Урок №1 Тема урока: «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби»
Цели:
Образовательная:
Развивающая:
Воспитательная: воспитание последовательности в своих действиях.
Тип урока: изучение нового
Стандарт урока:
уметь находить способ избавления от иррациональности
понимать смысл «сопряженное выражение»
уметь избавляться от иррациональности в знаменателе.
Оборудование: карточки к самостоятельной работе.
Ход урока
Немного юмора:Извлекать корни умеешь? – спрашивает учитель
Да, конечно. Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечётся из почвы.
Нет, я имел в виду другой корень, например, из девяти.
Это будет «девя», так как «ть»-суффикс.
Я имею в виду корень квадратный.
Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и стержневые.
Арифметический квадратный корень из девяти.
Так бы и сказали! Квадратный корень из девяти =3!
А вы корни извлекать умеете?
2. «Повторение – мать учения».
(8 мин)
2.Проверка дом/з № 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8
3.Разминка. Выполни действия (Слайд 1). Проверка по кругу против часовой стрелки.
1. Подбери неизвестный множитель (Слайд2)
Деление на группы: по выбранным фигурам.
Проверяют в парах сменного состава.
Работают индивидуально и проверяют, оценивая в баллах.
(Приложение 1)
3. «Книга – книгой, а мозгами двигай» (5 мин)
(Слайд 3) Два друга решали уравнение 
и получили разные ответы. Один из них подобрал х = 
, сделал проверку. Второй находил неизвестный множитель делением произведения на 
и получил х = 
. Кто из них прав? Может ли линейное уравнение иметь два корня? Самым удобным для вычислений является выражение, не содержащее иррациональности в знаменателе.
Тема урока (Слайд 4): Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Цели (Слайд 5): ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби. Развитие умения освобождать знаменатель от иррациональности;
Решают и проверяют в парах сменного состава.
Обсуждают ситуацию и приходят к выводу.
Записывают тему
Формулируют цели : ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби.
развитие умения определять способ освобождения от иррациональности;
4. Работа над новым материалом.
(10 мин)
Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Хотите узнать?
Работа в группах над новым материалом
Выступление групп
Закрепление (Слайд 6)
Работают с опорным конспектом. (Приложение 2)
Решают примеры.
(Приложение 3)
Обмениваются информацией.
5. Зарядка (3 мин)
Делают зарядку
6. Самостоятельная работа
(10 мин)
По разноуровневым карточкам
1-в: 
2-в: 
3-в: 
Выполняют индивидуально, проверяют меняясь тетрадями с другой группой.
Баллы заносят в оценочную карту группы.
(Приложение 1)
7.Творческое задание
(2 мин)
Мартышка – апельсинов продавщица,(Слайд 7)
Приехав как – то раз к себе на дачу,
Нашла там с радикалами задачу.
Разбрасывать их стала все подряд.
Мы просим вас, девчонки и мальчишки,
Решить задачу на хвосте мартышки.
Как вы думаете мы закончили изучать эту тему? Продолжим на следующем уроке.
Рассуждают о том, что это им предстоит узнать на следующем уроке.
8. Задание на дом: (2 мин)
П.19(Слайд 7)
1 уровень: №170 (1-6)
2 уровень: №170 (1-6 и 9,12)
Творческое задание: Мартышкина задача.
Записывают
9.Итог урока. Рефлексия
(3 мин)
Две звезды и пожелание на стикерах прикрепляются на выбранный смайлик (Слайд 7)
Баллы переводят в оценку и сдают учителю оценочную карту группы.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Оценочная карта группы.
0-8 баллов
Подбери множитель
0-8 баллов
Работа в группе над новым материалом
0-5 баллов
Сам. работа
0-5 баллов
Активность на уроке
0-5 баллов
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Опорный конспект
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе
Токарев Кирилл
Работа помогает научиться извлекать квадратный корень из любого числа без применения калькулятора и таблицы квадратов и освобождать знаменатель дроби от иррациональности.
Освобождение от иррациональности знаменателя дроби
Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение.
Извлечение квадратного корня с приближением до заданного разряда.
Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа 17358122, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться описанным в работе правилом.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Радикал. Освобождение от иррациональности знаменателя дроби. Извлечение квадратного корня с заданной степенью точности. Ученика 9Б класса МОУ СОШ №7 г. Сальска Токарева Кирилла
ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЙ ВОПРОС: Можно ли извлечь квадратный корень из любого числа с заданной степенью точности, не имея калькулятора и таблицы квадратов?
