Для школьников и родителей
  • Главная
  • Проекты
  • Свойства гиперболы. Основные свойства гиперболы Ветка гиперболы

Свойства гиперболы. Основные свойства гиперболы Ветка гиперболы

Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Все мы в жизни хоть раз говорили или слышали подобные выражение (а кто-то и не раз): ВЕЧНО ОПАЗДЫВАЕТЕ или СТО ЛЕТ НЕ ВИДЕЛИСЬ.

И мало кто задумывался, что эти фразы лишены какого-то здравого смысла. Так, человек просто не может «вечно опаздывать». И не может кто-то не видиться «сто лет», хотя бы потому, что люди редко так долго живут.

Подобные преувеличения в русском языке называются гиперболами и именно о них пойдет речь в этой публикации.

Гипербола - это красивое преувеличение

Само это слово греческое – «hyperbole» и обозначает оно «чрезмерность, избыток, преувеличение».

Гипербола – это одно из средств усиления эмоциональной оценки , заключающееся в чрезмерном преувеличении каких-либо явлений, качеств, свойств или процессов. Благодаря этому создается более впечатляющий образ.

Причем часто преувеличение доходит до совершенно непостижимых понятий, иногда даже . Любой иностранец, если будет переводить дословно, будет явно озадачен. Мы же давно к ним привыкли, и воспринимаем их как совершенно нормальные.

Вот примеры наиболее часто используемых в обиходе гипербол:

НАПУГАТЬ ДО СМЕРТИ
ТЫСЯЧА ИЗВИНЕНИЙ
ХОТЬ ЗАЛЕЙСЯ
РЕКИ КРОВИ
ГОРЫ ТРУПОВ
ЖДУ ЦЕЛУЮ ВЕЧНОСТЬ
ЕХАТЬ ЗА ТЫСЯЧУ КИЛОМЕТРОВ
ВЕСЬ ДЕНЬ ПРОСТОЯЛА
КУЧА ДЕНЕГ
ПИР НА ВЕСЬ МИР
МОРЕ СЛЕЗ
НЕ ВИДЕЛИСЬ 100 ЛЕТ
ОКЕАН СТРАСТЕЙ
ВЕСИТ СТО ПУДОВ
ЗАДУШИТЬ В ОБЪЯТЬЯХ
ИСПУГАТЬСЯ ДО СМЕРТИ

Все перечисленные выражения мы постоянно используем в разговорной речи. И ради эксперимента просто попробуйте разобрать их дословно и увидите, насколько некоторые из них смешны, а порой и абсурдны.

Ну, например, «хоть залейся» — это должно быть такое количество жидкости, чтобы ее хватило на целый бассейн, в который можно было бы погрузиться с головой. Хотя на самом деле мы этим выражением просто хотим сказать, что напитков у нас много — даже больше чем нужно.

Или фраза «куча денег» на самом ведь деле обозначает просто хорошее финансовое состояние, а не то, что человек собрал все свои сбережения и давай их складывать в одну кучу.

А выражение «ехать за тысячу километров» мы употребляем, ни когда речь идет о реальном расстоянии, например, от Москвы до Волгограда или Ростова-на-Дону. А просто в значении «далеко», хотя на самом деле в реальных цифрах там расстояние может быть всего в несколько километров.

И так можно «развенчать» абсолютно любую гиперболу. Но делать этого не стоит. Они и не должны означать абсолютную правду, их задача – наиболее живописно охарактеризовать конкретную ситуацию или мысль, усиливая ее эмоциональный окрас .

Примеры гипербол в художественной литературе

На самом деле подобные преувеличения – это очень старый литературный прием. Он использовался , а это было без малого тысячу лет назад. С помощью гипербол многократно усиливали силу богатырей и их противников.

Сон богатырский длился 12 ДНЕЙ (ну не может человек спать почти две недели)

На пути богатыря стояли силы несметные – ВОЛК ИХ ЗА ДЕНЬ НЕ ОБЕЖИТ, ВОРОН ЗА ДЕНЬ НЕ ОБЛЕТИТ (это сколько врагов должно быть – миллион?)

Махнет богатырь рукой – СРЕДИ ВРАГОВ УЛИЦА, махнет другой – ПЕРЕУЛОК (то есть одним ударом богатырь убивает сразу несколько десятков)

Взял Илья Муромец палицу ВЕСОМ СТО ПУДОВ (тут надо понимать, что сто пудов – это полторы тонны)

Соловей-разбойник свистит – ЛЕС К ЗЕМЛЕ КЛОНИТСЯ, а ЛЮДИ МЕРТВЫМИ ПАДАЮТ (ну тут совсем что-то из разряда сказки)

Точно такие же гиперболы встречаются и в «Слове о полку Игореве» . Например:

«Русичи червлеными щитами перегородили широкие поля, ища себе честь, а князю славы» или «Войско такое, что можно Волгу веслами расплескать, а Дон вычерпать шлемами».

