Исследовать на сходимость числовой ряд примеры решения. Признаки сходимости числовых рядов

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда и свойства числовых рядов (в частности, нам понадобятся свойства №3 и №4). Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов" .

Признаки сравнения применяются для исследования числовых рядов, члены которых неотрицательны, т.е. больше или равны нулю. Такие ряды называются положительными (в части литературы - неотрицательными или знакоположительными). Именно такие ряды мы и станем рассматривать в данной теме.

Первый признак сравнения (или первая теорема сравнения) формулируется следующим образом:

Первый признак сравнения

Пусть заданы два положительных ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$. Если начиная с некоторого номера $n_0$ выполнено неравенство $u_n≤ v_n$, то:

1. если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ будет расходящимся.
2. если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ будет сходящимся.

Упрощённо говоря, если ряд с меньшими членами не имеет суммы (расходится), то и ряд с бо́льшими членами тоже будет расходиться. И это логично, ибо если исходная сумма была бесконечно большой, то после увеличения слагаемых она такой и останется.

Ну, и если ряд с бо́льшими членами имеет сумму (сходится), то и ряд с меньшими членами тоже будет сходиться.

Признак сравнения можно сформулировать также и в иной форме. Обычно говорят, что это второй признак сравнения (или вторая теорема сравнения). Иногда его называют предельным признаком сравнения или признаком сравнения в предельной форме. Формулировка его такова:

Второй признак сравнения

Пусть заданы два положительных ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$. Если при условии $v_n\neq 0$ существует предел $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=K,$$ где $0 < K < \infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходятся либо расходятся одновременно.

Заметьте, что для применения признаков сравнения нам нужно иметь некий ряд, сходимость которого известна заранее. Чаще всего в роли ряда для сравнения выступает обобщённый гармонический ряд

\begin{equation}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}\end{equation}

Если $\alpha > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$ сходится, а если $\alpha ≤ 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$ расходится. Например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^5}$ сходится, так как $5 > 1$, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^4}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{7}}}$ расходится, так как $\frac{4}{7}≤ 1$.

Особо стоит обратить внимание на случай $\alpha=1$, т.е. ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$. Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится.

Кроме того, частенько для сравнения используется ряд такого вида:

\begin{equation}\sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^n\end{equation}

Этот ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=a$ и знаменателем $q$. Этот ряд сходится если $|q| < 1$ и расходится если $|q|≥ 1$. Например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4\cdot 3^n}{5^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)$ подпадает под вид ряда (2). Этот ряд сходится, так как $\left| \frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5} < 1$.

Чаще всего в стандартных примерах признаки сравнения применяются, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ (см. пример №1). Или же вместо многочленов (или вместе с ними) могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №3). Для рядов такого вида приходится выбирать между необходимым признаком сходимости и признаками сравнения. Иногда общий член ряда может содержать не только многочлен, а и некий "отвлекающий элемент", который не влияет на сходимость (см. вторую часть этой темы). Иногда, чтобы увидеть ряд для сравнения, приходится использовать эвивалентные бесконечно малые функции (см. примеры в третьей части).

Пример №1

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$. Так как при $n≥ 1$ имеем $9n+7 > 0$ и $2n^3+5n^2-4 > 0$, то $u_n > 0$. Следовательно, наш ряд является положительным. Кстати сказать, для положительного ряда достаточно выполнения условия $u_n≥ 0$. Однако для нашего ряда мы можем записать более точно: $u_n > 0$.

Для начала неплохо бы проверить выполнение , т.е. найти $\lim_{n\to\infty}u_n$. Вдруг нам повезёт и окажется, что $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$? Тогда ряд будет расходиться, и решение на этом закончится. При нахождении предела будем использовать метод, описанный в теме . В процессе решения разделим числитель и знаменатель на $n^3$:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}=\left|\frac{\infty}{\infty} \right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9}{n^2}+\frac{7}{n^3}}{2+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}}=\frac{0+0}{2+0-0}=0. $$

Для того, чтобы эти признаки использовать, нам понадобится ряд, с которым станем сравнивать. Чтобы выбрать ряд для сравнения, поисследуем поведение общего члена заданного нам ряда при $n\to\infty$. Это можно сделать с помощью несколько неформальных рассуждений. Так как эти рассуждения, возможно, будут интересны не всем читателям, то я скрою их под примечание.

