Характеристики положения и рассеяния статистического распределения. Числовые характеристики рассеяния случайной величины. Промежуточные вычисления расчета дисперсии

ЭФФЕКТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (ПЛОЩАДЬ) РАССЕЯНИЯ - характеристика отражающей способности цели, выражаемая отношением мощности эл. магн. энергии, отражаемой целью в направлении приёмника, к поверхностной плотности потока энергии, падающей на цель. Зависит от… … Энциклопедия РВСН

Квантовая механика … Википедия

- (ЭПР) характеристика отражающей способности цели, облучаемой электромагнитными волнами. Значение ЭПР определяется как отношение потока (мощности) электромагнитной энергии, отражаемой целью в направлении радиоэлектронного средства (РЭС), к… … Морской словарь

полоса рассеяния - Статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от средних значения. Тематики металлургия в целом EN desperal band … Справочник технического переводчика

- (функция передачи модуляции), ф ция, с помощью к рой оценивают «резкостные» св ва изображающих оптич. систем и отд. элементов таких систем. Ч. к. х. есть преобразование Фурье т. н. функции рассеяния линии, описывающей характер «расплывания»… … Физическая энциклопедия

Функция передачи модуляции, функция, с помощью которой оценивают «резкостные» свойства изображающих оптических систем и отдельных элементов таких систем (см., например, Резкость фотографического изображения). Ч. к. х. есть Фурье… …

полоса рассеяния - статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от среднего значения. Смотри также: Полоса полоса скольжения полоса сброса полоса прокаливаемости … Энциклопедический словарь по металлургии

ПОЛОСА РАССЕЯНИЯ - статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от средних значения … Металлургический словарь

Характеристика рассеяния значений случайной величины. М. т. h связана с квадратичным отклонением (См. Квадратичное отклонение) σ формулой Этот способ измерения рассеяния объясняется тем, что в случае нормального… … Большая советская энциклопедия

ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА - ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА, термин, объединяющий группу приемов статистического анализа, применяющихся преимущественно в естественных науках. Во второй половине XIX в. Кетле (Quetelet, «Anthro pometrie ou mesure des differentes facultes de 1… … Большая медицинская энциклопедия

Математическое ожидание - (Population mean) Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины Математическое ожидание, определение, математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, выборочное, условное матожидание, расчет,… … Энциклопедия инвестора

Как ни важны средние характеристики, но не менее важной характеристикой массива числовых данных является поведение остальных членов массива по отношению к среднему показателю, на сколько они отличаются от средних показателей, как много членов массива значительно отличаются от среднего. На тренировках по стрельбе говорят о кучности результатов, в статистике исследуют характеристики рассеяния (разброса).

Отличие какого-либо значения х, от среднего значения х называют отклонением и вычисляют как разность х, - х. При этом отклонение может принимать как положительные значения, если число больше среднего, так и отрицательные значения, если число меньше среднего. Однако в статистике часто важно иметь возможность оперировать одним числом, характеризующим «кучность» всех числовых элементов массива данных. Любое суммирование всех отклонений членов массива приведет к нулю, так как положительные и отрицательные отклонения взаимно уничтожатся. Чтобы избежать обнуления, используют для характеристики рассеяния квадраты разностей, точнее, среднее арифметическое квадратов отклонений. Такую характеристику рассеяния называют выборочная дисперсия.

Чем больше дисперсия, тем больше рассеяние значений случайной величины. Для вычисления дисперсии используют приближенное значение выборочного среднего х с запасом на один разряд по отношению ко всем членам массива данных. В противном случае при суммировании большого количества приближенных значений будет накапливаться существенная ошибка. В связи с размерностью числовых значений следует отметить один недостаток такого показателя рассеяния, как выборочная дисперсия: единица измерения дисперсии D является квадратом единицы измерения значений х, характеристикой которых дисперсия является. Чтобы избавиться от этого недостатка, в статистике введена такая характеристика рассеяния, как выборочное среднее квадратичное отклонение , которое обозначается символом а (читается «сигма») и вычисляется по формуле

В норме более половины членов массива данных отличаются от среднего показателя меньше, чем на величину среднего квадратичного отклонения, т.е. принадлежат отрезку [х - а; х + а]. Иначе говорят: средний показатель с учетом разброса данных равен х ± а.

