Урок математики "Двугранный угол. Многогранные углы". Трехгранный угол Измерение трехгранных углов

Презентация «Многогранный угол» - это наглядный материал для представления ученикам учебной информации по теме. В ходе презентации представляются теоретические основы понятия многогранного угла, доказываются основные свойства многогранного угла, которые необходимо знать для решения задач. С помощью пособия учителю легче сформировать представление о многогранном угле, умение решать задачи по теме. Презентация в числе других наглядных средств способствует повышению эффективности урока.

В презентации применяются приемы, способствующие улучшению подачи учебного материала. Это анимационные эффекты, выделение цветом, вставка рисунков, схем. Применяя анимационные эффекты, информация подается последовательно, выделяя важные моменты. С помощью анимации построения представляются более живыми, близкими к традиционной демонстрации с помощью классной доски, чтобы ученики легче понимали представляемые свойства. Использование средств выделения помогает ученикам легче запомнить учебную информацию.

Демонстрация начинается с напоминания учебного материала, с которого начиналось в курсе математики изучение углов. Определение угла как фигуры, состоящей из точки и двух лучей, что исходят из точки. Под определением дано изображение угла ∠АВС, обозначен угол, вершина и точки на лучах. Далее напоминается информация о том, что такое смежные углы ∠LOM и ∠MON. На рисунке изображены смежные углы, обозначены сами углы, вершина О и точки на лучах - L, M, N. Моделью угла служит циркуль, изображенный на слайде 4. Раствор циркуля может меняться, создавая углы различной величины.

С помощью слайда 5 ученикам напоминается определение двугранного угла как фигуры, составленной из двух полуплоскостей, не принадлежащих одной плоскости, и их общей границей - прямой. Под текстом определения изображен двугранный угол. Примерами многогранных углов служат крыши домов. На рисунке слайда 6 изображены здания с двугранной и многогранной крышей.

На слайде 7 демонстрируется изображение многогранного угла ОА 1 А 2 А 3 …А n . На рисунке обозначена вершина угла, на каждом луче отмечена точка, создавая обозначение многогранного угла по вершине и лучам. Обозначение выведено рядом с рисунком и заключено в рамку для запоминания. Рассматривается строение многогранного угла ОА 1 А 2 А 3 …А n .. На его изображении отмечена вершина О, ребра ОА 1 ,…, ОА n , плоский угол А 1 ОА 2 . Далее демонстрируется трехгранный угол ABCD, в котором отмечены плоские углы. Трехгранный угол AA 1 DB представлен в кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , изображенном на рисунке слайда 10. На изображении выделен трехгранный угол, формирующие грани которого окрашены в различные цвета, и обозначены плоские углы. Следующий слайд демонстрирует крыши зданий, у которых форма - шестигранный угол. На рисунке отмечен плоский угол и шестигранный угол.

Представлено свойство о существовании плоскости, пересекающей все ребра выпуклого многогранного угла. Чтобы понимать суть свойства, необходимо знать определение выпуклого угла. Оно отмечено рядом со свойством. В определении указано, что выпуклый угол находится по одну сторону от плоскости, которая содержит каждый из плоских углов. Условием теоремы о свойстве многогранного угла предусмотрено, что имеется выпуклый многогранный угол ∠ ОА 1 А 2 А 3 …Аn. На лучах ОА 1 и ОА 2 отмечены точки К и М, соединение которых составляет среднюю линию треугольника Δ ОА 1 А 2 . Плоскость, проходящая через КМ и некоторую точку А i , располагается таким образом, что все точки А 1 , А 2 , А 3 , …А n находятся по одну сторону от α, а вершина угла точка О лежит по другую сторону плоскости. Из этого следует, что плоскость пересекает все ребра выпуклого многогранного угла. Теорема доказана.

