. Упростите выражение
а) sin(90 0 – α) + cos(180 0 + α) + tg(270 0 +α) + ctg(360 0 +α)
б) sin( + α) - cos(α – π ) + tg( π - α) + ctg( - α)
в) sin 2 (180 0 - α) + sin 2 (270 0 - α)
г) sin(π - α) cos(α – ) - sin(α + ) cos(π –α)
д) 
е) 
ж) 
з) 
Формулы сложения
1. С помощью формул сложения преобразуйте выражения
а) cos( ; б) sin( ; в) cos( ; г) sin( ;
д) cos(60 0 + α) е) sin(60 0 + α) ж) cos((30 0 - α) з) sin(30 0 - α)
2. Представьте 105 0 как сумму 60 0 + 45 0 и найдите сos 105 0 , sin105 0
3.Представьте 75 0 как сумму 30 0 + 45 0 и найдите сos 75 0 , sin75 0
4. Найдите значение выражения
| а) cos107 0 cos17 0 + sin107 0 sin17 0 б) cos24 0 cos36 0 – sin24 0 sin36 0 в) cos18 0 cos63 0 + sin18 0 sin63 0 | г) sin63 0 cos27 0 + cos63 0 sin27 0 д) sin51 0 cos21 0 – cos51 0 sin21 0 е) sin32 0 cos58 0 + cos32 0 sin58 0 |
5. Упростите выражение
| а) sin( - α) – cos α б) sinβ + cos(α - ) | в) cosα – 2cos(α - ) г) sin( + α) – cos α |
6. Докажите, что
а) sin(α + β) + sin(α – β) = 2 sin α cos β
б) cos(α – β) + cos(α + β) = 2 sin α sin β
в) sin(α + β) · sin(α – β) = sin 2 α – sin 2 β
г) cos(α – β) · cos(α + β) = cos 2 α – cos 2 β
Формулы двойного угла.
Упростите выражение
| а) б) | в) г) cos2α + sin 2 α | д) cos 2 α - cos2α
е)  |
2. Сократите дробь
а) б) в) 
г) 
3. Упростите
а) б) 
в) 
г) sin 2 α + cos2α
4. Упростите выражение
5. Вычислите
| а) 2 sin15 0 cos15 0 б) 4 sin105 0 cos105 0 в) 2 sin cos | г) cos 2 15 0 – sin 2 15 0 д) 4cos 2 – 4sin 2 | е) cos 2 – sin 2 ж) 2 sin165 0 cos165 0 з) cos 2 75 0 – sin 2 75 0 |
6. Пусть sinα = и α угол второй четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α
7. Пусть sinα = -0,6 и α угол третей четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α
8. Пусть cosα =-0,8 и α угол второй четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α
9. Докажите тождество
2. 7. Преобразование тригонометрических выражений.
1. –tg 2 α – sin 2 α +
3. –ctg 2 α – cos 2 α +
5. tg 2 α + sin 2 α -
6. ctg 2 α + cos 2 α -
7. (sinα + cosα) 2 - sin2α
8. 
9. 
10. sin 4 α – cos 4 α + cos 2 α
11. (3 + sinα)(3 - sinα) + (3 + cos α)(3 - cos α)
13. 
14. (ctgα + tgα)(1 + cosα)(1 – cosα)
Форма отчетности. Письменная работа. Самостоятельная работа по каждому разделу.
Контрольные вопросы.
1. Дайте определения основных тригонометрических функций
2. Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента
3. Как зависят знаки тригонометрических функций в зависимости от координатной четверти.
4. Значения тригонометрических функций основных углов.
5. Основное тригонометрическое тождество, связь тангенса и косинуса, связь котангенса и синуса, произведение тангенса и котангенса.
6. Формулы приведения
7. Формулы двойного угла.
8. Формулы суммы и разности тригонометрических выражений
9. Формулы сложения.
Литература. лекции,
https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М.И.Башмаков «Математика» учебник, задачник.
Оценка результатов работы.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
Тема: Тригонометрические функции и уравнения
Цель: рассмотрение всех всевозможных способов преобразования графиков функций, научиться решать тригонометрические уравнения, используя свойства обратных тригонометрических функций и формул решения тригонометрических уравнений.
