Множества и операции над ними
1. Основные понятия о множества.
- Основные определения.
Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).
МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.
Примеры:
- Множество студентов данной учебной группы.
- Множество планет солнечной системы.
- Множество букв русского алфавита.
- Множество натуральных чисел.
Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.
Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.
Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.
Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A 1 ,B 1,…
Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a 1, b 1 ,…
В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:
N – множество всех натуральных чисел;
Z c (или Z + или C + ) – множество всех целых неотрицательных чисел;
Z (или C) – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел;
R + - множество всех действительных положительных чисел.
По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:
1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.
1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.
Пример 1.
Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.
Пример 2.
Множество натуральных чисел бесконечно.
Пример 3.
Множество точек отрезка бесконечно.
3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅ .
Пример 4.
Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0.
Пример 5.
Множество людей, проживающих на Солнце.
В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.
Пример 6.
Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈ . В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.
Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ∉ ). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N
Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.
1.2 Способы задания множеств.
Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.
Пример 7.
Множество всех гласных букв русского алфавита:
A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.
Пример 8.
Множество цифр десятичной системы счисления:
B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.
Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.
Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.
Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:
А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х: Р(х)}.
Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.
Пример 9.
Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:
В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.
Пример 10.
Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:
R 1-3 ={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.
Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.
Пример 11.
Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.
Первый способ: N ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Второй способ: N ={z│z
Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.
Пример 12.
Множество квадратов.
Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.
Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.
1.3 Отношения между множествами.
Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).
Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.
рис. 1.
1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} и Y={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.
X Y B 1 B 2
Рис. 2. рис. 3.
- Пусть даны множества B 1 ={1; 2; 3} и B 2 ={4; 5; 6}.
Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B 1 и B 2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.
С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.
- Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.
Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.
Определение 1.1
Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.
Отношение “включено” обозначается знаком ⊂ .
Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃ .
Определение 1.1 символически записывается так: В ⊂ А или А ⊃ В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.
Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два
Множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ
ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ⊂ В ⊂ А, или иначе: А ⊃ В ⊃ Ø.
4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.
Определение 1.2
Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.
Определение 1.3
Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.
Символически данное определение можно записать так:
С = D
⇔
С
⊂
D и D
⊂
С, или С = D
⇔
С
⊂
D
∧
D
⊂
С,
где знак
⇔
означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак
∧
(конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.
С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.
Рис.5. рис.6.
УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…
Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…
Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.
2. Операции над множествами
Рассмотрим некоторые операции над множествами.
2.1 Пересечение множеств
Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.
Определение 1.4
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А ∩ В, где символ ∩ - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:
Р=А ∩ В= {x ⎪ x ∈ A и x ∈ B}={x ⎪ x ∈ A ∧ x ∈ B}. (1)
Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.
Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:
(2)
Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):
X ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (2а)
Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.
Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.
Символически это может быть записано так:
(3)
где квадратная скобка заменяет союз “или”.
В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):
Х ∉ А ∩ В ⇒ х ∉ А ∨ х ∉ В. (3а)
Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.
Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7 ÷ 10 (пересечение заштриховано).
рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10
2.2 Объединение множеств
Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.
Определение 1.5
Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:
А ∪ В, где ∪ - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:
С= А ∪ В={x ⎪ x ∈ A или x ∈ B}. (4)
Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой
(5)
а также знаком дизъюнкции
Х ∈ А ∪ В ⇒ х ∈ А ∨ х ∈ В. (5а)
Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.
Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:
(6)
или
X ∉ A ∪ B ⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B. (6а)
Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).
рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14
Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:
А ∪ А=А, А ∪∅ =А, А ∪ U=U. (7)
Замечание1.
Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:
Р= А 1 ∩ А 2 ∩ … ∩ А n ={x ⎪ x ∈∀ A i , i= },
Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A i , которая принадлежит каждому множеству одновременно.
Замечание 2.
Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:
C= A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ={x ⎪ x ∈ A 1 или x ∈ A 2 или …или x ∈ A n }.
Замечание 3.
Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).
2.3 Разность множеств
Определение 1.6
Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Символически разность двух множеств обозначается так:
А В, где символ является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:
C=A B={x ⎪ x ∈ A и x ∉ B} (8)
Или
(9)
а также x ∈ A B ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B. (9а)
Пример 1.
Если E 1 ={2; 4; 6} и E 2 ={6; 8; 10}, то E 3 =E 1 E 2 ={2; 4}, E 4 =E 2 E 1 ={8;10}.
Пример 2.
Если M 1 ={x 1 ; x 2 ; x 3 }, M 2 ={y 1 ; y 2 }, то M 3 =M 1 M 2 ={ x 1 ; x 2 ; x 3 },
M 4 =M 2 M 1 ={y 1 ; y 2 }.
Пример 3.
Если K 1 ={1; 3; 5; 7; 9}, K 2 ={5; 7; 1}, то K 3 =K 1 K 2 ={3; 9}, K 4 =K 2 K 1 = ∅ .
Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А В заштриховано.
рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18
2.4 Дополнение к множеству
Определение 1.7
Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .
Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .
Определение 1.8
Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .
Это определение может быть записано в виде:
= {x ⎪ x ∉ A}. (10)
Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.
Рис. 19 рис. 20
Технологическая карта открытого урока
Предмет : Дискретная математика
Группа: ЭВМ-116
Составитель: Седова Оксана Борисовна, преподаватель ГБПОУ МО "Авиационный техникум им. В.А. Казакова".
Тема: Операции над множествами
Тип урока : комбинированный урок
Цели урока - – развития познавательной активности, творческого и логического мышления студентов посредством анализа и обобщения полученной информации, приобретения знаний и умений в ходе изучаемой темы дисциплины:
Образовательная:
В результате изучения темы студент должен:
Производить операции над множествами;
иллюстрировать результаты операций над множествами с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна);
применять полученные знания для решения практических задач
основные понятия из теории множеств;
виды операций, осуществляемых над множествами;
приоритеты выполнения операций над множествами
Воспитательная:
Создание условий для проявления у студентов ответственности, инициативности при подготовке к занятию и в ходе его проведения;
Содействие развитию у студентов позитивного опыта общения, ответственного отношения к соблюдению этических и правовых норм в ходе самостоятельной деятельности.
Развивающая:
Создание условий для развития познавательной активности студентов, творческого и логического мышления, анализа и обобщения полученной информации, умений;
Осуществление самоконтроля в учебной деятельности.
Валеологическая:
Использование кабинета вычислительной техники, подготовленного к учебному процессу в соответствии с требованиями САНПиН;
Использование оздоровительных моментов на уроках: гимнастика для глаз, для улучшения кровообращения;
Создание благоприятного психологического климата на уроке с учетом индивидуальных особенности обучающихся.
Средства обучения:
комплекс мультимедиа (ПК, проектор);
презентация к уроку;
раздаточные материалы – карточки с заданиями;
комплект оценочных средств по изученной теме.
| Этап урока | Цель | Время, мин | Деятельность преподавателя | Деятельность учащихся | Форма работы | Основной метод обучения |
| 1 .Организационный | Мотивация учащихся к принятию новых знаний | фронтальная | ||||
| информирование | Формулирование темы урока, мотивация учащихся | знакомство с темой урока |
||||
| планирование | Приведение алгоритма урока | знакомство с алгоритмом урока |
||||
| активизация опорных знаний | фронтальная | устный опрос в форме беседы, демонстра-ция основных положений |
||||
| 2.1.повторение теоретического материала | понятие «множества» условные обозначения множеств, элементов множеств, знаки принадлежности множеству (∈ , ∉ ) способы задания множества понятие «подмножества» условные обозначения подмножества (,) определение равенства множеств определение мощности множества | ответы на вопросы, поставленные преподавателем |
||||
| 2.2. решение задач по изученному материалу | формулирование задач с использованием ТСО | обсуждение расходящихся ответов | демонстра-ция ответов решений |
|||
| Изучение нового материала | проблемное изложение, обсуждение |
|||||
| вопрос перед изложением материала | приобретение новых знаний | не кажутся ли вам операции объединения и пересечения знакомыми? Какие операции они напоминают? | обдумывание вопроса в ходе знакомства с материалом | фронтальная |
||
| знакомство с видами операций над множествами, способами записи | мотивация учащихся к принятию новых знаний | изложение нового материала изобразите каждую из операций с помощью кругов Эйлера исходя из определения, попробуйте изобразить с помощью диаграммы Венна операцию «дополнение». Какую логическую операцию напоминает эта операция? | сопоставление операций объединения и пересечения с логическими операциями конъюнкции и дизъюнкции попытки изобразить каждую из этих операций с помощью кругов Эйлера сопоставление операции дополнения с логической операцией отрицания |
|||
| закрепление приобретен-ных знаний | ||||||
| коллегиальное решение задач по изученному материалу | 1. формулирование задач с использованием ТСО 2. обсуждение расходящихся ответов | решение задач по изученному материалу; обсуждение расходящихся ответов | фронтальная | обсуждение |
||
| самостоятельная работа | раздача карточек с задачами для самостоятельной работы ответы на вопросы по заданиям, вызвавшим затруднения | самостоятельное решение задач вопросы преподавателю по заданиям, вызвавшим затруднения | индивидуаль-ная | самостоя-тельная работа |
||
| Итоги урока | рефлексия обучающихся | повторение основных положений урока ответы на возникшие вопросы, затруднения | повторение основных положений урока; вопросы преподавателю | фронтальная | рефлексия |
|
| Домашнее задание | закрепление знаний | осмысление домашнего задания вопросы преподавателю | фронтальная | |||
Сценарий урока
Организационный этап
Здравствуйте. Тема нашего урока «Операции над множествами». Что такое «множество» мы уже знаем. Множество – это ….. Продолжите фразу, пожалуйста.