Как выбрать ряд для сравнения? показать\скрыть

Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие соображения. Давайте посмотрим на общий член ряда повнимательнее. Сначала обратимся, например, к знаменателю. В знаменателе общего члена ряда расположены степени $n^3$, $n^2$ и число -4. Номер $n$ всё увеличивается, стремясь в бесконечность. Вопрос: какой элемент ($n^3$ или $n^2$) с возрастанием номера $n$ будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^3$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\,000$, а $n^3=1\,000\,000$. И этот разрыв между значениями $n^2$ и $n^3$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые знаменателя, кроме тех, что содержат $n^3$, мы мысленно отбросим. В числителе также проведем подобную процедуру "отбрасывания", оставив лишь $9n$ (число 7 в числителе явно не сыграет никакой роли по сравнению с $9n$). Таким образом дробь $\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ после всех отбрасываний станет такой: $\frac{9n}{2n^3}=\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{n^2}$. Иными словами, если $n\to\infty$, то общий член ряда будет крайне мало отличаться от выражения $\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{n^2}$.

Множитель $\frac{9}{2}$ можно также отбросить, ибо он не влияет на сходимость. И останется после такой "очистки" лишь $\frac{1}{n^2}$. А что мы можем сказать про ряд с общим членом $v_n=\frac{1}{n^2}$? Это . В знаменателе общего члена этого ряда степень $n$ равна 2, поэтому так как $2 > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится.

Вот с этим сходящимся рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ мы и станем сравнивать заданный нам ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$. По сути, мы уже неформально решили задачу: наш ряд будет сходиться. Осталось лишь показать это строгими рассуждениями.

Рассмотрим, как решить нашу задачу с помощью как первого, так и второго признаков сравнения.

Итак, общий член ряда таков: $u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$. Неформальными рассуждениями (скрытыми выше под примечание) мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт . Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}≤ v_n$, при этом ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.

Станем увеличивать дробь $\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac{1}{n^2}$. Почему именно к этому виду? Для ответа на данный вопрос прошу раскрыть примечание выше.

Чтобы увеличить некую дробь, есть два пути: увеличить числитель или уменьшить знаменатель. Согласитесь, что так как $n≥ 1$, то $9n+7 ≥ 9n+7n=16n$. Следовательно, если мы в числителе вместо $9n+7$ разместим выражение $16n$, то увеличим рассматриваемую дробь:

$$ \frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}≤\frac{16n}{2n^3+5n^2-4}. $$

Пойдём далее и поработаем со знаменателем. Чтобы увеличить дробь, знаменатель нужно уменьшить. Например, можно рассудить так: мы знаем, что $n≥ 1$. Тогда $5n^2-4 > 0$. Значит, если мы отбросим в знаменателе выражение $5n^2-4$, то знаменатель уменьшится. Следовательно, наша дробь увеличится. Продолжим предыдущее неравенство:

$$ \frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}≤\frac{16n}{2n^3+5n^2-4} < \frac{16n}{2n^3}=8\cdot\frac{1}{n^2}. $$

Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(8\cdot\frac{1}{n^2}\right)$ (см. пункт №4 в разделе про свойства числовых рядов). Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(8\cdot\frac{1}{n^2}\right)$ сходится и $\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4} < 8\cdot\frac{1}{n^2}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ сходится.

Если в предыдущем пункте мы занимались самодеятельностью, выбирая и отбрасывая некие "куски" в формуле общего члена ряда, то решение с помощью предельного признака сравнения полностью алгоритмично. В примечании выше мы уже выяснили, что сравнивать наш ряд нужно с сходящимся рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$. Итак, общий член нашего ряда $u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$. Общий член ряда, с которым мы сравниваем: $v_n=\frac{1}{n^2}$. работает с пределом $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}$. Кстати сказать, нам совершенно всё равно, какой общий член располагать в числителе, а какой - в знаменателе. Главное, чтобы выражение в знаменателе не равнялось нулю. Например, так как $v_n\neq 0$, то этот общий член вполне можно расположить в знаменателе:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\cdot(9n+7)}{2n^3+5n^2-4}=\lim_{n\to\infty}\frac{9n^3+7n^2}{2n^3+5n^2-4}=\left|\frac{\infty}{\infty} \right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9n^3}{n^3}+\frac{7n^2}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3}+\frac{5n^2}{n^3}-\frac{4}{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{9+\frac{7}{n}}{2+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}}=\frac{9+0}{2+0-0}=\frac{9}{2}. $$

Так как $0<\frac{9}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$.