Умения:
|
7. решать простейшие тригонометрические уравнения, их системы, а также некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные относительно одной из тригонометрических функций, однородные уравнения первой и второй степени относительно соs х и sin х);
Норма времени: 9
Учебно-методическое оснащение рабочего места: справочные таблицы, раздаточный материал, рабочие папки.
Ход работы.
1. Преобразования графиков тригонометрических функций.
Постройте график функции
a) y = -2sin (x + ) -1
b) y = 2sin (x + ) +1
c) y = 2cos (x + ) -1
d) y = -2cos (x + ) – 1
e) y = -2cos (x + ) -1
f) y = -2sin (x + ) -1
g) y = 2cos (x + ) + 1
h) y = -2sin (x + ) +1
i) y = 2sin (x + ) -1
2. 
Четные и нечетные функции. Периодичность.
Определите четность функции
а) f(x) = x 2 + 3x + 1
в) f(x) = sin x
г) f(x) = 2x 2 - 3x 4
д) f(x) = 4x 2 + x - 9
е) f(x) = x + 3x 3
и) f(x) = sin x +3
3. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа
Вычислите:
Найдите значение выражения:
1. аrcsin 0 + arccos 0
2. arcsin + arccos
3. arcsin(- ) +arccos
4. arcsin(-1) + arccos
5. arccos 0,5 + arcsin 0,5
6. arccos(- ) – arcsin(-1)
7. arccos(- ) + arcsin(- )
8. arccos - arcsin
9. 4 arccos(- ) - arctg + arcsin
10. 2arccos - arcsin(- ) + 3arctg 1
11. 3arcsin + arccos - 2arcсtg 1
12. arcsin + 6 arccos(- ) + 9arctg
13. -2 arccos(- ) - arcсtg + arcsin
14. arccos +arcsin + arсtg
15. 
16. 
Сравните выражения
а) arcsin или arcsin 0,82
б) arccos(- ) или arccos
4. Решение тригонометрических уравнений
Решите уравнения:
1. sin x – 2 cos x = 0.
2. sin 2 x – 6 sin x cos x + 5 cos 2 x = 0.
3. cos 2 x + sin x · cos x = 1
4. sin 3x + sin x = sin 2x
5. cos2x + sinx cosx=1
6. 4 xin 2 x- cosx-1=0
7. 2 xin 2 x+3 cosx=0
8. 2cos2x − 3sinx=0
9. 2 sin 2 x + sinx – 1 = 0
10. 6sin 2 x + 5cosx – 2 = 0
Форма отчетности. Письменная работа.
Контрольные вопросы.
1. Графики каких тригонометрических функций проходят через начало координат?
2. Какие из тригонометрических функций четные?
3. Как осуществить перенос вдоль оси ОХ?
4. Как осуществить перенос вдоль оси ОУ?
5. Что называется арксинусом числа а ?
6. Какие тригонометрические уравнения не имеют решений?
7. Перечислите частные случаи уравнения .
8. Запишите общую формулу корней уравнения .
Литература. лекции,
информационно - поисковая система Интернет
https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М.И.Башмаков «Математика» учебник
Оценка результатов работы: Выборочная оценка. Контрольная работа по теме
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
Ход работы.
Параллельность в пространстве
Решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей.
Ответить на вопрос и выполнить рисунок.
1.Прямые m и n лежат в одной плоскости. Могут ли эти прямые пересекаться, быть параллельными, могут ли они скрещиваться?
2. Прямые b и c пересекаются. Как расположена прямая b относительно прямой d, если c||d?
3. Даны скрещивающиеся прямые c и d. Как может быть расположена прямая с относительно m, если m d?
4. Прямые b и d пересекаются. Как расположена прямая b относительно с, если c и d пересекаются?
5. Даны скрещивающиеся прямые m и n. Как может быть расположена прямая m относительно прямой c, если c и n пересекаются?
II. Выполнить рисунок и заполнить таблицу.
АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб. точки L,N,T – середины ребер В 1 С 1 , С 1 Д 1 и ДД 1. К – точка пересечения диагоналей грани АА 1 ВВ 1 . Заполните таблицу расположения прямых:
Пересекаются;
II - параллельны;
Скрещиваются
В тетраэдре АВСД постройте сечение, проходящее через точку М, лежащую на ребре АВ и параллельно прямым АС и ВД
Перпендикулярность в пространстве
Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости
1. Ответить на контрольные вопросы:
1). Записать определение перпендикулярности прямой и плоскости (с рисунком).