Среди писателей больше всего гипербол встречается у Николая Васильевича Гоголя . Преувеличения есть практически в каждом его известном произведении. Вот, например, он описывает реку Днепр:

Редкая птица долетит до середины Днепра.
Днепр как дорога без конца в длину и без меры в ширину.

Или использует преувеличения в своих , вкладывая их в уста героев:

В муку бы вас все стер! (Городничий)
Тридцать пять тысяч одних курьеров… Меня сам государственный совет боится. (Хлестаков)

А в «Мертвых душах» есть такие слова: «Бесчисленны человеческие страсти как морские пески».

Гиперболы использует практически любой писатель или поэт. С их помощью они, например, более красочно описывают характер героев произведений или показывают свое авторское отношение к ним.

Причем писатели зачастую не используют уже устоявшиеся выражения, а стараются придумать что-то свое.

Вот еще примеры гипербол в литературе :

  1. И ядрам пролетать мешала гора кровавых тел (Лермонтов)
  2. Закат пылал во сто сорок солнц (Маяковский)
  3. Миллион терзаний (Грибоедов)
  4. Порядочный человек за вас за тридевять земель готов убежать (Достоевский)
  5. И сосна до звезд достает (Мандельштам)
  6. Во сне дворник стал тяжелым как комод (Ильф и Петров)

Примеры гипербол в рекламе

Конечно, мимо такого интересного приема, который позволяет усилить реальное значение слов , не могли пройти и рекламщики. Масса слоганов основана на этом принципе. Ведь задача – привлечь внимание клиента, обещая при этом «золотые горы» и всячески подчеркивая уникальность товара:

  1. Вкус на грани возможного (жевательная резинка «Стиморол»)
  2. Контроль над стихией (кроссовки «Адидас»)
  3. Король салатов (майонез «Оливьез»)

В создании рекламных роликов также часто используется принцип гиперболы. Например, серия знаменитых видео про батончики «Сникерс» со слоганом «Ты не ты, когда голоден». Там, где различные персонажи превращаются в совершенно других людей и начинают творить всякие глупости, и только шоколадный батончик способен вернуть их в привычную русло.

В этих роликах явно гиперболизировано (сильно преувеличено) чувство голода и «чудодейственная» сила самого «Сникерса».

Ну и самый простой пример гипербол, который применяют в рекламе, это выражения типа «самый лучший», «самый стильный», «самый комфортный» и так далее, а про цены, наоборот, говорят «самые низкие».

Вместо заключения

Придать большую выразительность и эмоциональную окраску любому выражению можно не только с помощью гиперболы. Есть в русском языке прием, который является ее полной противоположностью. Он не преувеличивает, а, наоборот, уменьшает значение.

Не успеешь глазом моргнуть, а годы уже пролетели.

Называется такой прием « ». Об этом подробно – в нашей следующей статье.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога сайт

Вам может быть интересно

Что такое инсинуация: значение слова, характеристика, примеры Многозначные слова - это примеры разных граней русского языка Синекдоха - это пример метонимии в русском языке Фамильярность: значение слова, примеры Профанация - это невежество профанов, которые считают способным оскорблять то, что не доступно их пониманию Что такое риторический вопрос и для чего он предназначен Эвфемизм - это фиговый листок русского языка Аллюзии - это новое с намеком на старое Ассонанс - это единство гласных Диалектизмы - это слова с местным колоритом Литота - это преуменьшение и смягчение для создания образа

1. Гипербола лежит за полосой со сторонами x = ± a .

Действительно, согласно уравнению гиперболы, имеет место неравенство

2. Гипербола является симметричной относительно начала координат и относительно координатных осей. Это вытекает из того, что в уравнение гиперболы переменные x и y входят в квадратах х 2 и у 2 , и уравнению гиперболы удовлетворяют точки с координатами (х , у ),

(− х , у ), (х , − у ), (− х , − у ).

3. Гипербола имеет две асимптоты

к которым приближаются точки гиперболы при удалении их от начала координат.

4. Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) - центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках А и С, которые называются ее вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются, соответственно, действительной и мнимой полуосями.

5. Гипербола с равными полуосями а = b называется равносторонней и ее каноническое уравнение имеет вид

x 2 − y 2 = a 2 .

Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу.

Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой ε. Так как с > а : то ε > 1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы. Очевидно,

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b a , а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а, значит, и форму самой гиперболы.

В случае равносторонней гиперболы (a = b ) ε = √2.