Студенты дают различные определения понятия «множество»
Учитель демонстрирует определение на слайде 2:
Множество – это совокупность объектов, объединённых каким-либо признаком, свойством.
Скажите пожалуйста, а что вы понимаете под термином «операция»?
Студенты формулируют понятие «операция».
Учитель фиксирует наиболее приемлемые определения, демонстрирует на слайде:
Опера́ция (лат. operatio, действие) - действие, совокупность действий для достижения какой-либо цели.
Операция (математика) - арифметическое или логическое действие
Т.е. операции над множествами – это совокупность каких-либо действий. Для чего? Продолжите фразу, пожалуйста.
Студенты предлагают концовку фразы.
Преподаватель формулирует определение окончательно, демонстрирует слайд 2:
Операции над множествами – это совокупность каких-либо действий для получения нового множества
Таким образом, сегодня нам предстоит выяснить, какие операции можно выполнять над множествами и что мы получим в результате выполнения этих операций.
Повторение изученного материала
Прежде, чем перейти к изучению нового материала, восстановим основные положения предыдущего урока. Определение множества мы уже дали. А как обозначаются множества? Элементы множеств? Принадлежность элементов множеству? Приведите примеры.
Студенты записывают на доске варианты условных обозначений множеств, элементов множеств, знаки принадлежности элемента множества. Приводят конкретные примеры.
Преподаватель демонстрирует на слайде 3 примеры условных обозначений множеств, принадлежности элементов множеству.
Какие существуют способы задания множества? Приведите примеры.
Студенты называют и записывают способы задания множеств. Приводят примеры.
Преподаватель демонстрирует на слайде 4 способы задания множеств.
А какое множество можно назвать подмножеством другого множества? Приведите примеры. Какие знаки используются для указания принадлежности подмножества множеству?
Студенты формулируют определение подмножества. Приводят примеры. Записывают соответствующие формулы.
Преподаватель демонстрирует слайд 5 с соответствующими записями .
Дайте определение равенства множеств. Приведите примеры.
Студенты дают определение равенства множества, приводят примеры равенства множеств.
Преподаватель демонстрирует слайд 6 с записями равномощных множеств.
А теперь окончательно закрепим изученный ранее материал, прорешав ряд задач
Преподаватель демонстрирует слайд 7 с условиями задач.
Студенты решают задачи. Дают объяснения.
Преподаватель демонстрирует правильные ответы, приведенные на слайде 8.
Изучение нового материала
Итак, напомню тему нашего урока: «Операции над множествами». Какие же существуют операции над множествами, и к чему они приводят. Я буду излагать материал, а вы в это время подумайте, не знаком ли он вам. Или похож на что-то хорошо вам знакомое.
Преподаватель излагает новый материал – называет операции пересечения и объединения над множествами, формулирует определения, приводит знаки операций, формулы, законы и тождества, которым подчиняются эти операции. Изложение материала сопровождается слайдами 9,10. Параллельно предлагает студентам изобразить каждую операцию графически с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна).
Студенты осмысливают материал, приходят к пониманию схожести операций объединения и пересечения над множествами с логическими операциями дизъюнкции и конъюнкции соответственно. Предлагают варианты графического изображения каждой операции. Параллельно фиксируют основные тезисы, формулы, рисунки в тетради.
Итак, показался ли вам материал знакомым? Из какой области знаний ваши ассоциации.
Преподаватель подводит итог текущему этапу:
Действительно, основой для двузначной логики является теория множеств, как и для большинства других областей знаний.
Мы не рассмотрели еще несколько операций над множествами. Это дополнение, разность, симметрическая разность.
Преподаватель продолжает изложение материала, сопровождая слайдом 11.
Изобразите эту операцию с помощью диаграммы Венна. Какую логическую операцию напоминает дополнение?
Студенты предлагают свое решение, приходя к выводу что дополнение схоже с инверсией.
Преподаватель переходит к рассмотрению операций «разность» и «симметрическая разность» (слайды 12,13), предлагая студентам также изобразить эти операции графически.
Студенты предлагают свои решения, фиксируют материал в тетрадях.
Преподаватель подводит итог этапу:
Пересечение, объединение и дополнение являются базовыми операциями, через которые могут быть выражены остальные – разность и симметрическая разность.
Закрепление изученного материала
А теперь давайте закрепим новый материал.
Преподаватель выводит на экран слайды с формулировками задач.
Студенты коллегиально решают эти задачи.
Преподаватель выводит на экран слайды с ответами.
Студенты фиксируют решения и ответы задач в тетрадях.
Попробуйте решить задачи, предложенные на карточках, самостоятельно. Если возникнут какие-либо трудности, спрашивайте - обсудим.
Студенты самостоятельно решают предложенные преподавателем задачи.
Преподаватель помогает в решении задач, вызвавших затруднение.
Итоги урока
Давайте подведем итоги нашего урока.