2). Записать признак перпендикулярности прямой и плоскости (с рисунком).
3). Записать теорему о 3-х перпендикулярах (с рисунком).
4). Записать определение перпендикулярности плоскостей.
Задание № 2.
1 вариант
1. Точки К,Е, и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, А и М лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠ВОЕ, ∠ЕКА и ∠КВЕ.
3. В тетраэдре DАВС ребро AD⊥ΔABC. ΔABC - прямоугольный, ∠С=90°. Построить (найти) линейный угол двугранного угла ∠DВСА.
4. Отрезок ВМ⊥ к плоскости прямоугольника АВСD. Определить вид ΔDMC.
5. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ΔАВС. Известно, что BD=9 см, АС=10см, ВС=ВА=13 см. Найдите расстояние от точки D до прямой АС.
2 вариант
1. Точки К,Е, и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, А и М лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠МОК, ∠ОКВ и ∠АОЕ.
2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны .
3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведены диагонали В 1 D и В 1 С. Построить (найти) линейный угол двугранного угла∠В 1 DCB.
4. Отрезок CD⊥ к плоскости прямоугольного ΔАВС, где ∠В=90°. Определить вид ΔАВD.
5. Прямая SA перпендикулярна к плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что SC=5 см, AD=2 см, а сторона АВ в 2 раза больше, чем AD. Найдите расстояние от точки S до прямой DC.
Форма отчетности. Письменная работа
Контрольные вопросы.
1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?
2. Сформулируйте признак параллельности прямых.
3. Что значит: прямая и плоскость параллельны?
4. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
5. Какие плоскости называются параллельными?
6. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
7. Перечислите свойства параллельного проектирования.
8. Свойства параллельных плоскостей.
9. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
10. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?
11. Что называют расстоянием от точки до плоскости?
12. Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?
13. Сформулировать теорему о трех перпендикулярах.
Литература. лекции,
информационно - поисковая система Интернет
https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М.И.Башмаков «Математика» учебник
Оценка результатов работы: Выборочная оценка. Контрольная работа по теме
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5
Тема: Корень. Степень. Логарифм.
Цель: научиться выполнять преобразования иррациональных, степенных, логарифмических выражений; решать простейшие иррациональные, показательные и логарифмические уравнения, системы уравнений, неравенства.
Знания:
- новые термины математического языка: степень с рациональным показателем, степенная функция, иррациональное выражение;
- свойства степенной функции, ее график.
- новые термины математического языка: показательная функция, показательное уравнение, показательное неравенство, логарифм числа, основание логарифма, логарифмическая функция, логарифмическое уравнение, логарифмическое неравенство, экспонента, логарифмическая кривая;
- основные свойства и графики логарифмической и показательной функций;
- формулы, связанные с понятием логарифма, показательной и логарифмической функций.
Умения
5. строить графики показательной и логарифмической функций сданным основание; 6. описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства показательной и логарифмической функций; ; ;2. ; ; ; ; ; ; ; ; ; Иррациональные уравнения Решите уравнение |
В настоящее время каждый учитель математики ставит перед собой задачу не только сообщить школьникам определенную сумму знаний, наполнить их память некоторым набором фактов и теорем, но и научить учащихся думать, развить их мысль, творческую инициативу, самостоятельность.
Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры. И это не случайно. Умения, приобретаемые школьниками при изучении функций, имеют прикладной и практический характер. Они широко используются при изучении, как курса математики, так и других школьных предметов - физики, химии, географии, биологии, находят широкое применение в практической деятельности человека. От того, как усвоены учащимися соответствующие умения, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики. Анализ теоретического и задачного материала позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно следить при изучении всех видов конкретных функций,- умения работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции. Важнейшее значение в функциональной подготовке учащихся – имеет формирование графических умений.
График - это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе. График функции выступает основным опорным образом при формировании целого ряда понятий - возрастания и убывания функции, четности и нечетности, обратимости функции, понятия экстремума. Без четких и сознательных представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл. У учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функций.
Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функций. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов:
- по заданному значению одной из переменных х или у определить значение другой;
- определять промежутки возрастания и убывания функции;
- определять промежутки знакопостоянства;
- указывать значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, а также определять это значение.
Учащиеся должны применять графики изученных перечисленных выше функций для графического решения уравнений, систем уравнений, неравенств.