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ: Рассмотреть случаи решения выражений с радикалами, не изучаемые в школьном курсе математики, но необходимые на ЕГЭ.
ИСТОРИЯ КОРНЯ Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной в латинском слове radix – корень), сросшейся с надстрочной чертой. В старину надчёркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения в скобки, так что есть всего лишь видоизменённый древний способ записи чего-то вроде. Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.
ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ДРОБИ Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение. АЛГОРИТМ ОСВОБОЖДЕНИЯ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ: 1. Разложить знаменатель дроби на множители. 2. Если знаменатель имеет вид или содержит множитель, то числитель и знаменатель следует умножить на. Если знаменатель имеет вид или или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на или на. Числа и называют сопряжёнными. 3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.
а) б) в) г) = - Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДО ЗАДАННОГО РАЗРЯДА. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 8326 6 2) Древневавилонский способ: Пример: Найти. Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, первое из которых является полным квадратом. Затем применяем формулу. Алгебраический способ:
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДО ЗАДАННОГО РАЗРЯДА. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 ,3
Список литературы 1. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. В. К.Егерев, Б.А.Кордемский, В. В. Зайцев, “ ОНИКС 21 век ” , 2003г. 2. Алгебра и элементарные функции. Р. А. Калнин, “ Наука ” , 1973г. 3. Математика. Справочные материалы. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович, издательство “ Просвещение ” , 1990г. 4. Школьникам о математике и математиках. Составитель М.М.Лиман, Просвещение, 1981г.
При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе
Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.
Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 3 4 3 , 1 x + x · y 4 + y . Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:
Определение 1
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.
Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 1 2 к 2 2 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием. Приведем еще один пример: у нас есть дробь x x - y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x · x + y x - y , освободившись от иррациональности в знаменателе.
После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.
Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби
Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.
В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9 . Вычислив 9 , мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.
Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1 x + 1 на x + 1 , мы получим дробь x + 1 x + 1 · x + 1 и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x + 1 . Так мы преобразовали 1 x + 1 в x + 1 x + 1 , избавившись от иррациональности.
Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.
Как преобразовать выражение в знаменателе дроби
Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.
Пример 1
Условие: освободите дробь 1 2 · 18 + 50 от иррациональности в знаменателе.
Решение
Для начала раскроем скобки и получим выражение 1 2 · 18 + 2 · 50 . Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 1 2 · 18 + 2 · 50 . Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 1 36 + 100 . Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 1 6 + 10 , равная 1 16 . На этом преобразования можно закончить.
Запишем ход всего решения без комментариев:
1 2 · 18 + 50 = 1 2 · 18 + 2 · 50 = = 1 2 · 18 + 2 · 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16
Ответ: 1 2 · 18 + 50 = 1 16 .
Пример 2
Условие: дана дробь 7 - x (x + 1) 2 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.
Решение
Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение A n n на | A | на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.
Ответ: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .
Избавление от иррациональности методом умножения на корень
Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A . Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0 . После умножения в знаменателе окажется выражение вида A · A , которое легко избавить от корней: A · A = A 2 = A . Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.
Пример 3
Условие: даны дроби x 3 и - 1 x 2 + y - 4 . Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.
Решение
Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3 . Получим следующее:
x 3 = x · 3 3 · 3 = x · 3 3 2 = x · 3 3
Во втором случае нам надо выполнить умножение на x 2 + y - 4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:
1 x 2 + y - 4 = - 1 · x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 · x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4
Ответ: x 3 = x · 3 3 и - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .
Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида A n m или A m n (при условии натуральных m и n), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в A n n · k или A n · k n (при натуральном k). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.
Пример 4
Условие: даны дроби 7 6 3 5 и x x 2 + 1 4 15 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.
Решение
Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5 , нам надо выполнить умножение на 6 2 5 . Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 6 2 5:
7 6 3 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 = 7 · 6 2 5 6 5 5 = = 7 · 6 2 5 6 = 7 · 36 5 6
Во втором случае нам потребуется число, большее 15 , которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16 . Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x 2 + 1 4 . Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:
x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 · x 2 + 1 4 = = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4
Ответ : 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 и x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .
Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение
Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a + b , a - b , a + b , a - b , a + b , a - b . В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.
Для первого выражения a + b сопряженным будет a - b , для второго a - b – a + b . Для a + b – a - b , для a - b – a + b , для a + b – a - b , а для a - b – a + b . Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.
Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a - b · a + b . Оно может быть заменено разностью квадратов a - b · a + b = a 2 - b 2 , после чего мы переходим к выражению a − b , лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.
Пример 5
Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 3 7 - 3 и x - 5 - 2 .
Решение
В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7 + 3 . Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:
3 7 - 3 = 3 · 7 + 3 7 - 3 · 7 + 3 = 3 · 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 · 7 + 3 7 - 9 = 3 · 7 + 3 - 2 = - 3 · 7 + 3 2
Во втором случае нам понадобится выражение - 5 + 2 , которое является сопряженным выражению - 5 - 2 . Умножим на него числитель и знаменатель и получим:
x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3
Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:
x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x · 5 - 2 5 + 2 · 5 - 2 = = - x · 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x · 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3
Ответ: 3 7 - 3 = - 3 · 7 + 3 2 и x - 5 - 2 = x · 2 - 5 3 .
Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.
Пример 6
Условие: дана дробь x x + 4 . Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.
Решение
Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x . Она определена условиями x ≥ 0 и x + 4 ≠ 0 . Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x ≥ 0 .
Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x - 4 . Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x - 4 ≠ 0 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:
x x + 4 = x · x - 4 x + 4 · x - 4 = = x · x - 4 x 2 - 4 2 = x · x - 4 x - 16
Если x будет равен 16 , то мы получим:
x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2
Следовательно, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 при всех значениях x , принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16 . При x = 16 получим x x + 4 = 2 .
Ответ: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .
Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов
В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a 3 − b 3 = (a − b) · (a 2 + a · b + b 2) . Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A 3 - B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 или разность A 3 - B 3 . Точно также можно применить и формулу суммы a 3 + b 3 = (а) · (a 2 − a · b + b 2) .
Пример 7
Условие: преобразуйте дроби 1 7 3 - 2 3 и 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Решение
Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 7 3 и 2 3 , поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:
1 7 3 - 2 3 = 1 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 · 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5
Во второй дроби представим знаменатель как 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 . В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x 3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2 + x 3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2 + x 3 ≠ 0 , равносильное x 3 ≠ - 2 и x ≠ − 8:
3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 = = 3 · 2 + x 3 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 · 2 + x 3 = 6 + 3 · x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 · x 3 8 + x
Подставим в дробь - 8 и найдем значение:
3 4 - 2 · 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 · 2 + 4 = 3 4
Подведем итоги. При всех x , входящих в область значений исходной дроби (множество R), за исключением - 8 , мы получим 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x . Если x = 8 , то 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 3 4 .
Ответ: 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x , x ≠ 8 3 4 , x = - 8 .
Последовательное применение различных способов преобразования
Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.
Пример N
Условие: преобразуйте 5 7 4 - 2 4 , чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.
Решение
Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 7 4 + 2 4 с ненулевым значением. Получим следующее:
5 7 4 - 2 4 = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 · 7 4 + 2 4 = = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 · 7 4 + 2 4 7 - 2
А теперь применим тот же способ еще раз:
5 · 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 - 2 · 7 + 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 · 7 4 + 7 4 · 7 + 2 7 - 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2
Ответ: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Раскрытие неопределенности $\frac{0}{0}$.
Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
- Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое "сопряжённое" выражение;
- При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
- Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Термин "сопряжённое выражение", использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
\begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}
Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:
\begin{equation} ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation}
Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.
Пример №1
Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.
Так как $\lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0$ и $\lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0$, то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое "сопряжённое выражение". Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$
Чтобы раскрыть скобки применим , подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x.$$
Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$
Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$
Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}=\frac{-1}{\sqrt{7-3}+2}=-\frac{1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}.$$
Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру - в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.
Ответ : $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}=-\frac{1}{4}$.
Пример №2
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$.
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})=\sqrt{2^2+5}-\sqrt{7\cdot 2^2-19}=3-3=0$ и $\lim_{x\to 2}(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$ на выражение $\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}$, сопряжённое к знаменателю:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})} $$
Вновь, как и в примере №1, нужно использовать для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{x^2+5}$, $b=\sqrt{7x^2-19}$, получим такое выражение для знаменателя:
$$ \left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}\right)\left(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}\right)=\\ =\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2-\left(\sqrt{7x^2-19}\right)^2=x^2+5-(7x^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$
Вернёмся к нашему пределу:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{-6\cdot(x^2-4)}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} $$
В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать . Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:
$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5-7}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3};\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2. \end{aligned} $$
Подставляя $x_1=-\frac{1}{3}$, $x_2=2$ в , будем иметь:
$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac{1}{3}\right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$
Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся , подставив в неё $a=x$, $b=2$:
$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$
Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} $$
Сокращая на скобку $x-2$ получим:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}. $$
Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot\frac{(3\cdot 2+1)(\sqrt{2^2+5}+\sqrt{7\cdot 2^2-19})}{2+2}= -\frac{1}{6}\cdot\frac{7(3+3)}{4}=-\frac{7}{4}. $$
Ответ : $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=-\frac{7}{4}$.
В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.
Пример №3
Найти $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}$.
Так как $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})=\sqrt{9}-\sqrt{9}=0$ и $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})=\sqrt{16}-\sqrt{16}=0$, то мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16}$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}$, сопряжённое знаменателю.
$$ \lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})} $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin{aligned} & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac{-1-\sqrt{81}}{-2}=\frac{-10}{-2}=5;\\ & x_2=\frac{-1+\sqrt{81}}{-2}=\frac{8}{-2}=-4. \end{aligned} \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$
Для выражения $x^2-8x+15$ получим:
$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin{aligned} & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{4}}{2}=\frac{6}{2}=3;\\ & x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{4}}{2}=\frac{10}{2}=5. \end{aligned}\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$
Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:
$$ \lim_{x\to 5}\frac{(-x^2+x+20)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x^2-8x+15)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \lim_{x\to 5}\frac{-(x-5)(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(x-5)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{-(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \frac{-(5+4)(\sqrt{5^2-3\cdot 5+6}+\sqrt{5\cdot 5-9})}{(5-3)(\sqrt{5+4}+\sqrt{5^2-16})}=-6. $$
Ответ : $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.
В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения - избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.
Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
2015-06-13
Сопряженное иррациональное выражение
При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если $A, B, C, D, \cdots$ - некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида
$\frac{A}{\sqrt[n]{B}}, \frac{A}{B+C \sqrt{D}}, \frac{A}{\sqrt{B} + c \sqrt{D}}, \frac{A}{ \sqrt{B} \pm \sqrt{C}}$ и т.д.
Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.
1) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида $A/ \sqrt[n]{B}$ умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt[n]{B^{n-1}}$.
$\frac{A}{\sqrt[n]{B}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n-1}}}{\sqrt[n]{B} \sqrt[n]{B^{n-1}}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n-1}}}{B}$.
Пример 1. $\frac{4a^{2}b}{\sqrt{2ac}} = \frac{4a^{2}b \sqrt{4a^{2}c^{2}}}{2ac} = \frac{2ab}{c} \sqrt{4a^{2}c^{2}}$.
В случае дробей вида $\frac{A}{B+ C \sqrt{D}}, \frac{A}{\sqrt{B} + c \sqrt{D}}$ умножаем числитель и знаменатель на иррациональный множитель
$B – C \sqrt{D}$ или $\sqrt{B} – c \sqrt{D}$
соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выражение.
Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.
Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения:
а) $\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x}$; б) $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$.
Решение, а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на
выражение $\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x$. Получаем (при условии, что $y \neq 0$)
$\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x} = \frac{xy (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x)}{(x^{2} + y^{2}) – x^{2}} = \frac{x}{y} (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x)$;
б) $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
3) В случае выражений типа
$\frac{A}{B \pm C \sqrt{D}}, \frac{A}{\sqrt{B} \pm C \sqrt{D}}$
знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов. На тот же множитель умножается и числитель.
Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений:
а)$\frac{3}{\sqrt{5} + 1}$; б)$\frac{1}{\sqrt{a} – 2 \sqrt{b}}$
Решение, а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел $\sqrt{5}$ и $1$, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел:
$\frac{3}{\sqrt{5} + 1} = \frac{3 (\sqrt{5^{2}} - \sqrt{5} +1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5^{2}} - \sqrt{5} + 1)} = \frac{3(\sqrt{25} - \sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^{3} +1}$,
или окончательно:
$\frac{3}{\sqrt{5} + 1} = \frac{3(\sqrt{25} - \sqrt{5} + 1)}{6} = \frac{\sqrt{25} - \sqrt{5} + 1}{2}$
б) $\frac{1}{\sqrt{a} – 2 \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a^{2}} + 2 \sqrt{ab} + 4 \sqrt{b^{2}}}{(\sqrt{a})^{3} – (2 \sqrt{b})^{3}} = \frac{ \sqrt{a^{2}} + 2 \sqrt{ab} + 4 \sqrt{b^{2}}}{a-8b}$.
В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.
Пример 4. Освободиться от иррациональности в числителе $\frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{2b}$.
Решение. $ \frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{2b} = \frac{(a+b) – (a-b)}{2b(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})} = \frac{1}{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}$