Преподаватель задает вопросы. Студенты формулируют ответы:
Назовите операции, которые можно производить над множествами.
Операции над множествами – это пересечение, объединение, дополнение, разность, симметрическая разность.
Какие из этих операций являются базовыми? Почему?
Базовыми операциями над множествами являются пересечение, объединение, дополнение. Через них можно выразить остальные операции.
Назовите законы, которым подчиняются операции объединения и пересечения
Законы, которым подчиняются операции объединения и пересечения –это переместительный, сочетательный, дистрибутивный законы.
Назовите свойства операций пересечения, объединения, дополнения
Закон де Моргана, идемпотентности, тождества, исключения третьего и т.п.
Домашнее задание: составить сводную таблицу по заданному образцу
| Операция над множеством | Формальная запись | Логическая операция | Формальная запись | Диаграмма |
|
| объединение | дизъюнкция | ||||
Приложение 1:
Приложение 2. Система основных понятий по теме «Защита информации»
Цифровая информация – информация, хранение, передача и обработка которой осуществляется средствами ИКТ.
Защищаемая информация - информация, являющаяся предметом собственности и подлежащая защите в соответствии с требованиями правовых документов или требованиями, устанавливаемыми собственником информации.
Собственником информации может быть - государство, юридическое лицо, группа физических лиц, отдельное физическое лицо.
Защита информации - деятельность по предотвращению у течки защищаемой информации, несанкционированных и непреднамеренных воздействий на защищаемую информацию.
Цифровая подпись – это индивидуальный секретный шифр, ключ которого известен только владельцу. Наличие цифровой подписи свидетельствует о том, что ее владелец подтвердил подлинность содержимого переданного сообщения.
Цифровой сертификат – это сообщение, подписанное полномочным органом сертификации, который подтверждает, цифровая подпись действительно принадлежит владельцу.
1. Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторять 4 - 5 раз.
Повторять 4 - 5 раз.
3. Вытяну ть праву ю руку вперед. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленными движениями у казательного пальца вытяну той руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторять 4 - 5 раз.
4. Посмотреть на у казательный палец вытяну той ру ки на счет 1 - 4, потом перенести взор вдаль на счет 1 - 6. Повторять 4 - 5 раз.
5. В среднем темпе проделать 3 - 4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1 - 6. Повторять 1 - 2 раза.
Учебные занятия, сочетающие в себе психическую, статическую, динамическую нагрузки на отдельные органы и системы и на весь организм в целом, требуют проведения на уроках физкультурных мину ток (далее - ФМ) для снятия локального у томления и ФМ общего воздействия.
ФМ для улучшения мозгового кровообращения:
2. И.п. - сидя, ру ки на поясе. 1 - поворот головы направо, 2 - и.п., 3 - поворот головы налево, 4 - и.п. Повторить 6 - 8 раз. Темп медленный.
3. И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - махом леву ю руку занести через правое плечо, голову поверну ть налево. 2 - и.п., 3 - 4 - то же правой рукой. Повторить 4 - 6 раз. Темп медленный.
ФМ для снятия утомления с плечевого пояса и рук:
1. И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - правую ру ку вперед, леву ю вверх. 2 - переменить положения ру к. Повторить 3 - 4 раза, затем расслабленно опустить вниз и потрясти кистями, голову наклонить вперед. Темп средний.
2. И.п. - стоя или сидя, кисти тыльной стороной на поясе. 1 - 2 - свести локти вперед, голову наклонить вперед, 3 - 4 - локти назад, прогну ться. Повторить 6 - 8 раз, затем руки вниз и потрясти расслабленно. Темп медленный.
3. И.п. - сидя, ру ки вверх. 1 - сжать кисти в ку лак, 2 - разжать кисти. Повторить 6 - 8 раз, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.
ФМ для снятия утомления с туловища:
1. И.п. - стойка ноги врозь, ру ки за голову. 1 - резко поверну ть таз направо. 2 - резко повернуть таз налево. Во время поворотов плечевой пояс оставить неподвижным. Повторить 6 - 8 раз. Темп средний.
2. И.п. - стойка ноги врозь, ру ки за голову. 1 - 5 - круговые движения тазом в одну сторону, 4 - 6 - то же в другую сторону, 7 - 8 - ру ки вниз и расслабленно потрясти кистями. Повторить 4 - 6 раз. Темп средний.
3. И.п. - стойка ноги врозь. 1 - 2 - наклон вперед, правая ру ка скользит вдоль ноги вниз, левая, сгибаясь, вдоль тела вверх, 3 - 4 - и.п., 5 - 8 - то же в другую сторону. Повторить 6 - 8 раз. Темп средний.
ФМ общего воздействия комплектуются из упражнений для разных групп мышц с учетом их
напряжения в процессе деятельности
Приложение 4. Задание «Шифр Виженера»
С помощью табличного процессора Excel автоматизировать процесс кодирования слов с использованием ключевого слова bank (предполагается, что слова будут состоять только из строчных латинских букв и их длина не будет превышать 10 символов).