В общем случае, конечно, выбирают один признак сравнения, а не оба сразу:) При решении примеров на этой странице я буду использовать оба способа - для наглядности.

Ответ : ряд сходится.

Пример №2

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$. Общий член $u_n > 0$, т.е. наш ряд является положительным.

Как и в предыдущем примере, попробуем проверить выполнение необходимого условия сходимости , т.е. найдём $\lim_{n\to\infty}u_n$. При нахождении предела будем использовать метод, описанный в теме "Предел отношения двух многочленов" . В ходе решения разделим и числитель и знаменатель на $n^4$:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{n}+\frac{2}{n^3}+\frac{9}{n^4}}{\left(3+\frac{5}{n}\right)^2}=\frac{0+0+0}{(3+0)^2}=0. $$

Так как $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, то никакого вывода про сходимость нашего ряда мы сделать не в состоянии. Ряд может как сходиться, так и расходиться. Попробуем применить признаки сравнения.

Выясним, с каким же рядом нужно сравнивать заданный в условии ряд. Попробуем отбросить "лишние" элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примере №1. Останется у нас такая дробь: $\frac{4n^3}{n^2\cdot (3n)^2}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{n}$. Вот с гармоническим рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Гармонический ряд расходится, поэтому и наш ряд будет расходиться. Нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями, проведенными выше, мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Для этого случая применяется первый пункт . Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $v_n≤ \frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$, при этом ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ расходится. Тогда и заданный нам ряд будет расходиться.

Станем уменьшать дробь $\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac{1}{n}$.

Чтобы уменьшить некую дробь, есть два пути: уменьшить числитель или увеличить знаменатель. Так как $n≥ 1$, то $2n+9 > 0$. Поэтому если мы отбросим в числителе $2n+9$, то уменьшим числитель, тем самым уменьшив рассматриваемую дробь:

$$ \frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2} > \frac{4n^3}{n^2(3n+5)^2} $$

Поработаем с знаменателем. Если мы его увеличим, то дробь уменьшится. Так как $n≥ 1$, то $3n+5≤ 3n+5n=8n$. Итак, если мы вместо $3n+5$ запишем $8n$, то знаменатель увеличится:

$$ \frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2} > \frac{4n^3}{n^2(3n+5)^2}≥ \frac{4n^3}{n^2(8n)^2}=\frac{4n^3}{64n^4}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}. $$

Дальнейшие рассуждения стандартны: так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}\right)$. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}\right)$ расходится и $\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2} > \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}$, то согласно (пункт №1) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$ будет расходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Ранее мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$ с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, используя . Данный признак работает с пределом $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}$. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\left(4n^3+2n+9\right)}{n^2(3n+5)^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n(3n+5)^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4n^3}{n^3}+\frac{2n}{n^3}+\frac{9}{n^3}}{\frac{n(3n+5)^2}{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{4+\frac{2}{n^2}+\frac{9}{n^3}}{\left(3+\frac{5}{n}\right)^2}=\frac{4+0+0}{(3+0)^2}=\frac{4}{9}. $$

Так как $0<\frac{4}{9}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$.

Ответ : ряд расходится.

Пример №3

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ на сходимость.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$. Сразу обращаем внимание, что $u_n > 0$, т.е. наш ряд положительный. Точно так же, как и в предыдущих примерах, можно проверить выполнение необходимого условия сходимости , однако эта проверка лишь покажет, что $\lim_{n\to\infty}u_n=0$. Т.е. ничего определённого про сходимость ряда сказать нельзя и нужно использовать иные критерии.

