II семестр
- Признаки возрастания и убывания функции. Теорема Лагранжа.
Определение возрастающей функции.
Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и 
выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции.
Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и 
выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Теорема Лагранжа: Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того, что существует касательная к графику f в точке с абсциссой с из интервала (а; b), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (b; f (b)).
Рассмотрим прямую l, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью графика, соответствующей промежутку [а; b]. Будем перемещать эту прямую l по направлению к графику f так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем положение l 0 этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графика.
Из рис.1 видно, что любая из таких «первых» общих точек - точка касания прямой l 0 с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f’(c)=tg α, где α - угол между прямой l 0 и осью абсцисс. Но l||АВ, поэтому угол α равен углу наклона секущей АВ, т. е. Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b) найдется такая точка c∈ (а; b) (рис. 2), что 
- Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Достаточные признаки возрастания и убывания функции :
- если функция f(x)в каждой точке интервала (a,b) имеет положительную производную, то сама функция в этом интервале возрастает;
- если функция f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет отрицательную производную, то функция в этом интервале убывает.
Определение . Функция у=f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке х=х 0 , если f(x 0) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой окрестности этой точки.
- Экстремумы функции. Исследование функции на экстремумы по 1 производной.
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) > f(x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).
Точка x 0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x 0 , для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(x 0) (f(x) ³ f(x 0)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума . Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(x 0) = 0, либо f ¢(x 0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
По 1-ой производной:
Пусть x 0 - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x 0 меняет знак плюс на минус, то в точке x 0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x 0 экстремума нет.
Необходимые условия экстремума. Если точка x 0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(x 0) = 0, либо f ¢(x 0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
- Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
Выпуклость функции, точки перегиба
Хорда, соединяющая точки M 1 (x 1 , f(x 1)), M 2 (x 2 , f(x 2)) графика функции f(x) задается функцией
y=L(x, x 1 , x 2) = f(x 1) + f(x 2) (*)
Это проверяется подстановкой координат x 1 , x 2 в правую часть.
Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на , если для "x 1 L(x, x 1 , x 2) = f(x 1) Если f непрерывна на , дважды дифференцируема на (a,b) и f¢¢(x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз. Доказательство. "a£x 1 Определение. Точка x 0 называется точкой перегиба функции f, если в точке x 0 существует касательная и в некоторой окрестности точки x 0 график f лежит по разные стороны от касательной. Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений. Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке . Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках. Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке: 1.Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках. 2.Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b. 3.Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. 1 a.Найти ОДЗ и точки разрыва функции. b.Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 2.Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания. 3.Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. 4.Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные. 5.На основании проведенного исследования построить график функции. Определение.
Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F"(x)= f (x). Пример:
1.Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1). Решение: F"(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F"(x) = f(x), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x). Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения: Примеры плоских фигур Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах: где A, B и C - произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором. Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки и Параметрические уравнения прямой.
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде: Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение получается из параметрических уравнений делением одного уравнения на другое: Где - координаты Х и Y направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой. Общее уравнение
Ax + By + C ( > 0).
Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой. Частные случаи: 1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox; 2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy; 3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат; 4) y = 0 - ось Ox; 5) x = 0 - ось Oy. Условие параллельности прямых: k 1 = k 2 . Условие перпендикулярности прямых: k 1 ·k 2 = −1. Углом между пересекающимися прямыми на плоскости, называется градусная мера наименьшего из углов, образованных при пересечении этих прямых. Угол между совпадающими или параллельными прямыми считается равным нулю. Угол α между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k1x+b1 (первая прямая) и y=k2x+b2 (вторая прямая), может быть вычислен по формуле (угол отсчитывается от 1й прямой ко 2й против часовой стрелки): tg(α)=(k2-k1)/(1+k1k2) Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. а) прямая лежит в плоскости; б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку; в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Параллельность плоскостей и обозначается так: || . Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей. Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Свойства параллельных плоскостей: Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. Признаки параллельности прямой и плоскости: 1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости. 2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Признаки параллельности плоскостей: 1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости: 1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Наклонная к плоскости. Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной. Признаки параллельности прямых в пространстве: 1) Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. 2) Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая --- ребром двугранного угла. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Призма - многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Виды призм: Прямая призма - призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию, в противном случае призма называется наклонной. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или высоту). В прямой призме боковые ребра являются высотами. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро. Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. Боковые ребра правильной призмы равны. Правильная призма является прямой. Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где P - периметр перпендикулярного сечения, l - длина бокового ребра. Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию. Объем призмы: V = S основ H Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V= SH= abc Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: где S – площадь основания, H – высота пирамиды. Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований. Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος - валик, каток) - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность - поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет прямоугольник. Осевым сечением называется сечение, которое проходит через ось цилиндра. Площадь боковой поверхности
цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту: S=2π rh Полная площадь поверхности
цилиндра: Сечение цилиндра. Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Площадь конуса: Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Площадь поверхности усеченного конуса: S=π(r12+(r1+ r2) l+ r22) Шар - это тело ограниченное шаровой поверхностью. Сфера (греч. σφαῖρα - шар) - замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Площадь сферы: Площадь сферической части поверхности шарового сектора: , где H – высота сегмента. Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος - валик, каток) - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Конус: Усеченный конус: V=1/3π h(r 2 +r 1 ·r 2 +r 2 2) Усеченный конус (рис. 1.20)
Объем шарового сегмента: Объем шарового сектора: Свойства: · Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали. · Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. · Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны. · Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы. Константа
y = C
Степенная функция y = x p
(x p) " = p · x p - 1
Показательная функция
y = a x
(a x) " = a x · ln a
В частности, при
a = e
имеем
y = e x
(e x) " = e x
Логарифмическая функция
(log a x) " = 1 x · ln a
В частности, при
a = e
имеем
y = ln x
(ln x) " = 1 x
Тригонометрические функции
(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Обратные тригонометрические функции
(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Гиперболические функции
(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций. Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x , где x
принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x
является любым числом из области определения функции f (x) = C . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ x → 0: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0 ∆ x . Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль. Итак, производная постоянной функции f (x) = C равна нулю на всей области определения. Пример 1
Даны постоянные функции: f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Решение
Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а
, где а
- любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый - производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби - 8 7 . Ответ:
производные заданных функций есть нуль при любом действительном x
(на всей области определения) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0 Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (x p) " = p · x p - 1 , где показатель степени p
является любым действительным числом. Доказательство 2
Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 , 3 , …
Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p Таким образом: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 2 + C p p · (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1 Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число. Доказательство 3
Чтобы привести доказательство для случая, когда p -
любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции. Рассмотрим два случая: когда x
положительны и когда x
отрицательны. Итак, x > 0 . Тогда: x p > 0 . Логарифмируем равенство y = x p по основанию e и применим свойство логарифма: y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную: (ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1 Теперь рассматриваем случай, когда x –
отрицательное число. Если показатель p
есть четное число, то степенная функция определяется и при x < 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Тогда x p < 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Если p
есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x < 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Последний переход возможен в силу того, что если p
- нечетное число, то p - 1
либо четное число, либо нуль (при p = 1), поэтому, при отрицательных x
верно равенство (- x) p - 1 = x p - 1 . Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p . Пример 2
Даны функции: f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12 Определите их производные. Решение
Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y = x p , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу: f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84 Выведем формулу производной, взяв за основу определение: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z = a ∆ x - 1 (z → 0 при ∆ x → 0). В таком случае a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма. Осуществим подстановку в исходный предел: (a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции: (a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a Пример 3
Даны показательные функции: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x Необходимо найти их производные. Решение
Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма: f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x
в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом. Пример 4
Заданы логарифмические функции: f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x Необходимо вычислить их производные. Решение
Применим выведенную формулу: f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x · ln e = 1 x Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x
. Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции. Согласно определению производной функции синуса, получим: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Наконец, используем первый замечательный предел: sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Итак, производной функции sin x
будет cos x
. Совершенно также докажем формулу производной косинуса: cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x Т.е. производной функции cos x будет – sin x
. Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования: t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем. Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции: s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Введение
Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в ХVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Производная функции – одно из основных математических понятий дифференциального исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков (в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница) и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. 2. Числовая функция. Схема исследования функции
. (Смотри конспекты по теме «Степенная функция») 1) Область определения функции. 2) Множество значений функции. 3) Четность, нечетность функции. 4) Монотонность функции. 5) Обратимость функции. 6) Нули функции. 7) Промежутки знакопостоянства функции. 8) Ограниченность функции. Упражнения
:
а) ; б) ; в) а) ; б) ; г) .
3.
Понятие предела функции в точке.
Рассмотрим графики некоторых функций. Изучим поведение функций вблизи точки х 0
, то есть в некоторой окрестности точки х 0
. Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
Функция обладает свойством, отличающим ее от двух других функций. 1. При приближении аргумента х
к х 0
слева и справа соответствующие значения функции сколь угодно близки к одному и тому же числу А
.
Этим свойством не обладают две другие функции. 2. При приближении аргумента х
к х 0
слева соответствующие значения функции сколь угодно близки к числу А
, а при приближении аргумента х
к х 0
справа соответствующие значения функции сколь угодно близки к числу В
.
3. Функция при приближении аргумента х
к х 0
слева и справа принимает различные значения.
Вывод
:
Еслипри приближении аргумента х
к х 0
слева и справа точки с координатами сколь угодно близки к точке с координатами , то . Пример
: Имеет ли функция
предел в точках х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5 ?