Сформировать прочные умения в построении и чтении графиков функций, добиться, чтобы каждый ученик мог выполнять основные виды заданий самостоятельно, можно только при условии выполнения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений.
Данный материал позволяет вспомнить графики элементарных функций школьного курса выпускникам при подготовке к экзаменам или использоваться при объяснении данной темы. Наглядно показаны приёмы преобразования графиков.
Реализация преемственности в обучении заключается в установлении необходимых связей и правильных соотношений между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения. Прочный фундамент для изучения математики закладывается в курсе алгебры и геометрии основной школы. От того, какие знания получат учащиеся в основной школе, какие умения и навыки у них будут вырабатываться, зависит успех изучения курса математики в старших классах, а следовательно, и сознательное применение полученных знаний в решении конкретных задач. Этот вопрос является сложной педагогической задачей, его решение, как показывает опыт, необходимо рассматривать и через совершенствование всего процесса обучения, и через стабилизацию содержания курса математики, и через ориентацию преподавания по линии прикладной направленности курса математики, и, в частности, через совершенствование преемственных связей поэтапного изучения математики.
Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры основной школы. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. Многие из физических, химических, биологических процессов, без которых немыслима жизнь, являются функциями времени. Экономические процессы также представляют собой функциональные зависимости. Функции играют важную роль в программировании и криптографии, в проектировании различных механизмов, в страховании, в расчётах на прочность и т.д.
В курсе алгебры и начале математического анализа в 10-11 классах предусматривается дальнейшее изучение элементарных функций и их свойств. Формирование функциональных представлений является основным стержнем программы и учебных пособий для этих классов.
Практические работы учащихся по алгебре – разновидность их творческой деятельности. Они позволяют осознанно изучить вводимые понятия и утверждения, лучше их запомнить, включают в процесс все виды памяти и способствуют повышению интереса к предмету. по теме: “Преобразование графиков логарифмической (возрастающей) функции”.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ТЮМЕНСКОЙ ОБЛАСТИ
«ЗАВОДОУКОВСКИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННЫЙ ТЕХНИКУМ»
СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОДП.01 МАТЕМАТИКА
РАЗДЕЛ: ТРИГОНОМЕТРИЯ
Заводоуковск,
Составлена в соответствии с Федеральным Государственным образовательным стандартом
УТВЕРЖДЕНО
методическим советом
Председатель ________ Ж.А. Харлова
Протокол №___«___»________2017 г.
АССМОТРЕНО
предметно-цикловой комиссией
Председатель _________Л. В. Темпель
Протокол №___«___»_________2017 г.
Разработчики:
Сычева Ж.П., преподаватель высшей квалификационной категории
Тема 1. Углы и их измерения
Тема 2. Тригонометрические функции
Тема 3. Основные тригонометрические тождества
Тема 4. Формулы приведения
Тема 5. Формулы сложения
Тема 6. Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Тема 7. Формулы двойного угла
Список литературы
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Сборник практических работ составлен в соответствии с рабочей программой по дисциплине ОДП.01 Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия по программам подготовки квалифицированных рабочих, служащих: 35.01.15 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования в сельскохозяйственном производстве; 35.01.14 Мастер по техническому обслуживанию и ремонту машинно-тракторного парка; 08.01.10. Мастер жилищно-коммунального хозяйства.
Цель выполнения практических работ:
обобщение и углубление теоретических знаний;
формирование умений применять знания на практике;
развитие творческой инициативы при выполнении заданий.
В результате выполнения практических работ обучающийся должен:
знать:
определение тригонометрических функций;
свойства тригонометрических функций;
основные тригонометрические тождества;
формулы приведения;
формулы суммы и разности тригонометрических функций;
формулы сложения;
формулы двойного угла;
уметь:
выполнять преобразования тригонометрических выражений.
В процессе изучения курса формируются ОК: ОК 2.1, ОК 2.2, ОК 3.2, ОК 3.3, ОК 4.1, ОК 4.2, ОК 4.3, ОК 6.1.
Сборник состоит из пояснительной записки, описаний практических занятий, которые снабжены общими теоретическими сведениями, контрольными вопросами и заданиями для самоконтроля, заданиями в соответствии с программой, списка рекомендуемой литературы.
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ:
внимательно изучите задание;
запишите тему занятия в тетради;
просмотрите теоретический материал;
выполните задания по теме;
ответьте на контрольные вопросы;
выполните проверочные работы.