Следующая теорема, представленная на слайде 4, утверждает о том, что сумма всех плоских углов многогранного угла является меньшей 360°. Теорема формулируется в виде свойства, выделенного в красную рамку для запоминания. Доказательство свойства иллюстрируется на рисунке, на котором изображен многогранный угол ∠ ОА 1 А 2 А 3 …Аn. На многогранном угле отмечены вершина О, точки, принадлежащие лучам, А 1 , А 2 ,А 3 ,…Аn. Это выпуклый многогранный угол. Угол пересекается плоскостью, пересекающей лучи в точках А 1 , А 2 ,А 3 ,…Аn. Сумма плоских углов многогранного угла представлена выражением А 1 ОА 2 +А 2 ОА 3 +…+ А n ОА 1 . Зная сумму углов треугольника, каждый из плоских углов представляется выражениями, например, А 1 ОА 2 =180°- ОА 1 А 2 - ОА 2 А 1 и т.п. В результате преобразования выражения получаем 180°·n-(ОА 1 А n + ОА 1 А 2)-…-(ОА n А n-1 + ОА n А 1). Учитывая справедливость неравенства ОА 1 А n + ОА 1 А 2 > А n А 1 А 2 …, вычисляем 180°·n-(А n А 1 А 2 + А 1 А 2 А 3 +…+ А n-1 А n А 1 =180°·n-180°(n-2)=360°. Утверждение доказано.

Презентация «Многогранный угол» применяется для повышения эффективности традиционного урока в школе. Также данное наглядное пособие может стать инструментом преподавания в ходе дистанционного обучения. Материал может быть полезен ученикам, самостоятельно осваивающим тему, а также тем, кому требуется дополнительное занятие для более глубокого ее понимания.

Трехгранные углы. Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства?ASB ? ?ASC < ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.

Слайд 3 из презентации «Многогранный угол» к урокам геометрии на тему «Углы в пространстве»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке геометрии, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Многогранный угол.ppt» можно в zip-архиве размером 329 КБ.

Скачать презентацию

Углы в пространстве

«Угол между прямыми в пространстве» - В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: A1C1 и B1D1. Ответ: 45o. Ответ: 90o. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AB1 и BC1. Угол между прямыми в пространстве. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BD1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC1. Ответ: В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC.

«Двугранный угол геометрия» - угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС. Угол РМТ - линейный для двугранного угла с РМКТ. К. В. Геометрия 10 «А» класс 18.03.2008. Двугранный угол. прямая ВО перпендикулярна ребру СА (по свойству равностороннего треугольника). В грани АСВ. (2) В грани МТК. KDBA KDBC.

«Вписанный угол» - 2 случай. В. Док-ть: Вершина не на окружности. А. 3 случай. 2. Тема урока: Вписанные углы. б). Повторение материала. Решение задач. Проблема № 1 ? Домашнее задание.

«Трёхгранный угол» - Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: . Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Доказательство I. Пусть? < 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.

Cлайд 1

Cлайд 2

Теорема. В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360 и сумма любых двух из них больше третьего. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основное свойство трехгранного угла. Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .

Cлайд 3

Доказательство I. Пусть < 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .

Cлайд 4

Формула трех косинусов. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: 2) Угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов, которая эта прямая, образует с прямыми этой плоскости.

Cлайд 5

II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’ так, что |OA’| = |OB’| = |OC’| Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ – равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые. Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим неравенства, доказанные в пункте I: С’А’B’ < 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .

Cлайд 6

III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство, доказанное в пункте II для произвольного трехгранного угла: (180 –) + (180 –) + < 360 + > . Аналогично доказываются и два остальных неравенства. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > . с’

Cлайд 7

Следствие. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120 .