Введение еще одной характеристики рассеяния связано с размерностью членов массива данных. Все числовые характеристики в статистике вводятся с целью сравнения результатов исследования разных числовых массивов, характеризующих разные случайные величины. Однако сравнивать средние квадратичные отклонения от разных средних величин разных массивов данных не показательно, особенно если еще и размерность этих величин отличается. Например, если сравнивается длина и вес каких- либо объектов или рассеяния при изготовлении микро- и макроизделий. В связи с вышеизложенными соображениями вводится характеристика относительного рассеяния, которая называется коэффициентом вариации и вычисляется по формуле

Для подсчета числовых характеристик рассеяния значений случайной величины удобно использовать таблицу (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Подсчет числовых характеристик рассеяния значений случайной величины

			Xj - X		(Xj-X) 2 /

В процессе заполнения этой таблицы находится выборочное среднее х, которое в дальнейшем будет использоваться в двух видах. Как итоговая средняя характеристика (например, в третьем столбце таблицы) выборочное среднее х должно быть округлено до разряда, соответствующего наименьшему разряду какого-либо члена массива числовых данных х г Однако этот показатель используется в таблице при дальнейших вычислениях, и в этой ситуации, а именно при вычислениях в четвертом столбце таблицы, выборочное среднее х должно быть округлено с запасом на один разряд по отношению к наименьшему разряду какого-либо члена массива числовых данных х { .

Итогом вычислений при помощи таблицы типа табл. 6.9 будет получение значения выборочной дисперсии, а для записи ответа надо на основе значения выборочной дисперсии посчитать значение среднего квадратичного отклонения а.

В ответе указывается: а) средний результат с учетом разброса данных в виде х±о ; б) характеристика стабильности данных V. В ответе следует оценить качество коэффициента вариации: плохой или хороший.

Допустимым коэффициентом вариации как показателем однородности или стабильности результатов в спортивных исследованиях считается 10-15%. Коэффициент вариации V = 20% в любых исследованиях считается весьма большим показателем. Если объем выборки п > 25, то V > 32% - очень плохой показатель.

Например, для дискретного вариационного ряда 1; 5; 4; 4; 5; 3; 3; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 3; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 3; 3; 3; 3; 3 табл. 6.9 будет заполнена следующим образом (табл. 6.10).

Таблица 6.10

Пример подсчета числовых характеристик рассеяния значений

*1	fi
		1
		Л п 25 = 2,92 = 2,9			D _S_47,6_ п 25

Ответ : а) средняя характеристика с учетом разброса данных равна х ± а = = 3 ± 1,4; б) стабильность полученных измерений находится на низком уровне, так как коэффициент вариации V = 48% > 32%.

Аналог табл. 6.9 может быть использован и для вычисления характеристик рассеяния интервального вариационного ряда. При этом варианты х г будут заменены представителями промежутков x v ja абсолютные частоты вариант f { - на абсолютные частоты промежутков f v

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы.

Выводы математической статистики правдоподобны, если обрабатывается информация о массовых явлениях.

Обычно исследуется выборка из генеральной совокупности объектов, которая должна быть репрезентативна.

Опытные данные, полученные в результате исследования какого-либо свойства объектов выборки, представляют собой значение случайной величины, поскольку исследователь заранее не может предсказать, какое именно число будет соответствовать определенному объекту.

Для выбора того или иного алгоритма описания и первичной обработки опытных данных важно уметь определять тип случайной величины: дискретная, непрерывная или смешанная.

Дискретные случайные величины описываются дискретным вариационным рядом и его графической формой - полигоном частот.

Смешанные и непрерывные случайные величины описываются интервальным вариационным рядом и его графической формой - гистограммой.

При сравнении нескольких выборок по уровню сформированное™ некоторого свойства используют средние числовые характеристики и числовые характеристики рассеяния случайной величины по отношению к средним.

При вычислении средней характеристики важно правильно выбрать вид средней характеристики, адекватный области ее применения. Структурные средние значения мода и медиана характеризуют структуру расположения вариант в упорядоченном массиве опытных данных. Количественное среднее значение дает возможность судить о среднем размере вариант (выборочная средняя).

Для вычисления числовых характеристик рассеяния - выборочной дисперсии, среднего квадратичного отклонения и коэффициента вариации - эффективен табличный способ.

Характеристики положения описывают центр распределения. В то же время значения вариант могут группироваться вокруг него как в широкой, так и в узкой полосе. Поэтому для описания распределения необходимо охарактеризовать диапазон изменения значений признака. Для описания диапазона варьирования признака используются характеристики рассеяния. Наиболее широкое применение нашли размах вариации, дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значением признака в изучаемой совокупности:

R =x max -x min .