Для решения задачи использовать текстовые функции СИМВОЛ и КОДСИМВ.
Каждая буква текста должна храниться в отдельной ячейке. Величина сдвига должна определяться автоматически (код буквы ключевого слова минус код буквы “a” плюс единица). Попробовать с помощью вашей таблицы зашифровать слова: algebra, geometry, english.
Решение для слова geometry
В строке 2 размещается повторяющееся ключевое слово. В строке 3 – сдвиги, соответствующие буквам ключа. Например, в ячейке B3 находится следующая формула:
КОДСИМВ(B2)-КОДСИМВ("a")+1
Функция КОДСИМВ(символ) в качестве результата получает код аргумента. Аргументом может быть либо символьная константа, либо адрес ячейки, в которой хранится символ. В последнем случае выдается код содержимого ячейки. Поскольку буквы английского алфавита в коде расположены по алфавиту и имеют подряд идущие номера (внутренние коды), то порядковый номер буквы в алфавите равен коду данной буквы минус код буквы «a » плюс единица. Так вычисляется сдвиг, соответствующий букве ключевого слова.
В строке 4 располагается шифруемое слово. В ячейках строки 5 помещаются формулы шифрования. Форму ла в ячейке B5 такая:
СИМВОЛ(КОДСИМВ("a")+ОСТАТ(КОДСИМВ(B4)-КОДСИМВ("a")+B3;26))
Функция СИМВОЛ(код символа) возвращает символ по значению его ASCII-кода.
Функция ОСТАТ(делимое; делитель) возвращает остаток от целочисленного деления.
Английский алфавит содержит 26 букв. Остатки деления на 26 – числа в диапазоне от 0 до 25.
Это позволяет оставаться в пределах кодов английского алфавита (строчных букв): от кода буквы « a » до кода буквы « z » .
План – конспект урока
«Множество. Число элементов множества. Подмножество»
Цели урока:
Обучающа я: познакомить с понятиями «множество», «элемент множества», «подмножество»; научить определять число элементов множества; учить определять принадлежность элементов множеству и его подмножеству.
Развивающая : развивать логическое мышление, внимания, воображение, умение анализировать, сравнивать, обобщать.
Воспитывающая : воспитывать интерес у учащихся к предмету, коммуникативные навыки.
Литература:
Для учителя:
Горячев А.В., «Информатика в играх и задачах. 3 класс. Методические рекомендации для учителя».
Для учеников:
Горячев А.В., «Информатика в играх и задачах. 3 класс».
Тип урока : ознакомление с новым материалом
План урока:
Организационный этап.
Проверка домашнего задания.
Этап получения новых знаний.
Этап закрепления нового материала.
Этап обобщения знаний.
Рефлексия.
Домашнее задание.
Ход урока
Организационный этап.
Приветствие.
Начинается урок
Он пойдет ребятам впрок
Постарайтесь все понять,
Интересное узнать.
Проверка домашнего задания.
Задание 45.
Этап получения новых знаний.
Ребята, на уроках информатики вы уже научились описывать состав объектов, выделять их отличительные признаки, отвечать на вопросы «Что это такое?» и «Кто это такой?». Также научились отвечать на вопрос «Как это делается?» с помощью составления алгоритма. Но существуют и другие вопросы, на которые нужно уметь отвечать. Например, как определить относится ли объект к данной группе? А чтобы узнать, как ответить на этот вопрос, давайте для начала отгадаем загадки.
Он любит мёд
Зимой он спит
Весной хороший аппетит! Это медведь.
Крепко сбит да невысок,
На носу – крепкий рог,
Кто его дразнить посмеет –
Того он на свой рог подденет. Носорог
Он один сидит на ветке,
Зорок глаз и когти цепки,
Всех в два счёта б поборол,
Потому что он - ... орёл.
Гнездо свое он в поле вьет,
Где тянутся растения.
Его и песни и полет
Вошли в стихотворения! Это жаворонок.
Симпатичен, сер, усат,
Его хвостик полосат.
Пищу грязной не грызёт -
Моет всё в воде... енот.
Днём спит, ночью летает,
Ухает, людей пугает.
В темноте горят глаза –
Всем мышам она гроза. Это Сова.
Он хвостатый и усатый,
И, конечно, полосатый.
Рррр, - рычит, - мне не до игр.
Кто же это, дети? … тигр.
Эта птица всем знакома -
Важно ходит возле дома
Кар-Кар-Кар вдруг закричит,
И спокойно улетит. Ворона.
Он других не обижает.
Ест траву, в лесу гуляет,
Но ветвистыми рогами
Может справиться с волками! Это олень.
Как мы можем разделить эти объекты? По общему признаку. В одной группе будут находиться животные, а в другой - птицы.
А теперь посмотрите – из первых букв можно сложить слово. Какое? Слово "Множество". И это очень важное слово для нашего урока!