Ответ: Функция
имеет предел в точках х 1 , х 3 ;
функция
не имеет предела в точках х 2 , х 4 , х 5 .
Замечание
:
4.
Определение функции непрерывной в точке и на промежутке
Понятие непрерывности функции удобно связать с представлением о графике этой функции как о «неразрывной» (сплошной) линии. Сплошной линией будем считать линию, начерченную без отрыва карандаша от бумаги. Вопрос: Какие из данных функций являются непрерывными?
Рис. 4. Рис. 5.
Ответ: Из данных функций непрерывной является функция, изображенная на рис. №3, так как ее график - «неразрывная» (сплошная) линия.
Вопрос: Какими свойствами обладает функция, изображенная на рис. №3, и не обладают другие функции?
Ответ:
1. Функция определена в точке х 0 . Это свойство не выполняется для функции, изображенной на рис. №1.
2. Существует конечный предел функции в точке х 0 . Это свойство не выполняется для функций, изображенных на рис. №2, 5.
3. Предел функции в точке х 0 равен значению функции в этой точке, то есть Свойства, которые выполняются для функции, изображенной на рис. №3, и дают возможность дать определение функции непрерывной в точке х 0
. Определение
: Функция называется непрерывной в точке х 0
, если Замечание
:
Если функция является непрерывной в точкех 0
,
то точка х 0
называется точкой непрерывности функции, если функция не является непрерывной в точкех 0
,
то точка х 0
называется точкой разрыва функции. 5. Приращение аргумента, приращение функции Пусть задана функция , . х 0 –
начальное значение аргумента, ; х–
конечное значение аргумента, ; f (х 0) –
начальное значение функции; f(х 0 +D х) –
конечное значение функции. Определение
: Разность конечного и начального значений аргумента называется приращением аргумента. D х = х – х 0
Определение
: Разность конечного и начального значений функции называется приращением функции. D у = f(х 0 +D х) – f (х 0)
Замечание
:
6. Понятие производной функции. Физический смысл производной функции Рассмотрим задачу о скорости изменения функции , где х
и у
могут быть любыми физическими величинами. х 0 –
начальное значение аргумента; f (х 0) –
начальное значение функции; х 0 +D х –
конечное значение аргумента; f(х 0 +D х) –
конечное значение функции; D у = f(х 0 +D х) – f (х 0) –
приращение функции; –
средняя скорость изменения функции на интервале D х
. –
мгновенная скорость изменения функции, скорость изменения функции в точке х 0
.
Определение
: Производной функции в точке х 0
называется предел отношения приращения D у
функции в точке х 0
к приращению D х
аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Вывод
: Производная функции в точке х 0
есть скорость изменения функции в точке х 0
.
Теорема
: Производная постоянной функции у = с
в любой точке
равна нулю.
Теорема
: Производная функции у = х
в любой точке
равна единице.
.
Замечание
:
Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием. 7. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций Рассмотрим функцию ,
состоящую из двух других функций и , имеющих производные на отрезке : 3) Теорема №1
: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций.
Пример
: Вычислить производную функции
Теорема №2
: Производная произведения двух функций определяется по формуле:
Следствие
:
Постоянный множитель можно вынести за знак производной: . Доказательство:
.
Пример
Упражнения
:
2) Производная степенной функции при вычисляется по формуле:
Замечание
:
Формула справедлива для степенной функции с любым показателем степени . Пример
: Вычислить производные функций:
Вывод
: Упражнения
: Вычислить производные функций:
Теорема №3
: Производная частного двух функций определяется по формуле:
Следствия
:
;
Пример
: Вычислить производные функций:
2) . .
3) . Упражнения
: Вычислить производные функций:
8. Понятие сложной функции Правило дифференцирования сложной функции Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для , соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от х
(функцией от функции). Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции. Пример
:
Упражнения
:
Вывод
: Производная сложной функции равна произведению производных элементарных функций, ее составляющих.
Пример
: Вычислить производные функций:
- степенная, линейная; , .
- степенная, квадратичная; , .
Упражнения
: Вычислить производные функций:
9. Производная показательной, логарифмической функций Пример
: Вычислить производные функций:
1. . 2. . 3. . Пример
: Вычислить производные функций:
1. . 2. . Упражнения
: Вычислить производную функции:
10. Производные тригонометрических функций Производные обратных тригонометрических функций Пример
: Вычислить производные функций:
1. 2. . .
Задача
. Задача
: Вычислить производную функции .
Упражнение
: Вычислить производную функции .