Очевидным достоинством рассматриваемого показателя является простота расчета. Однако поскольку размах вариации зависит от величин только крайних значений признака, то область его применения ограничена достаточно однородными распределениями. В остальных случаях информативность этого показателя весьма невелика, поскольку существует очень много распределений, сильно отличающихся по форме, но имеющих одинаковый размах. В практических исследованиях размах вариации используется иногда при малых (не более 10) объемах выборки. Так, например, по размаху вариации легко оценить, насколько различаются лучший и худший результаты в группе спортсменов.

В рассматриваемом примере:

R =16,36 – 13,04=3,32 (м).

Второй характеристикой рассеяния является дисперсия. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения значения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсия есть характеристика рассеяния, разбросанности значений величины около ее среднего значения. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние».

При проведении выборочных исследований необходимо установить оценку для дисперсии. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсией и обозначается S 2 .

На первый взгляд наиболее естественной оценкой для дисперсии является статистическая дисперсия, вычисленная, исходя из определения, по формуле:

В этой формуле - сумма квадратов отклонений значений признака х i от среднего арифметиче­ского . Для получения среднего квадрата отклонений эта сумма поделена на объем выборки п .

Однако такая оценка не является несмещенной. Можно показать, что сумма квадратов отклонений значений признака для выборочного среднего арифметического меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой величины, в том числе от истинного среднего (математического ожидания). Поэтому результат, получаемый по приведенной выше формуле, будет содержать систематическую ошибку, и оценочное значение дисперсии окажется заниженным. Для ликвидации смещения достаточно ввести поправочный коэффициент . В результате получается следующее соотношение для оценочной дисперсии:

При больших значениях n , естественно, обе оценки - смещенная и несмещенная – будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл. Как правило, уточнение формулы для оценки дисперсии следует производить при n <30.

В случае сгруппированных данных последнюю формулу для упрощения вычислений можно привести к следующему виду:

где k - число интервалов группировки;

n i - частота интервала c номером i ;

x i - срединное значение интервала c номером i .

В качестве примера проведем вычисление дисперсии для сгруппированных данных разбираемого нами примера (см. табл. 4.):

S 2 =/ 28=0,5473 (м 2).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины, что затрудняет ее интерпретацию и делает не очень наглядной. Для более наглядного описания рассеяния удобнее пользоваться характеристикой, размерность которой совпадает с размерностью исследуемого признака. С этой целью вводится понятие стандартного отклонения (или среднего квадратического отклонения ).

Стандартным отклонением называется положительный корень квадратный из дисперсии:

В разбираемом нами примере стандартное отклонение равно

Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения исследуемого признака и, таким образом, оно характеризует степень отклонения признака от среднего арифметического. Иными словами, оно показывает, как расположена основная часть вариант относительно среднего арифметического.

Стандартное отклонение и дисперсия являются наиболее широко применяемыми показателями вариации. Связано это с тем, что они входят в значительную часть теорем теории вероятностей, служащей фундаментом математической статистики. Помимо этого, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов на вариацию исследуемого признака.

Помимо абсолютных показателей вариации, которыми являются дисперсия и стандартное отклонение, в статистике вводятся относительные. Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Коэффициент вариации равен отношению стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженному в процентах:

Из определения ясно, что по своему смыслу коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеяния признака.

Для рассматриваемого примера:

Коэффициент вариации широко используется при проведении статистических исследований. Будучи величиной относительной, он позволяет сравнивать колеблемости как признаков, имеющих различные единицы измерения, так одного и того же признака в нескольких разных совокупностях с различными значениями среднего арифметического.

Коэффициент вариации используется для характеристики однородности полученных экспериментальных данных. В практике физической культуры и спорта разброс результатов измерений в зависимости от значения коэффициента вариации принято считать небольшим (V<10%), средним (11-20%) и большим (V> 20%).

Ограничения на использование коэффициента вариации связаны с его относительным характером – определение содержит нормировку на среднее арифметическое. В связи с этим при малых абсолютных значениях среднего арифметического коэффициент вариации может потерять свою информативность. Чем ближе значение среднего арифметического к нулю, тем менее информативным становится этот показатель. В предельном случае среднее арифметическое обращается в ноль (например, температура) и коэффициент вариации обращается в бесконечность независимо от разброса признака. По аналогии со случаем погрешности можно сформулировать следующее правило. Если значение среднего арифметического в выборке больше единицы, то использование коэффициента вариации правомерно, в противном случае для описания разброса опытных данных следует использовать дисперсию и стандартное отклонение.