ТЕМА 1. УГЛЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЯ
Цель: формирование навыков определения меры углов .
Теоретический материал
Геометрический угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины угла (рис. 1).
В качестве единицы измерения геометрических углов принят
градус
- 
часть развернутого угла. Конкретные углы измеряют в градусах с помощью транспортира. Углы, получающиеся при непрерывном вращении, удобно измерять с помощью таких чисел, которые отображали бы сам процесс построения угла, т. е. вращение. На практике углы поворота зависят от времени.
Допустим, что зафиксированы вершина угла и один из образующих его лучей, а второй луч будет вращаться вокруг вершины. Получающиеся углы будут зависеть от скорости вращения и времени. Поворот будет определяться путем, который пройдет какая – либо фиксированная точка подвижного луча.
Если расстояние точки от вершины равно R , то при вращении точка движется по окружности радиуса R . Отношение пройденного пути к радиусу R не зависит от радиуса и может быть взято за меру угла. Численно эта мера равна пути, пройденному точкой по окружности единичного радиуса (рис. 2).
Развернутый угол измеряется половиной длины единичной окружности. Это число обозначается буквой . Число = 3, 14159265358 …
и 
.
Географии, астрономии и других прикладных науках используют доли градусов – минуту и секунду. Минута – это 
градуса, а секунда – минуты.
, 
Пример 1
: Выразим в градусах 4,5 рад. Так как
, то 
.
Пример 2
: Найдем радианную меру угла
. Так как 
, то 
Выразим в радианной мере углы :
Упражнения
Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
2) 
;
3) 
;
4) 
;
6) 
.
Найдите радианную меру угла, градусная мера которого равна:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
Контрольные вопросы
ТЕМА 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Цель: формирование навыков использования свойств тригонометрических функций при преобразовании выражений .
Теоретический материал
Тригонометрические функции определяются с помощью координат вращающейся точки.
Отметим на оси 
справа от начала координат точку 
и проведем через нее окружность с центром в точке 
. Радиус 
называется начальным радиусом
. При повороте против часовой стрелки считают угол положительным
, при повороте по часовой стрелке – отрицательным
(рис. 3).
При повороте на угол 
начальный радиус переходит в радиус 
.
Определение:
Синусом угла называется отношение ордината точки
к длине радиуса
(рис. 4).
Определение:
Косинусом угла к длине радиуса
(рис. 4).
Определение:
Тангенсом угла называется отношение ординаты точки к её абсциссе.
Определение:
Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к её ординате.
Знаки тригонометрических функций определяются в зависимости от того, в какой четверти лежит рассматриваемый угол. I
четверть – от 
до 
,II
четверть – от до 
,III
четверть – от до 
,IV
четверть - от до 
.
При изменении угла на целое число оборотов значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменится.
Пример 1
: Найдите значение 
.
Решение: .
Пример 2
: Определите знак 
. Решение: Угол 
- угол первой четверти, значит имеет знак +.
Упражнения
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Определите, какой знак имеют тригонометрические функции:
а) 
и 
;
б) 
и ;
в) 
и ;
г) 
и
Определите знак выражения:
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Найдите значение выражения:
Математический диктант
ТЕМА 3. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Цель: формирование навыков использования основных тригонометрических тождеств при преобразовании выражений .
Теоретический материал
Эти равенства называют основными тригонометрическими тождествами.
Пример 1.
Упростите выражение
.
Решение
: Используем для решения формулу
.
Пример 2
. Найдите значение 
, если 
, 
.
Решение:
,
Упражнения
Упростите выражения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
10) 
.
Преобразуйте выражения:
Упростите выражение:
;
.
Вычислите:
Самостоятельная работа
ТЕМА 4. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Цель: формирование навыков использования формул приведения при преобразовании выражений .
Теоретический материал
Если в скобках 
или 
, то функция меняется на сходную. Если 
или 
, то функция не меняется. Знак результата определяется по знаку левой части.
Пример 1.
Найдите значение 
.
Пример 2
. Найдите значение 
.
Решение:
Упражнения
Найдите значение выражения:
Упростите выражения:
Контрольные вопросы
В каком случае функция меняется на сходную?
В каком случае функция не изменятся?
Как определяется знак функции?
Чему равен синус разности двух углов?