Для проверки сходимости заданного ряда с помощью признаков сравнения для начала составим ряд, с которым станем сравнивать. Попробуем отбросить "лишние" элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примерах №1 и №2. Останется у нас такая дробь:

$$\frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}}}=\frac{5}{\sqrt{7}}\cdot\frac{n^2}{n^{\frac{10}{3}}}=\frac{5}{\sqrt{7}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{10}{3}-2}}= \frac{5}{\sqrt{7}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}.$$

Вот с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ мы и станем сравнивать заданный ряд. Так как $\frac{4}{3} > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходится. Следовательно, и наш ряд будет сходиться, нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт . Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству $\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ v_n$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.

Станем увеличивать дробь $\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$. Наша цель: привести данную дробь к виду $\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$.

Чтобы увеличить данную дробь, для начала увеличим числитель. Если мы отбросим число (-3), то числитель станет больше. А значит и сама дробь увеличится:

< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}} $$

Поработаем с знаменателем. Если мы его уменьшим, то дробь увеличится. Так как $n≥ 1$, то $7n^{10}-4≥ 7n^{10}-4n^{10}=3n^{10}$. Итак, если мы вместо $7n^{10}-4$ запишем $3n^{10}$, то знаменатель уменьшится, а дробь увеличится:

$$ \frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} $$

Теперь сделаем так: выкинем из знаменателя слагаемое $2n^3$. Тем самым мы уменьшим знаменатель, а саму дробь увеличим:

$$ \frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} < \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}}}= \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}. $$

Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходится, то будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\right)$. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\right)$ сходится и $\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}<\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ будет сходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с сходящимся рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$, используя . Данный признак работает с пределом $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}$. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}}{\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{5n^{\frac{10}{3}}-3n^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\left|\text{делим числитель и знаменатель на }n^{\frac{10}{3}}\right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n^{\frac{10}{3}}}{n^{\frac{10}{3}}}-\frac{3n^{\frac{4}{3}}}{n^{\frac{10}{3}}}}{\sqrt{\frac{7n^{10}}{n^{10}}+\frac{2n^3}{n^{10}}-\frac{4}{n^{10}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{5-\frac{3}{n^2}}{\sqrt{7+\frac{2}{n^7}-\frac{4}{n^{10}}}}= \frac{5-0}{\sqrt{7+0-0}}=\frac{5}{\sqrt{7}}. $$

Для вычисления предела был использован метод, изложенный в теме "Пределы с иррациональностями" . Так как $0<\frac{5}{\sqrt{7}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$.

Ответ : ряд сходится.

Пример №4

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}$. Здесь сразу можно заметить, что так как $\sqrt{2n+3}> \sqrt{2n-1}$, то $u_n > 0$, т.е. наш ряд положительный. Можно при желании проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка ничего не даст (предел $\lim_{n\to\infty}u_n$ вычисляется по аналогии с примером №8 на этой странице), так как $\lim_{n\to\infty}u_n=0$. Перейдём к применению признаков сравнения.

Перед тем, как применять некие признаки сравнения, выражение общего члена ряда лучше немного преобразовать. Тут поможет домножение на сопряжённое выражение, т.е. на $\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}$. Естественно, что если мы домножаем на некое выражение, то на него же обязаны и разделить. При упрощении нам поможет формула $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Итак:

$$ u_n=\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}=\frac{\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)\cdot \left(\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}\right)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}=\\ =\frac{\left(\sqrt{2n+3}\right)^2-\left(\sqrt{2n-1}\right)^2}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}=\frac{2n+3-(2n-1)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}= \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}. $$

Теперь наш ряд имеет вид $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$. Применяя рассуждения, аналогичные проведённым в предыдущих примерах, получим, что сравнивать наш ряд надо с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$. Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ расходится, так как степень $\frac{1}{2}≤ 1$. Значит, будет расходиться и наш ряд, осталось лишь показать это формально.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Станем уменьшать дробь $\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$. Так как $\sqrt{2n+3}> \sqrt{2n-1}$, то записав выражение $\sqrt{2n+3}$ вместо $\sqrt{2n-1}$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

$$ \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} > \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+3}}=\frac{4}{2\sqrt{2n+3}}=\frac{2}{\sqrt{2n+3}}. $$