В заключение этой части рассмотрим оценку варьирования значений оценочных характеристик. Как уже было отмечено, значения характеристик распределения, рассчитанные по данным эксперимента, не совпадают с их истинными значениями для генеральной совокупности. Точно установить последние не представляется возможным, поскольку, как правило, невозможно обследовать всю генеральную совокупность. Если использовать для оценки параметров распределения результаты разных выборок из одной и той же генеральной совокупности, то окажется, что эти оценки для разных выборок отличаются друг от друга. Оценочные значения флуктуируют около своих истинных значений.

Отклонения оценок генеральных параметров от истинных значений этих параметров называются статистическими ошибками. Причиной их возникновения является ограниченный объем выборки - не все объекты генеральной совокупности входят в нее. Для оценки величины статистических ошибок используется стандартное отклонение выборочных характеристик.

В качестве примера рассмотрим наиболее важную характеристику положения - среднее арифметическое. Можно показать, что стандартное отклонение среднего арифметического определяется соотношением:

где σ - стандартное отклонение для генеральной совокупности.

Поскольку истинное значение стандартного отклонения не известно, то для оценки стандартного отклонения выборочного среднего используется величина, называемая стандартной ошибкой среднего арифметического и равная:

Величина характеризует ошибку, которая в среднем допускается при замене генерального среднего его выборочной оценкой. Согласно формуле, увеличение объема выборки при проведении исследования приводит к уменьшению стандартной ошибки пропорционально корню квадратному из объема выборки.

Для рассматриваемого примера значение стандартной ошибки среднего арифметического равно . В нашем случае она оказалась в 5,4 раза меньше значения стандартного отклонения.

К основным статистическим характеристикам ряда измерений (вариацион­ного ряда) относятся характеристики положения (средние характе­ристики, или центральная тенденция выборки ); характеристики рассеяния (ва­риации, или колеблемости ) и характеристики формы распределения.

К характеристикам положения относятся среднее арифметическое значе­ние (среднее значение ), мода и медиана.

К характеристикам рассеяния (вариации, или колеблемости ) относятся: размах вариации , дисперсия , среднее квадратическое (стандартное ) отклонение , ошибка средней арифметической (ошибка средней ), коэффициент вариации и др.

К характеристикам формы относятся коэффициент асимметрии, мера ско­шенности и эксцесс.

Характеристики положения

Среднее арифметическое значение – одна из основных характеристик вы­борки.

Она, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Точность вычисления по необработанным данным выше, но процесс вычисления оказывается трудоёмким при большом объёме выборки.

Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по формуле:

где n - объем выборки, х 1 , х 2 , ... х n - результаты измерений.

Для сгруппированных данных:

где n - объем выборки, k – число интервалов группировки, n i – частоты интервалов, x i – срединные значения интервалов.

Мода

Определение 1. Мода - наиболее часто встречающаяся величина в данных вы­борки. Обозначается Мо и определяетсяпо формуле:

где - нижняя граница модального интервала, - ширина интервала группи­ровки, - частота модального интервала, - частота интервала, предшествую­щего модальному, - частота интервала, последующего за модаль­ным.

Определение 2. Модой Мо дискретной случайной величины называется наиболее вероятное её значение.

Геометрически моду можно интерпретировать как абсциссу точки максимума кривой распределения. Бывают двухмодальные и многомодальные распределения. Встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимума. Такие распределения называются антимодальными .

Определение. Модальным интервалом называется интервал группировки с наибольшей частотой.

Медиана

Определение . Медиана - результат измерения, который находится в сере­дине ранжированного ряда, иначе говоря, медианой называется значение признака Х , когда одна половина значений экспериментальных данных меньше её, а вторая половина – больше, обозначается Ме .

Когда объем выборки n - четное число, т. е. результатов измерений четное количество, то для определения медианы рассчитывается среднее значение двух показателей выборки, находящихся в середине ранжированного ряда.

Для данных, сгруппированных в интервалы, медиану определяют по фор­муле:

,

где - нижняя граница медианного интервала; ширина интервала группи­ровки, 0,5n – половина объёма выборки, - частота медианного интервала, - накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Определение. Медианным интервалом называется тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объёма выборки (n/ 2) или накопленная частость окажется больше 0,5.

Численные значения среднего, моды и медианы отличаются, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения.

Характеристики рассеяния результатов измерений

Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значе­ния может характеризовать совершенно различные выборки.

Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости ) результатов .

Размах вариации

Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется

R =X max - X min .

Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах вы­борки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов.

Дисперсия

Определение. Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического.

Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле

s 2 = , (1)

где Х i – значение признака, - среднее арифметическое.

Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле

,

где х i – среднее значение i интервала группировки, n i – частоты интервалов.

Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округ­лении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая фор­мула:

для сгруппированных данных:

.

Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы.