Основные тригонометрические тождества.
secα читают: «секанс альфа». Это число, обратное косинусу альфа.
соsecα читают: «косеканс альфа». Это число, обратное синусу альфа.
Примеры. Упростить выражение:
а) 1 – sin 2 α; б) cos 2 α – 1; в) (1 – cosα)(1+cosα); г) sin 2 αcosα – cosα; д) sin 2 α+1+cos 2 α;
е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; и) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
а) 1 – sin 2 α = cos 2 α по формуле 1) ;
б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α также применили формулу 1) ;
в) (1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Вначале мы применили формулу разности квадратов двух выражений: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 , а затем формулу 1) ;
г) sin 2 αcosα – cosα. Вынесем общий множитель за скобки.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Вы, конечно, уже заметили, что так как 1 – sin 2 α = cos 2 α, то sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Точно так же, если 1 – cos 2 α = sin 2 α, то cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
д ) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
е ) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Имеем: квадрат выражения sin 2 α плюс удвоенное произведение sin 2 α на cos 2 α и плюс квадрат второго выражения cos 2 α. Применим формулу квадрата суммы двух выражений: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 . Далее применим формулу 1) . Получим: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Применили формулу 1) , а затем формулу 2) .
Запомните: tg α ∙ cos α = sin α.
Аналогично, используя формулу 3) можно получить: ctg α ∙ sin α = cos α. Запомнить!
з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
и) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Мы вначале вынесли общий множитель за скобки, а содержимое скобок упростили по формуле 7).
Преобразовать выражение:
Мы применили формулу 7) и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений:
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2). У нас а = 1, b = tg 2 α.
Упростить:
Страница 1 из 1 1
Пример 2. Доказать тождество
Это тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части.
Способ 1.
Поэтому 
Способ 2.
Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1 / ctg α . Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α , не изменяя значения дроби. Следовательно,
Используя тождества tg α ctg α = 1 и 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , получаем
Поэтому 
что и требовалось доказать.
Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α ) определена при всех значениях α , а правая - лишь при α =/= π / 2 n.
Поэтому только при всех допустимых значениях α Вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу.
Пример 3. Доказать тождество
sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )
Преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы приведения:
sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = - cos α - cos α = - 2 cos α ;
cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .
Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.
Пример 4. Доказать тождество
sin 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .
Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю.
(sin 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 sin 2 α cos 2 α ) = (sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =
= (sin 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.
Тем самым тождество доказано.
Пример 5. Доказать тождество
Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a / b = c / d , достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc . Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 - sin α ) (1+ sin α ) = cos α cos α .
Действительно, (1 - sin α ) (1 + sin α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .
Класс: 10
“Математическая истина, независимо
от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же”
Б. Паскаль
Тип урока: Урок формирования умений и навыков.
Урок общеметодологической направленности.
Деятельностная цель: формирование способности учащихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.
Цели урока:
- дидактическая: научить применять полученные ранее знания, умения и навыки для упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.
- развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
- воспитательная: показать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи, продолжить формирование эстетических навыков при оформлении записей, навыков контроля и самоконтроля.
Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sinα, cosα, tgα, ctgα,соотношение sin 2 α+ cos 2 α =1 и т.д.
Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вы вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. (Презентация . Слайд 2 )
“Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.
Будем накачивать и тренировать умственные мышцы. Поэтому повторим основные тригонометрические формулы. (Слайд 3)
(Слайд 4)
(Слайд 5)
Мы повторили формулы, теперь можем помочь двум друзьям, назовём их Пётр и Степан.
После преобразования некоторого очень сложного тригонометрического выражения А они получили следующие выражения: (Слайд 6)
(Слайд 7) Каждый отстаивал свой ответ. Как узнать кто из них прав? Обратились к Артёму, который дружит с Петром “Платон мне друг, но истина дороже”: сказал Артём и предложил несколько способов разрешения их спора. А какие вы можете предложить способы установить истину? Предлагают способы установления истины (Слайд 8):
1) Преобразовать, упростить А П и А с, т.е. привели к одному выражению
2) А П – А с = 0
Т. е. оба были правы. И их ответы равны при всех допустимых значениях α и β .
Как называются такие выражения? Тождествами. Какие тождества вы знаете?
То ждество , основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.
В математике тождество – это равенство, которое справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. (Слайд 9)
Тема урока: “Тригонометрические тождества”.
Цели: найти способы.
Двое работают у доски.
№ 2. Доказать тождество.
Тождество доказано.
№ 3. Доказать тождество:
1 способ:
2 способ:
Способы доказательства тождеств.
- правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
- Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
- Из правой части тождества вычитаем левую часть.
- Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.
Для чего необходимо уметь доказывать тригонометрические тождества? В ЕГЭ задание С1 тригонометрические уравнения!
Решается № 87 (п. 3)
Итак, подведем итоги урока. (Слайд 10)
Какова была тема урока?
Какие способы доказательства тождеств вам известны?
1. Преобразование левой части к правой или правой к левой.
2. Преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.
3. Составление разности левой и правой частей и доказательство равенства этой
разности нулю.
Какие формулы при этом используются?
1. Формулы сокращенного умножения.
2. 6 тригонометрических тождеств.
Рефлексия урока. (Слайд 11)
Продолжите фразы:
– сегодня на уроке я узнал …
– сегодня на уроке я научился…
– сегодня на уроке я повторил…
– сегодня на уроке я познакомился…
– сегодня на уроке мне понравилось…
Домашнее задание. Глава VIII; §6; № 78(четные); № 80(2; 4); № 87(2; 4). (Слайд 12)
Творческое задание: Подготовить презентацию о знаменитых тождествах математики. (Например тождество Эйлера.) (Слайд 13)
"Тригонометрические тождества". 10-й класс“Математическая истина, независимо
от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же”
Б. Паскаль
Тип урока: Урок формирования умений и навыков.
Урок общеметодологической направленности.
Деятельностная цель : формирование способности учащихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.
Цели урока:
дидактическая : научить применять полученные ранее знания, умения и навыки для упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.
развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
воспитательная: показать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи, продолжить формирование эстетических навыков при оформлении записей, навыков контроля и самоконтроля.
Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sinα, cosα, tgα, ctgα,соотношение sin 2 α+ cos 2 α =1 и т.д.
Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вы вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. ( . Слайд 2 )
“ Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.
Будем накачивать и тренировать умственные мышцы. Поэтому повторим основные тригонометрические формулы. ТЕСТ (Слайд 4)(Слайд 5)
Мы повторили формулы, теперь можем помочь двум друзьям, назовём их Ислам и Магомед.
После преобразования некоторого очень сложного тригонометрического выражения А они получили следующие выражения: (Слайд 6)
(Слайд 7) Каждый отстаивал свой ответ. Как узнать кто из них прав? Обратились к Артёму, который дружит с Петром “Платон мне друг, но истина дороже”: сказал Артём и предложил несколько способов разрешения их спора. А какие вы можете предложить способы установить истину? Предлагают способы установления истины (Слайд 8):
1) Преобразовать, упростить А П и А с , т.е. привели к одному выражению
2) А П – А с = 0
3) …..
Т. е. оба были правы. И их ответы равны при всех допустимых значениях α и β .
Как называются такие выражения? Тождествами. Какие тождества вы знаете?
Тождество , основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.
Тождество – философская категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления самим с собой или равенство нескольких предметов.
В математике тождество – это равенство, которое справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. (Слайд 9)
Тема урока : “Тригонометрические тождества”.
Цели: найти способы.
Двое работают у доски.
№ 2. Доказать тождество.
П.ч.=Л.ч.
Тождество доказано.
№ 3. Доказать тождество:
1 способ:
2 способ:
Способы доказательства тождеств.
правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
Из правой части тождества вычитаем левую часть.
Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.
Для чего необходимо уметь доказывать тригонометрические тождества? В ЕГЭ задание С1 тригонометрические уравнения!
Решается № 465-467
Итак, подведем итоги урока. (Слайд 10)
Какова была тема урока?
Какие способы доказательства тождеств вам известны?
1. Преобразование левой части к правой или правой к левой.
2. Преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.
3. Составление разности левой и правой частей и доказательство равенства этой разности нулю.
Какие формулы при этом используются?
1. Формулы сокращенного умножения.
2. 6 тригонометрических тождеств.
Рефлексия урока. (Слайд 11)
Продолжите фразы:
– сегодня на уроке я узнал …
– сегодня на уроке я научился…
– сегодня на уроке я повторил…
– сегодня на уроке я познакомился…
– сегодня на уроке мне понравилось…
Домашнее задание. №№465-467 (Слайд 12)
Творческое задание: Подготовить презентацию о знаменитых тождествах математики. (Например тождество Эйлера.) (Слайд