Увеличим знаменатель ещё раз. Так как $2n+3 < 2n+7n=9n$, то заменяя выражение в знаменателе на $\sqrt{9n}$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

$$ \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} >\frac{2}{\sqrt{2n+3}} > \frac{2}{\sqrt{9n}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}. $$

Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ расходится, то будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ расходится и $\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} >\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}$, то согласно (пункт №1) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$ будет расходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$. Сравним заданный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$ с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$, используя . Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}=\left|\frac{\infty}{\infty} \right|=\left|\text{делим числитель и знаменатель на }\sqrt{n}\right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{4}{\sqrt{2+\frac{3}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n}}}=\frac{4}{\sqrt{2+0}+\sqrt{2-0}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. $$

Так как $0<\sqrt{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$.

Ответ : ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признаков сравнения рассмотрим во второй и третьей частях.

Смех без причины – признак Даламбера

Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников , и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды .

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда – этоЧИСЛА .

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ :

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и других подарковнепременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда – этофункции .

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд .

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входятцелые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так:, где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящиетолько от «эн» ). Простейший пример:

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных ) степенях. Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: или, где– константа. Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда ,илине совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными .

Сходимость степенного ряда. Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд .

Переменная может приниматьлюбое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»: Если , тоЕсли, тоЕсли, тоЕсли, тоИ так далее.

Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задачанайти множество значений «икс» , при котором степенной ряд будетсходиться . Такое множество и называется областью сходимости ряда .

Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервалаи подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получаетсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называетсяинтервалом сходимости степенного ряда .

Радиус сходимости , если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:

Геометрически ситуация выглядит так:

В данном случае, интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:

Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:

А что будет происходить на концах интервала ? В точках,степенной рядможет, как сходиться, так и расходится , и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда :

– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости:

– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал: или.

– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок:

Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда .

С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:

2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: . Радиус сходимости:. Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.

3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке. В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю:. Если ряд имеет вид, то он будет сходиться в единственной точке, если ряд имеет вид, то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой:.

Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, чтоданная классификация справедлива для степенных рядов . Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.

Исследование степенного ряда на сходимость

После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.

Пример 1

Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.

На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Почти всегда необходимо использовать признак Даламбера и находить предел . Технология применения признака Даламбера точно такая же, как и для числовых рядов, с ней можно ознакомиться на урокеПризнак Даламбера. Признаки Коши . Единственное отличие – все дела у нас происходят под знаком модуля.

Итак, решаем наш предел:

(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.

(4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.

Кстати, почему можно вообще вынести за знак предела? Потому-что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно.

(5) Устраняем неопределенность стандартным способом.

После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.

Если в пределе получается ноль , то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при» (значокв математике обозначает принадлежность).

Если в пределе получается бесконечность , то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или прилибо»). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела , а в правой части неравенства – строго единица . Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции , но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд:

При

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

Используем признак Лейбница: 1) Ряд является знакочередующимся. 2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость: – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

При – сходится.

Таким образом, степенной ряд сходится на обоих концах найденного интервала.

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда:

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

Пример 2

Найти область сходимости степенного ряда

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Составляем стандартное неравенство: Ряд сходится при

Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

И раскрываем неравенство с модулем по правилу :– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала. 1) При

Обратите внимание , что при подстановке значения в степенной ряду нас сократилась степень. Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.

Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.

Используем признак Лейбница. – Ряд является знакочередующимся. – – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: Ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Сравним данный ряд с расходящимся рядом. Используем предельный признак сравнения:Получено конечное число, отличное от нуля, значит, рядрасходится вместе с рядом.

Таким образом, ряд сходится только условно.

2) При

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . Приряд сходится только условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной рядсходится абсолютно (см. предыдущий параграф), а в точке , как выяснилось –сходится только условно .

Пример 3

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Пример 4

Найти область сходимости ряда:

Решение:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы ипо правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень, т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на. Факториалы расписываем подробно.