Cлайд 8

Определение. Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы. Признаки равенства трехгранных углов. Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны: два плоских угла и двугранный угол между ними; 2) два двугранных угла и плоский угол между ними; 3) три плоских угла; 4) три двугранных угла. Рис. 4б

Cлайд 9

. . Дан трехгранный угол Оabc. Пусть < 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:

Cлайд 10

II. Пусть > 90 ; > 90 , тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с, и соответствующий трехгранный угол Оаbс’, в котором плоские углы – и – – острые, а плоский угол и двугранный угол – те же самые. По I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos

Многогранные углы. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

Слайд 1 из презентации «Многогранный угол» к урокам геометрии на тему «Углы в пространстве»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке геометрии, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Многогранный угол.ppt» можно в zip-архиве размером 329 КБ.

Скачать презентацию

Углы в пространстве

«Угол между прямыми в пространстве» - В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AB1 и BC1. Угол между прямыми в пространстве. Ответ: 90o. Ответ: 45o. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: A1C1 и B1D1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC. Ответ: В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BD1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC1.

«Вписанный угол» - Построить прямой угол? Равных данному? Теорема: Определение: Опирается. Практическая работа. Хасанова Е.И., учитель математики, План урока: Вписанные углы. Доказательство: Дано: Итог урока. 8 класс. Б). Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? МОУ "МСОШ № 16", г. Миасса, Челябинской области.

«Многогранный угол» - Измерение многогранных углов. Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. Следовательно, ? ASB + ? BSC + ? ASC < 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

«Смежные углы» - Дано: ?AOC и?BOC – смежные. Доказать: ?AOC + ?BOC = 180?. Смежные и вертикальные углы. d. c. Теорема. Следствия из теоремы. b. А смежный развернутому? Дан произвольный?(аb), отличный от развернутого. Определение. a. Урок 11. Сумма смежных углов равна 180?. Доказательство.

Слайд 1

Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а несоседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называтьмногогранной поверхностью.

Слайд 2


В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Слайд 3

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ

Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство.Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Слайд 4


Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС

Слайд 5

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол называетсявыпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство.Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

Слайд 6

Вертикальные многогранные углы

На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов Теорема. Вертикальные углы равны.

Слайд 7

Измерение многогранных углов

Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Слайд 8

Измерение трехгранных углов*

Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины Sтрехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A"B"C" являются пересечением трех двуугольников.Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или  SA +SB + SC = 180о + 2SABC.

Слайд 9

Измерение многогранных углов*

Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Слайд 10

Упражнение 1

Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Ответ: а) Нет; б) нет; в) да.

Слайд 11

Упражнение 2

Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Слайд 12

Упражнение 3

Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10о

Слайд 13

Упражнение 4

Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90о.

Слайд 14

Упражнение 5

В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60о.

Слайд 15

Упражнение 6

Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90о.

Слайд 16

Упражнение 7

Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ: см.

Слайд 17

Упражнение 8

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

Слайд 18

Упражнение 9

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

Слайд 19

Упражнение 10

Для двугранных углов тетраэдра имеем: , откуда 70о30". Для трехгранных углов тетраэдра имеем: 15о45". Ответ: 15о45". Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

Слайд 20

Упражнение 11

Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра. Для двугранных углов октаэдра имеем: , откуда 109о30". Для четырехгранных углов октаэдра имеем: 38о56". Ответ: 38о56".

Слайд 21

Упражнение 12

Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра. Для двугранных углов икосаэдра имеем: , откуда 138о11". Для пятигранных углов икосаэдра имеем: 75о28". Ответ: 75о28".

Слайд 22

Упражнение 13

Для двугранных углов додекаэдра имеем: , откуда 116о34". Для трехгранных углов додекаэдра имеем: 84о51". Ответ: 84о51". Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

Слайд 23

Упражнение 14

В правильной четырехугольной пирамидеSABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдитечетырехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360о, т.е. равен 60о. Ответ: 60о.

Слайд 24

Упражнение 15

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90о. Найдитетрехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360о, т.е. равен 45о. Ответ: 45о.

Слайд 25

Упражнение 16

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдитетрехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре Oтетраэдра. Следовательно, 3-гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360о, т.е. равен 90о. Ответ: 90о.

Посмотреть все слайды