Под множеством понимают объединение объектов на основе каких-то общих свойств или признаков.
Чтобы узнать принадлежит объект данному множеству или нет, достаточно выделить характерный признак, по которому точно можно определить, что этот объект можно включить в данное множество. Другой же предмет, у которого этот признак отсутствует, включать в это множество нельзя.
Глядя на две наши группы, можно сказать, что у нас есть два множества: множество животных и множество птиц.
Какие объекты входят в эти множества?
В первое множество входят: медведь, енот, олень, носорог, тигр.
Во второе множество: орёл, жаворонок, сова, ворона.
Объекты, которые принадлежат множеству, называются элементами множества.
Как вы думаете, от какого слова произошло название «множество»? Много.
А сколько это много? Точно мы сказать не можем.Во множестве может быть любое количество элементов, даже один элемент. Может бытьбесконечно большое число элементов, например, множество чисел. А также может быть и такое, что во множестве не будет ни одного элемента. Такое множество называется пустым. Например, множество чисел, которые делятся на ноль. Мы знаем, что нет таких чисел, которые бы делились на ноль, ведь на ноль делить нельзя.
Множества могут быть самыми разными: детей, гуляющих в парке, множество сказок Пушкина, множество учащихся, занимающихся танцами, множество страниц в книге и т.д.
А сколько всего элементов в наших множествах? Во множестве животных пять, а во множестве птиц четыре.
А как нам отмечать объекты во множестве, не рисовать же рисунки всё время? А отмечать объекты мы будем точками.
Итак, в нашем множестве животных - пять объектов, значит, ставим пять точек: раз, два, три, четыре, пять.
Как можно показать, что они вместе составляют одно множество? Обвести их.
Теперь тоже самое делаем для множества птиц. Ставим четыре точки и обводим их.
Итак, ребята у нас получилось множество животных, в которое входит пять элементов и множество птиц, в это множество входят четыре элемента.
Этап закрепления нового материала.
А теперь необходимо, разместить объекты во множества.
Для начала давайте прочитаем названия элементов множеств: сосна, яблоня, ель, вишня, дуб, ромашка.
А теперь прочитаем названия множеств: деревья, плодовые деревья, растения.
Какой фигурой обозначено множество плодовых деревьев? Кругом.
Какие элементы войдут в это множество? Яблоня, вишня.
Перенесём название элементов в круг.
А теперь запишем элементы множества деревьев.
Сосна, яблоня, ель, вишня, дуб. Впишем их в квадрат.
А как получилось, что яблоня и вишня входят в оба множества?
Яблоня и вишня, это – плодовые деревья. Все плодовые деревья входят и во множество деревьев.
Какое множество больше: плодовых деревьев или всех деревьев?
Множества деревьев больше, так как в него входят все плодовые деревья и остальные деревья тоже.
Оказывается, если ВСЕ элементы одного множества входят в другое более крупное множество, то первое является подмножеством второго. Значит, во множестве деревьев есть подмножество плодовые деревья.
Однако есть ещё одно множество - растений. Назовём его элементы. Это все элементы в списке: сосна, яблоня, ель, вишня, дуб, ромашка. – они все растения.
Ребята, получается, что это множество еще больше: в него входят все элементы, из предыдущих множеств и еще ромашка. Впишем эти элементы в прямоугольник.
Рассмотрите, что получилось. Есть большое множество растений, в которое входят ромашка и подмножество «Деревья. А в подмножество Деревья входит подмножество Плодовые деревья.
А сейчас я предлагаю вам построить пирамиду множеств. На первом этаже будут жить четыре элемента, на втором – три, на третьем - два. На четвёртом этаже будет жить один элемент, а на чердаке - никто не будет жить. Давайте посмотрим, какие это множества, и разместим их по этажам, так, чтобы на каждом этаже находилось множество с соответствующим количеством элементов.
Итак! Согласные в слове «пирамида». Сколько согласных в слове «пирамида»? Четыре. Значит, это множество разместим на этаж, где будут жить четыре элемента.
Крылья у птицы. У птицы два крыла, значит, помещаем туда, где два элемента.
Ученики шестнадцатого класса. Шестнадцатого класса? Хм, это пустое множество, нет в школе 16 класса. Помещаем на чердак.
Зимние месяцы. Их три. Помещаем на второй этаж.
Гласные в слове «торт». В этом слове одна гласная – это буква о. Помещаем на четвёртый этаж.
Множества расставлены по своим местам. И пирамида готова!
Карточки с заданиями.
Задания 1, 3 из учебника.
Этап обобщения знаний.
Множество – это объединение объектов на основе каких-то общих свойств или признаков.
Сколько же элементов может быть во множестве? Сколько угодно. И один, и два, и бесконечно много, и даже ни одного. Такое множество называется пустым.
А так же вы узнали, что есть множество, которое входит в другое множество и оно называется подмножеством.