(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множительвыносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, чтопринимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Пример 5

Найти область сходимости ряда

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны;-) Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Пример 6

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении пределамы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Составляем стандартное неравенство: Ряд сходится при Слева нам нужно оставить только модуль , поэтому умножаем обе части неравенства на 5: Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение в наш степенной ряд:

Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн». Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте , что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель. Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на.Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Исследуем второй конец интервала сходимости. При

Используем признак Лейбница: – Ряд является знакочередующимся. – – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: ряд сходится

Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку – расходится (по доказанному).

Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда, приряд сходится только условно.

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

ТЕОРЕМА 1

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при
, т.е.
.

Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Для любого частичная сумма

.

Тогда . 

Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при
общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 4.

Для этого ряда общий член
и
.

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при
, т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.

Знакоположительные числовые ряды

Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.

ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)

Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.

Доказательство. Так как для любого
, то, т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для существования предела необходимо и достаточно ограничение последовательности сверху каким-либо числом.

Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда:

(1)

(2)

причем, начиная с некоторого номера
, для любого
выполняется неравенство
Тогда:

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.расх.

Доказательство. 1) Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, докажем теорему для случая
. Пусть для любого
имеем

, (3)

где
и
- соответственно частичные суммы рядов (1) и (2).

Если ряд (2) сходится, то существует число
. Поскольку при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого из ее членов, т.е.
для любого . Отсюда из неравенства (3) следует
. Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены сверху числом . Согласно теореме 2 этот ряд сходится.

2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1). 

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

3) - ряд Дирихле (он сходится при
и расходится при
).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

,

,
,
.

Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд
на сходимость.

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда:
для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
. Так как
, то

(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять ряд
, т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени
. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд
на сходимость.

1) Данный ряд знакоположительный, так как
для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

3) Подберем ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять геометрический ряд

. Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел
, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь число , большее, чем . Из условия
вытекает существование такого номера , что для всех
справедливо неравенство
, или, что то же,

(4)

Отбросив в рядах (1) и (2) первые членов (что не влияет на сходимость), можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится в силу сходимости ряда (2). Согласно первому признаку сравнения, из неравенства (4) следует сходимость ряда (1).

Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как

то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2). 

Если
при
(необходимый признак сходимости), то из условия
, следует, чтои– бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при
). Следовательно, если дан ряд , где
при
, то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

.

для любого
.

Так как
, то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд
. Поскольку предел отношения общих членовиконечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9.
по двум признакам сравнения.

Данный ряд знакоположительный, так как
, и
. Поскольку
, то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд. Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд
– расходится.

ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)

существует конечный предел
, то ряд сходится при
и расходится при
.

Доказательство. Пусть
. Возьмем какое-либо число, заключенное между и 1:
. Из условия
следует, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

;
;
(5)

Рассмотрим ряд

Согласно (5) все члены ряда (6) не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии
Поскольку
, эта прогрессия является сходящейся. Отсюда в силу первого признака сравнения вытекает сходимость ряда

Случай
рассмотрите самостоятельно.

Замечания :

следует, что остаток ряда

.

Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Данный ряд знакоположительный и

.

(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).

то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 11. .

Данный ряд знакоположительный и
. Поскольку

то данный ряд сходится.

ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел
, то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.

Доказательство аналогично теореме 5.

Замечания :

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд
.

Данный ряд знакоположительный, так как
для любого
. Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.

то по признаку Коши данный ряд расходится.

ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши)

Пусть дан ряд

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, далее
- функция, которая определена для всех вещественных
, непрерывна, не возрастает и

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов" .

Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится, то $\lim_{n\to\infty}u_n=0$.

Часто в литературе вместо словосочетания "необходимый признак сходимости" пишут "необходимое условие сходимости". Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, то ряд может сходиться. Если же $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$ (или же предела попросту не существует), то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.

Стоит обратить внимание, что равенство $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Что означает словосочетание "необходимое условие"? показать\скрыть

Поясним понятие необходимого условия на примере. Для покупки ручки студенту необходимо иметь 10 рублей. Это можно записать так: если студент покупает ручку, то у него есть 10 рублей. Наличие десяти рублей - это и есть необходимое условие покупки ручки.

Пусть это условие выполнено, т.е. десятка у студента есть. Значит ли это, что он купит ручку? Вовсе нет. Он может купить ручку, а может приберечь деньги на потом. Или купить что-либо иное. Или подарить их кому-то, - вариантов масса:) Иными словами, выполнение необходимого условия покупки ручки (т.е. наличие денег) вовсе не гарантирует покупку этой ручки.