ТЕМА 6. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Цель: формирование навыков использования формул суммы и разности при преобразовании выражений .
Теоретический материал
Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности
Ычислите: 
, 
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
-
Покропаева О.Б.
учитель математики
ГБОУ СОШ №47 г. Санкт-Петербург
Задания для устной работы по теме
«Тригонометрические функции»
Одной из главных особенностей осуществляемого в настоящее время преобразования школьной системы образования является его нацеленность на всестороннее развитие личности каждого ученика. А это требует коренного обновления прежних форм, методов, средств обучения, характерных для уроков, главной целью которых является научить школьников еще одному способу решения какого-либо типа задач или ознакомить их с еще одним, никак "не связанным" со всеми предыдущими, новым понятием.
Главной целью школьного математического образования должно быть развитие не шаблонного, а логического, творческого мышления учащихся. А основным средством достижения этой цели являются задачи. Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке. Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться.
Вот почему целью настоящей работы было создание системы устных заданий для изучения темы "Тригонометрические функции", которые удовлетворяли бы всем вышеуказанным требованиям.
В учебнике "Алгебра- 10 " (Алимова Ш.А.) большее число задач ориентировано на вычислительную деятельность для ответа, тогда как задачи с элементами исследования и задачи на усвоение математических понятий представлены в недостаточном количестве. В связи с этим мною была разработана система устных заданий, дополняющих задачи учебника, по наиболее содержательно богатым разделам темы "Тригонометрические функции", которая представлена в работе. К каждому заданию системы приводятся методические комментарии (в каких учебных ситуациях его целесообразно использовать, в том числе, учитывая профильную дифференциацию).
Задания для устной работы и методические комментарии к ним
Одним из средств, способствующих лучшему усвоению математики, являются устные задания (не путать с устным счетом). С их помощью учащиеся отчетливее понимают сущность математических понятий, теорем, математических преобразований.
Устные задания активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают внимание, наблюдательность, память, речь, быстроту реакции, повышают интерес к изучаемому материалу. Они дают возможность изучить большой по объему материал за более короткий промежуток времени, позволяют учителю судить о готовности класса к изучению нового материала, о степени его усвоения, помогают выявлять ошибки учащихся.
Проводимые в начале урока устные упражнения помогают учащимся быстро включаться в работу, в середине или конце урока служат своеобразной разрядкой после напряжения и усталости, вызванной письменной или практической работой. В ходе выполнения этих заданий учащиеся чаще, чем на других этапах урока получают возможность устно отвечать, что, в свою очередь, способствует формированию их грамотной математической речи. При этом они сразу проверяют правильность своего ответа. В отличие от письменных заданий содержание устных таково, что решение их не требует большого числа рассуждений, преобразований, громоздких вычислений. Но между тем они отражают важные элементы курса.
При организации устных фронтальных упражнений, с целью экономии времени на уроке, целесообразно использовать проектор или другую мультимедийную технику.
Здесь будет представлена система устных заданий, дополняющих задачи учебника, по наиболее содержательно богатым разделам темы "Тригонометрические функции". К ним можно отнести:
1. Поворот точки вокруг начала координат.
2. Определения синуса, косинуса и тангенса.
3. Формулы приведения.
4. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
6. Преобразования графиков тригонометрических функций.
7. Обратные тригонометрические функции.
8. Производные тригонометрических функций
Эта система включает в себя:
Качественные вопросы;
Задачи.
Первые могут быть использованы не только для фронтальной устной работы, но и для самостоятельной индивидуальной и групповой работы.
Предлагаемые задания могут быть использованы учителем и при подготовке к изучению нового материала, и при первичном ознакомлении, закреплении, и при ликвидации пробелов в знаниях учащихся.
При построении задач системы часто использовались обратные задачи, когда по решению нужно представить объект. Например, по решению уравнения сконструировать само уравнение. Такие задачи будут способствовать лучшему осознанию учащимися рассматриваемых понятий.
Кроме того, во многих задачах используются наглядные образы, что тоже дает возможность воспринимать изучаемый объект как целостное явление и как совокупность его свойств. Это тоже должно способствовать лучшему осознанию изучаемых понятий, свойств, явлений.
Задания, составляющие систему, соответствуют разному уровню сложности. Сложность задания указывается заглавными латинскими буквами А, В или С. Соответственно задание с индексом С имеет самый высокий уровень сложности.