Рефлексия.
"Благодарю…".
В конце урока учитель предлагает каждому ученику выбрать только одного из ребят, кому хочется сказать спасибо за сотрудничество и пояснить, в чем именно это сотрудничество проявилось. Учителя из числа выбираемых следует исключить. Благодарственное слово педагога является завершающим. При этом он выбирает тех, кому досталось наименьшее количество комплиментов, стараясь найти убедительные слова признательности и этому участнику событий.
Домашнее задание.
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ (3 ч) У р о к 1 Цели: познакомить учащихся с понятием множества, способами задания и описания множеств; учить задавать множества различными способами; развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Изучение нового материала. 1. Знакомство с новым понятием начнем с рассмотрения становления и развития языка математики со времен Галилео Галилея (1564–1642) до наших дней. 2. Современный математический язык более краток и в первую очередь заменяет естественный, разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Он более формализован и унифицирован, то есть подходит к рассмотрению сразу многих однотипных случаев. Более 100 лет фундаментом современного математического языка являются простейшие понятия и обозначения языка теории множеств. 3. Множество состоит из элементов. Если этих элементов немного, то удобно все элементы просто перечислить в какомнибудь порядке. Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в некоторое множество, такое перечисление производят внутри скобок { , }. Словесное, поэлементное описание множества, задание множества перечислением его элементов можно рассмотреть в таблице на с. 25 учебника. 4. Замечание 1 на с. 25 (прочитать в учебнике). 5. Множество, элементами которого являются числа, называется числовым. Для числовых множеств есть естественный порядок перечисления их элементов от меньшего числа к большему числу. 6. Рассмотреть решение примера 1 на с. 25–26 учебника. 7. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается символом – Ø. 8. Если число элементов множества достаточно велико (например, несколько десятков, сотен и т. д.) или если множество бесконечно (например, множество всех натуральных или множество всех целых чисел), то явное перечисление элементов такого множества невозможно. Способы задания, описания таких множеств весьма разнообразны. 9. Рассмотреть примеры в таблице на с. 26–27 учебника. 10. Рассмотреть примеры 2–3 на с. 28–29 учебника. 11. Такие словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х является элементом множества А» в математике более кратко записывают так: x A. Смысл знака принадлежности легко запомнить: – это перевернутая буква «Э», то есть буква, с которой начинается слово элемент. Знак – это отрицание знака принадлежности . Запись x A означает, что х не является элементом множества А. 12. Рассмотреть примеры использования этих знаков на с. 30 учебника. 13. Рассмотреть пример 4, с. 30 учебника. 14. Замечание 2 на с. 30 (прочитать в учебнике). II. Закрепление изученного материала. 1. Решить № 531 (a; б) на с. 112 задачника.
х х 0; 3 a) {6; 7; 8; …}, б) {–6; –5; –4; –3; –2; –1}. 2. Решить № 532 на с. 112 задачника. а) множество всех четных цифр. б) все числа вида х + 1, где х ненулевая цифра. в) множество натуральных чисел, кратных трем, которые меньше 31. г) заглавные буквы английского алфавита. 3. Решить письменно № 533 (а, б) на с.112. a) 13 3 х 13; 1 4 . 3 (О т в е т: х 1; х х 1 0; х х 1 х х 1 4 2 х 1 х 5 1 5 1 5 ; 4 ]. 1 3 б) 0; 0 О т в е т: (–1; 2). 4. Решить устно №534 на с.112. а) нет, б) да, в) нет, г) да. 5. Решить № 535 (а, б) на с.112. а) Следует найти множество всех х таких, что является решением неравенства x2 ≤ 0, то есть надо решить данное неравенство. Его решением является одно число х = 0. О т в е т: {0}. б) Следует найти множество всех х таких, что являются решением неравенства x2 + 18x ≤ –81, то есть надо решить данное неравенство
x2 + 18x ≤ –81; x2 + 18x + 81 ≤ 0; y = x2 + 18x + 81 x2 + 18x + 81 = 0 D = 182 – 4 1 81 = 324 – 324 = 0 x 9. 18 2 Решением данного неравенства является одно число х = –9. О т в е т: {–9}. 5. Решить № 536 (б, г) на с.113. б) Нет. Подставим х = 0,7 в неравенство x2 + 16x ≤ –64. Получим неверное числовое неравенство 11,69 ≤ –64. 0,003999 2,999 0. г) Да. Подставим х = 1,001. Получим верное числовое неравенство О т в е т: б) нет; г) да. 6. Решить № 537 на с.113. a) x(x2 + 19) + 6 = (2x + 3)(3x + 2) – x2 x3 + 19x + 6 = 6x2 + 9x + 4x + 6 – x2 x3 + 19x + 6 – 6x2 – 9x – 4x – 6 + x2 = 0 x3 – 5x2 + 6x = 0 x1 = 0 D = 25 – 24 = 1 x2 = 3, x3 = 2. О т в е т: 0; 2; 3. б) M = {0; 2; 3}. в) {0; 2; 3}, {0; 3; 2}, {2; 0; 3}, {2; 3; 0}, {3; 2; 0}, {3; 0; 2}. г) 6. О т в е т: а) 0, 2, 3; б) M = {0; 2; 3}; в) {0; 2; 3}, {0; 3; 2}, {2; 0; 3}, {2; 3; 0}, {3; 2; 0}, {3; 0; 2}; г) 6. III. Итоги урока. Перечислить способы задания и описания множеств. Домашнее задание: изучить материал § 17 на с. 23–30 учебника; решить № 533 (в, г); № 535 (в, г); № 53 6 (а, г); №547 (б) на с. 112114 задачника.
Урок в 4 классе.
Тема: Операции над множествами: объединение, пересечение.
Цели :
закрепить представление о множествах, подмножествах, пересечении двух множеств;
закрепить умение определять: характер отношений между множествами (множество-подмножество, имеют пересечение, не имеют пересечения);
научиться определять принадлежность объектов заданным множествам, в том числе подмножествам и пересекающимся множествам.
Ход урока
Организационный момент. Знакомство с темой и целями урока (слайд №1)
Актуализация знаний.
Учитель.
Ребята, сначала вспомним то, что вам уже известно о множествах.
Назовите элементы множества: (слайд №2)
Множество
Элементы множества
Количество элементов
Месяцев в году
Времен года
Зима, весна, лето, осень
Ученики в вашем классе
Гласные буквы в русском языке
Клеток на шахматном поле
Результатов деления чисел на ноль
Что такое пустое множество? Приведите пример.
Практическая работа.
1) Раздается всем задание №2
(Один ученик читает задание вслух. Учитель проводит инструктаж выполнения) Например: Ч айка – это птица, множество птиц обозначено «ромбиком», поэтому букву Ч нужно записать внутри ромба.
После выполнения работы дети обмениваются карточками с выполненным заданием, чтобы проверить. На доске показан правильный ответ (слайд№3) и дети проверяют ошибки соседа (если таковы есть). Ставят оценки.
2) Задание №3 (на доске слайд №4)
По заданию №3 ответьте на вопросы:
Какой рисунок соответствует понятию «множество и его подмножество»? (2)
Какой рисунок соответствует понятию «два множества, имеющих пересечение»? (1)
Какой рисунок соответствует понятию «два множества не имеющих пересечения»? (3)
Правильно, а теперь возьмите, пожалуйста, фломастер и проведите стрелку от рисунка к подходящей паре множеств. (после выполнения задания дети обмениваются листочками и проверяют, обращая внимание на ответ на доске,(слайд№4) ставят оценку).
Ребята, а какие ещё подмножества есть у множества животных? (Подмножества птиц, рыб, насекомых, …)
Назовите животное, которое:
является зверем и обитает в море (дельфин, тюлень, морской лев, кит, …);
обитает в море, но не зверь (осьминог, краб, акула, …);
зверь, но не обитатель моря (медведь, тигр, заяц, …)
Показать на 1-ой картинке на место пересечения множеств и задать вопрос, какой элемент здесь может «жить» (дельфин).
3) Игра «Назови подмножество»
Класс делится на две команды, каждая команда придумывает себе имя, выбираются эксперты от каждой команды, которые будут подсчитывать и отмечать на листочке все правильные ответы своей команды (можно за правильный ответ команды ставить на листочке просто палочку).
Учитель называет множество, а команды по очереди называют его возможные подмножества (эксперт участвует в работе команды и помечает на листочке все правильные ответы).
Множество фильмов – подмножества комедий, боевиков, индийские фильмы, фильмы сказки;
Множество букв – подмножество гласных и согласных букв;
Множество городов – подмножество европейских городов, столиц, областных центров;
Множество людей в школе – подмножество учителей и учеников;
Множество автомобилей – подмножество легковых, грузовых, иномарок;
Множество мебель – подмножество стульев, столов, шкафов.
Физкультминутка
Ветер дует нам в лицо,
И качает деревцо,
Ветерок все тише, тише…
Деревцо все выше, выше…
Самостоятельная работа.
Дети рассаживаются за компьютеры, открывают программу «Мир информатики 3 год обучения», тему «Отношения между множествами. Объединение множеств.» и выполняют все задания. Кто справился раньше, тот получает дополнительное задание №4 на листочках.
Подведение итогов урока:
Ребята, сегодня вы вспомнили, что различные множества отличаются числом элементов, что одно множество может пересекаться с другим или быть его подмножеством.
Домашнее задание №7 (слайд №5).
Рефлексия.
Ребята, а вы довольны своей работой на уроке сегодня? Какую бы вы оценку себе поставили? Нарисуйте «рожицу» (слайд №6)с вашей оценкой на своих рабочих листочках, подпишите их и сдайте мне.