Точно так же и необходимое условие сходимости числового ряда $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не гарантирует сходимость этого самого ряда. Простая аналогия: если есть деньги, студент может купить ручку, а может и не купить. Если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако что произойдет, если необходимое условие покупки ручки не выполнено, т.е. денег нет? Тогда студент ручку точно не купит. То же самое и с рядами: если необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд точно будет расходиться.

Говоря кратко: если необходимое условие выполнено, то следствие может как произойти, так и не произойти. Однако если необходимое условие не выполнено, то следствие точно не произойдёт.

Для наглядности приведу пример двух рядов: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$. Общий член первого ряда $u_n=\frac{1}{n}$ и общий член второго ряда $v_n=\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю, т.е.

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0;\; \lim_{n\to\infty}v_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0. $$

Однако гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится. Выполнение необходимого условия сходимости вовсе не гарантирует сходимости ряда.

Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:

Если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.

Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры во второй части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.

Пример №1

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$. Найдём предел общего члена ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}}= \lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{7}{n^2}}=\frac{3+0-0}{5+0}=\frac{3}{5}. $$

"Предел отношения двух многочленов" . Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n=\frac{3}{5}\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.

Почему мы начали применять именно необходимый признак сходимости? показать\скрыть

Если говорить нестрого, то вопрос сходимости этого ряда решается ещё до формального исследования. Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие рассуждения. Давайте посмотрим на общий член ряда $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ повнимательнее. Сначала обратимся к числителю. Число (-1), расположенное в числителе, можно отбросить сразу: если $n\to\infty$, то данное число будет пренебрежимо малым по сравнению с остальными слагаемыми.

Посмотрим на степени $n^2$ и $n$, имеющиеся в числителе. Вопрос: какой элемент ($n^2$ или $n$) будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^2$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\;000$. И этот разрыв между $n$ и $n^2$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые, кроме тех, что содержат $n^2$, мы мысленно отбросим. После такого "отбрасывания" в числителе останется $3n^2$. А после проведения подобной процедуры для знаменателя, там останется $5n^2$. И дробь $\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ теперь станет такой: $\frac{3n^2}{5n^2}=\frac{3}{5}$. Т.е. на бесконечности общий член явно не будет стремиться к нулю. Осталось лишь показать это формально, что и было сделано выше.

Частенько в записи общего члена ряда используют такие элементы, как, например, $\sin\alpha$ или $\arctg\alpha$ и тому подобное. Нужно просто помнить, что значения подобных величин не могут выходить за некие числовые границы. Например, каким бы ни было значение $\alpha$, значение $\sin\alpha$ останется в пределах $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Т.е., к примеру, мы можем записать, что $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. А теперь представьте, что в записи общего члена ряда расположено выражение вроде $5n+\sin(n!e^n)$. Сыграет ли синус, который может "колебаться" лишь от -1 до 1, хоть какую-либо значимую роль? Ведь значения $n$ устремляются в бесконечность, а синус не сможет превысить даже единицу! Поэтому при предварительном рассмотрении выражения $5n+\sin(n!e^n)$ синус можно просто отбросить.

Или, для примера, возьмём арктангенс. Каким бы ни было значение аргумента $\alpha$, значения $\arctg\alpha$ будут удовлетворять неравенству $-\frac{\pi}{2}<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Чтобы определить, какие элементы можно "отбрасывать", а какие нет, нужен небольшой навык. Чаще всего вопрос сходимости ряда можно решить ещё до формального исследования. А формальное исследование в стандартных примерах служит лишь подтверждением интуитивно полученного результата.

Ответ : ряд расходится.