Задания в системе представлены в соответствии с выделенными ранее разделами. И для заданий каждого раздела приводятся методические комментарии (в каких учебных ситуациях их целесообразно использовать, в том числе, учитывая профильную дифференциацию).
1. Поворот точки вокруг начала координат
Качественные вопросы:
1. На какой вопрос следует дать утвердительный ответ:
А) Может ли величина АОВ быть равной 2 радиан?
Б) Может ли величина дуги АВ быть равной 0 радиан?
В) Верно ли, что R 11 π = R -10 π ?
Г) Верно ли, что R 9 π = R -7 π ?
2. Какое из высказываний ложно:
А) Если t 2 = t 1 + π , то ординаты точек P t2 и P t1 - противоположные числа.
Б) Если t 2 = t 1 + π , то абсциссы точек P t2 и P t1 - противоположные числа.
В) Если t 1 = π-α, t 2 = π+α , где α
, то ординаты точек P t1 и P t2 - противоположные числа.
Г) Если точки P t1 и P t2 совпадают, то числа t 1 и t 2 равны.
Устные задания:
3. Определите координаты точек единичной окружности:
А) Р 90 ; б) Р 180 ; в) Р 270 ; г) Р -90 ; д) Р -180 ; е) Р -270 .
4. Пусть А(1;0), В(0;1), С(-1;0), Д(0;-1). Какая из данных точек получена поворотом точки (1;0) на угол:
А) 450 o ; б) 540 o ; в) -720 o ?
Комментарии:
Задания 3 и 4 (сложности А) носят тренировочный характер и могут быть предложены учащимся сразу после изучения данной темы. Кроме того, задание 3 может быть использовано при подготовке к изучению темы "Определения синуса, косинуса и тангенса" в начале урока (если определения вводятся с помощью единичной окружности).
Вопросы 1 и 2 - сложности С - поэтому их нецелесообразно выносить на устную фронтальную работу в общеобразовательном классе. Но их можно использовать в качестве дополнительных вопросов на обобщающем уроке темы "Элементы тригонометрии". Однако в математическом классе такие вопросы можно использовать при фронтальной работе с учащимися сразу после изучения темы.
2. Определения синуса, косинуса и тангенса
Качественные вопросы:
1. Может ли синус угла быть равным:
А) -3,7; б) 3,7; в)
; г)
?
2. Может ли косинус угла быть равным:
А) 0,75; б)
; в) -0,35; г)
?
3. При каких значениях а и b справедливы следующие равенства:
Cos
sin
tg
Sin
ctg
cos
?
4. Возможны ли равенства:
2 - sin
=1,7 tg
?
Устные задания:
5. Глядя на рисунок, определите букву, которой соответствует:
А) sin 220 o
Cos
б) cos 80 o sin80 o
Cos (-280 o ) sin800 o
Cos 380 o sin (-340 o )
Комментарии:
Задания 1-5 (сложности соответственно А, А, С, В, В) целесообразно предлагать учащимся сразу после введения определений основных тригонометрических функций на единичной окружности. Задание 3 может вызвать трудность у учащихся общеобразовательного класса в связи с тем, что надо оперировать параметрами а и b , поэтому его не стоит выносить на устную фронтальную работу, но можно, разобрав один пример на доске, включить указанное задание в письменную работу на уроке.
Методическая ценность задания 5 ,а состоит в множественном выборе правильного ответа. Задание 5 ,б, кроме указанной темы, может быть использовано при подготовке к изучению темы "Формулы приведения":
cos 80 o = cos(80 o -2 π ) = cos(-280 o )
sin 80 o = sin(80 o +4 π ) = sin 800 o
В связи с наглядностью и доступностью задания 5 его можно использовать при работе с гуманитарным классом.
3. Формулы приведения
Устные задания:
1. Найдите α , если 0 o α o и
А) sin 182 o = - sin α ; б) cos 295 o = cos α .
2. Найдите несколько значений α , если:
а) sin α = sin 20 o ; б) cos α = - cos 50 o ; в) tg α = tg 70 o .
Комментарии:
Предлагаемые задания (сложности В ) предполагают использование формул приведения в нестандартной ситуации. В связи с этим, указанные задания могут быть предложены учащимся на этапе закрепления данной темы. Кроме того, их можно использовать при изучении темы « Периодичность ». Для гуманитарного класса задания 1,2 можно упростить, используя единичную окружность:
Аналогично 1, а). Аналогично 2, б), в).
4. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
Устные задания:
1.1. Назовите хотя бы одно уравнение, решением которого являются числа:
А) π n, n
; в)
; д) π +2 π n, n
Б) 2 π n, n
; г)
;
1.2. Решения каких тригонометрических уравнений изображены на следующих схемах:
2. Является ли число π корнем уравнения:
А)
; б)
?
3. Запишите с помощью неравенств множество всех точек x , лежащих на дуге:
А) BmC ; в) BCD;
Б) CnD ; г) CDA.
4. Решения каких тригонометрических неравенств изображены на следующих схемах:
Комментарии:
Задания 1.1, 1.2 (сложности А) носят репродуктивный характер и могут быть использованы для контроля знаний учащихся после изучения темы "Простейшие тригонометрические уравнения". Для гуманитарного класса целесообразнее использовать задание 1.2 ввиду его наглядности. Задание 1.2 является обратным к заданиям типа: " Решить уравнение: sin x = -1 , имеющимся в учебниках. Оно формирует у учащихся умение читать подобные схемы и раскрывает смысл тригонометрических уравнений на единичной окружности.
Задание 2 (сложности В ) можно использовать при первичном закреплении указанной темы в математическом классе или на обобщающем уроке в общеобразовательном (или гуманитарном) классе.
Задание 3 (сложности А) можно предложить учащимся в начале урока, непосредственно пред изучением темы «Простейшие тригонометрические неравенства».
Задание 4 (сложности В) является обратным к заданиям типа: « Решить неравенство: sinx ≤ 0,5 », имеющимися в учебниках, оно формирует у учащихся умение читать подобные схемы и раскрывает смысл тригонометрических неравенств на единичной окружности. С таких заданий можно начинать изучение темы «Тригонометрические неравенства» как в гуманитарном, так и в математическом классах.
5. Исследование тригонометрических функций.
5.1. Периодичность.
Качественные вопросы:
- Может ли данный промежуток (или объединение промежутков) являться областью определения периодической функции:
а) (-
; в)
; д)
?
б)
; г)
;
2. Верно ли утверждение:
а) периодическая функция может иметь конечное число периодов;
б) если число Т – период функции f(x), то число 2Т также период этой функции;
в) если Т 1 и Т 2 – периоды функции f(x), то число Т 1 + Т 2 также период этой функции?
Укажите ложное высказывание:
а) возрастающая функция не может быть периодической;
б) убывающая функция не может быть периодической;
в) периодическая функция имеет бесконечное множество корней;
г) у периодической функции не может быть конечного множества корней.
Устные задания:
4. Какая из функций не является периодической:
а)
в)
д)
;
б)
; г)
; е)
?
5. У какой функции наименьший положительный период больше 2 π :
а)
б)
в)
г)
?
6. Определите период функции, график которой изображен на рисунке:
Комментарии:
Вопросы 1-3 (сложности С) могут быть предложены учащимся математического класса сразу после введения понятия периодической функции. Учитель с их помощью может выяснить степень осознания учащимися данного понятия.
Задание 4 (сложности В) носит обобщающий характер и поэтому может быть предложено учащимся обычного класса на обобщающем уроке темы «Периодичность тригонометрических функций».
Задание 5 (сложности С) может быть использовано для устной фронтальной работы только в математическом классе. В общеобразовательном классе это задание следует вынести на письменную работу.
Задание 6 (сложности А) предназначено для учащихся гуманитарного класса. Оно носит тренировочный характер и может быть предложено учащимся сразу после изучения данной темы.
5.2. Чётность
Качественные вопросы:
- Какое высказывание ложно:
а) сумма двух чётных на R функций есть функция чётная;
б) разность двух четных на R функций есть функция четная;
в) произведение двух четных на R функций есть функция четная;
г) всякая функция либо чётная, либо нечетная.
Устные задания:
- Укажите график нечётной функции:
- Какая из указанных функций является нечётной:
;
;
;
?
Алгебра и начала математического анализа.10-11классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г.Мордкович и дл.] под ред. А.Г.Мордковича.-10-у изд., стер.-М.:Мнемозина,2009.-239 с.: ил.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.10-11классы. В 2ч. Ч.1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г.Мордкович.10-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2009.-399 с.: ил.