Производные обратных тригонометрических функций
Упражнения
: Вычислить производные функций:
11. Рассмотрим функцию . На графике функции возьмем фиксированную точку
и произвольную точку
. Проведем секущую
. Если точку М
неограниченно приближать к точке М 0
по графику функции , то секущая М 0 М
будет занимать различные положения и при совпадении точки М
с точкой М 0
секущая займет предельное положение М 0 Т
, тогда прямая М 0 Т
будет касательной к графику функции в точке М 0
. Определение
: Касательной к графику функции
в точке М 0
называется предельное положение М 0 Т
секущей
при стремлении точки М
по графику к точке М 0 .
b
- угол наклона секущей М 0 М
a
-угол наклона касательной М 0 Т
к положительному направлению оси абсцисс. Угловой коэффициент секущей М 0 М
. Угловой коэффициент касательной М 0 Т
. Рассмотрим прямоугольный треугольник М 0 МА
( То есть Определим производную функции в точке х 0
: Вывод
:
Геометрический смысл производной функциисостоит в том, чтопроизводная функции при равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
Пример
:
1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точках Ответ: ; ; .
2. Найти угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
Установим необходимое условие существования экстремума. Теорема Ферма
: Если внутренняя точка х 0
из области определения непрерывной функции является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю.
Замечание
:
Однако равенство нулю производной функции в точке х 0
еще не дает права утверждать, что х 0
–
точка экстремума функции. Для нахождения производной тригонометрической функции
нужно пользоваться
таблицей производных
, а именно производными 6-13. При нахождении производных простых тригонометрических функций
во избежание
распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты: Пример 1.
Найти производную функции Решение. Допустим, с производной косинуса
всё понятно, скажут многие,
начинающие изучать производные. А как быть с производной синуса
двенадцати, делённых на
пи? Ответ: считать равной нулю! Здесь синус (функция всё-таки!) - ловушка, потому что
аргумент - не переменная икс или любая другая переменная, а просто число. То есть,
синус этого числа - тоже число. А производная числа (константы), как мы знаем из
таблицы производных, равна нулю. Итак, оставляем только минус синус икса и находим
его производную, не забывая про знак: Пример 2.
Найти производную функции Решение. Второе слагаемое - тот же случай, что и первое слагаемое
в предыдущем примере. То есть, число, а производная числа равна нулю. Находим производную
второго слагаемого как производную частного: Пример 3.
Найти производную функции Решение. Это уже другая задача: здесь в первом слагаемом нет ни
арксинуса, ни другой тригонометической функции, но есть икс, а значит, это функция
от икса. Следовательно, дифференцируем её как слагаемое в сумме функций: Здесь потребовались навыки в действиях с дробями , а именно - в
ликвидации трёхэтажности дроби. Пример 4.
Найти производную функции Решение. Здесь буква "фи" играет ту же роль, что "икс" в предыдущих
случаях (и в большинстве других, но не во всех) - независимой переменной. Поэтому,
когда будем искать производную произведения функций, не будем спешить объявлять
равной нулю производную корня от "фи". Итак: Но на этом решение не заканчивается. Так как в двух скобках собраны
подобные члены, от нас ещё требуется преобразовать (упростить) выражение. Поэтому
умножаем скобки на вынесенные за них множители, а далее приводим слагаемые к общему
знаменателю и выполняем другие элементарные преобразования: Пример 5.
Найти производную функции Решение. В этом примере от нас потребуется знание того факта, что
существует такая тригонометрическая функция - секанс - и её формулы через косинус. Дифференцируем: Пример 6.
Найти производную функции Решение. В этом примере от нас потребуется помнить из школьного
курса формулу двойного угла. Но сначала дифференцируем: (это и есть формула двойного угла)
, где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.
Если f(x) непрерывна и положительна на , то интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).
или в общем виде 
где t - производный параметр, ax, ay - координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом
; 
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) - многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.
Параллелепи́пед (от греч. παράλλος - параллельный и греч. επιπεδον - плоскость) - призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.
Производная постоянной
Доказательство 1
Производная степенной функции
Производная показательной функции
Доказательство 4
Производная логарифмической функции
Доказательство 5
Производные тригонометрических функций
Доказательство 6
Производные обратных тригонометрических функций
Производные гиперболических функций
Доказательство 7
.
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
. Это свойство не выполняется для функции, изображенной на рис. №4.
.
Определение
:
Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
.
;
, 
.
1) 
;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. 
;
7.
;
8. ;
9. 
.
1) ;
2) ;
3)
;
4) .
1) , ;
2) , ;
3) , .
4) , , .
.
1. ;
2. 
;
3. ;
4. ;
5.
;
6. .
.
.
.
.
.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. .
.
. .
.
.
;
;
;
.
1.
2. 
3.
4. 
5.
6.
7.
8.
9. 
10.
11.
12.
13. 
Геометрический смысл производной функции
). Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему: 
. А, значит, 
.
. , , следовательно, 
.
.
; 
; ; ; ; .
; 
; ; ; .
параллельна прямой;
.
.
.
.
,