Пример №2

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ на сходимость.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$. Найдём предел общего члена ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{4n^7}{n^7}+\frac{5n^3}{n^7}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9n^2}{n^{\frac{7}{3}}}-\frac{n}{n^{\frac{7}{3}}}+\frac{12}{n^{\frac{7}{3}}}}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{5}{n^4}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9}{n^\frac{1}{3}}-\frac{1}{n^\frac{4}{3}}+\frac{12}{n^\frac{7}{3}}}=+\infty. $$

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Пределы с иррациональностями. Третья часть" (пример №7). Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Немного поговорим с позиции интуитивных рассуждений. В принципе, здесь верно всё то же самое, что было сказано в примечании к решению примера №1. Если мысленно "отбросить" все "несущественные" слагаемые в числителе и знаменателе общего члена ряда, то дробь $\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ примет вид: $\frac{\sqrt{4n^7}}{9n^2}=\frac{n^2\sqrt{4n}}{9n^2}=\frac{\sqrt{4n}}{9}$. Т.е. ещё до формального исследования становится ясным, что при $n\to\infty$ общий член ряда к нулю стремиться не станет. К бесконечности - станет, к нулю - нет. Поэтому остаётся лишь показать это строго, что и было сделано выше.

Ответ : ряд расходится.

Пример №3

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=5^n\sin\frac{8}{3^n}$. Найдём предел общего члена ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&\frac{8}{3^n}\to 0;\\&\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}. \end{aligned}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=8\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3}\right)^n=+\infty. $$

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Пару слов насчёт тех преобразований, которые были осуществлены при вычислении предела. Выражение $5^n$ было помещено в числитель для того, чтобы выражения и в числителе, и в знаменателе стали бесконечно малыми. Т.е. при $n\to\infty$ имеем: $\sin\frac{8}{3^n}\to 0$ и $\frac{1}{5^n}\to 0$. А если мы имеем отношение бесконечно малых, то смело можем применять формулы, указанные в документе "Эквивалентные бесконечно малые функции" (см. таблицу в конце документа). Согласно одной из таких формул, если $x\to 0$, то $\sin x\sim x$. А у нас и есть как раз такой случай: так как $\frac{8}{3^n}\to 0$, то $\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}$. Иными словами, мы просто-напросто заменяем выражение $\sin\frac{8}{3^n}$ выражением $\frac{8}{3^n}$.

Полагаю, может возникнуть вопрос, зачем же мы преобразовывали выражение $5^n\sin\frac{8}{3^n}$ к виду дроби, - ведь замену можно было сделать и без такого преобразования. Ответ тут таков: замену-то сделать можно, но вот правомерна ли она будет? Теорема про эквивалентные бесконечно малые функции даёт недвусмысленное указание, что подобные замены возможны лишь в выражениях вида $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ (при этом $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - бесконечно малые), расположенных под знаком предела. Вот мы и преобразовали наше выражение к виду дроби, подогнав его под требования теоремы.

Ответ : ряд расходится.

Пример №4

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3^n}{n^2}$. Вообще-то, вопрос со сходимостью этого ряда легко решается с помощью признака Д"Аламбера . Однако можно применить и необходимый признак сходимости.

Посмотрим повнимательнее на общий член ряда. В числителе расположено выражение $3^n$, которое с возрастанием $n$ увеличивается гораздо быстрее, нежели расположенный в знаменателе $n^2$. Сравните сами: например, если $n=10$, то $3^n=59049$, а $n^2=100$. И этот разрыв стремительно увеличивается с ростом $n$.

Вполне логично предположить, что если $n\to\infty$, то $u_n$ не станет стремиться к нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено не будет. Осталось лишь проверить эту столь правдоподобную гипотезу и вычислить $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}$. Однако перед вычислением этого предела найдём вспомогательный предел функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ при $x\to +\infty$, т.е. вычислим $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}$. Зачем мы это делаем: дело в том, что в выражении $u_n=\frac{3^n}{n^2}$ параметр $n$ принимает лишь натуральные значения ($n=1,2,3,\ldots$), а аргумент $x$ функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ принимает действительные значения. При нахождении $\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{x^2}$ мы можем применить правило Лопиталя:

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x^2\right)"}=\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{2x}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x\right)"}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{1}=\frac{\ln^2 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}3^x=+\infty. $$

Так как $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=+\infty$, то $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}=+\infty$. Так как $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполнено, т.е. заданный ряд расходится.

Ответ : ряд расходится.

Иные примеры рядов, сходимость которых проверяется с помощью необходимого признака сходимости, находятся во второй части этой темы.