ОПР 2. . Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а ⁄ ε от него, называются директрисами гиперболы.

Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить в основу общего определения этих линий: множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы является величиной постоянной, равной ε, является эллипсом, если ε < 1, и гиперболой, если ε > 1.

Определение 7.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой .

Замечание 7.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. #

Определение гиперболы аналогично определению эллипса . Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса - сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии.

Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их F 1 и F 2) называют фокусами гиперболы . Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокальным расстоянием , а отрезки F 1 M и F 2 M, соединяющие произвольную точку M на гиперболе с ее фокусами, - фокальными радиусами .

Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием |F 1 F 2 | = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости - положением фокусов F 1 и F 2 .

Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок F 1 F 2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.7). Первую из этих осей симметрии называют действительной осью гиперболы , а вторую - ее мнимой осью . Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют действительной полуосью гиперболы .

Середина отрезка F 1 F 2 , соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центром гиперболы .

Для гиперболы действительная ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника F 1 MF 2 (см. рис. 7.7) справедливо неравенство ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Равенство а = с выполнено только для тех точек M, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала F 1 F 2 . Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а

Уравнение гиперболы . Рассмотрим на плоскости некоторую гиперболу с фокусами в точках F 1 и F 2 и действительной осью 2а. Пусть 2с - фокальное расстояние, 2c = |F 1 F 2 | > 2а. Согласно замечанию 7.2, гипербола состоит из тех точек M(х; у), для которых | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы центр гиперболы находился в начале координат , а фокусы располагались на оси абсцисс (рис. 7.8). Такую систему координат для рассматриваемой гиперболы называют канонической , а соответствующие переменные - каноническими .


В канонической системе координат фокусы гиперболы имеют координаты F 1 (c; 0) и F 2 (-с; 0). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2а в координатах |√((х - с) 2 + у 2) - √((х + с) 2 + у 2)| = 2а, где (x; у) - координаты точки M. Чтобы упростить это уравнение, избавимся от знака модуля: √((х - с) 2 + у 2) - √((х + с) 2 + у 2) = ±2а, перенесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: (х - с) 2 + у 2 = (х + с) 2 + у 2 ± 4а √((х + с) 2 + у 2) + 4а 2 . После упрощения получим -εх - а = ±√((х + с) 2 + у 2), или

√((х + с) 2 + у 2) = |εх + а| (7.7)

где ε = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные члены: (ε 2 - 1)х 2 - у 2 = с 2 - а 2 , или, учитывая равенство ε = с/а и полагая b 2 = c 2 - a 2 ,

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7.8)

Величину b > 0 называют мнимой полуосью гиперболы .

Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами F 1 (с;0) и F 2 (-с; 0) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (7.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами F 1 и F 2 . У этого семейства гипербол оси симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительной оси симметрии вне интервала F1F2, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов F 1 и F 2 меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки M(х; у) удовлетворяют уравнению (7.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением ã действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению Следовательно, система двух уравнений с двумя неизвестными

имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при ã ≠ а это невозможно. Действительно, исключив, например, x из первого уравнения:

после преобразований получаем уравнение

которое при ã ≠ а не имеет решений, так как . Итак, (7.8) есть уравнение гиперболы с действительной полуосью а > 0 и мнимой полуосью b = √(с 2 - а 2) > 0. Его называют каноническим уравнением гиперболы .

Вид гиперболы. По своему виду гипербола (7.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. В первой четверти, т.е. при x ≥ 0, у ≥ 0, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у:

у = b/a √(x 2 - а 2). (7.9)

Исследование этой функции y(x) дает следующие результаты.

Область определения функции - {x: x ≥ а} ив этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке x = а она непрерывна справа. Единственным нулем функции является точка x = а.

Найдем производную функции y(x): y"(x) = bx/a√(x 2 - а 2). Отсюда заключаем, что при x > а функция монотонно возрастает. Кроме того, , а это означает, что в точке x = a пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная. Функция y(x) имеет вторую производную y" = -ab(x 2 - а 2) -3/2 при x > а, и эта производная отрицательна. Поэтому график функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет.

Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это вытекает из существования двух пределов:


Наклонная асимптота описывается уравнением y = (b/a)x.

Проведенное исследование функции (7.9) позволяет построить ее график (рис. 7.9), который совпадает с частью гиперболы (7.8), содержащейся в первой четверти.

Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный на рис. 7.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные

стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ±(b/a)x являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы.

Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, - не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют вершинами гиперболы (точки A(a; 0) и B(-a; 0) на рис. 7.10).

Построение гиперболы по ее действительной (2a) и мнимой (2b) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными, соответ-ственно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 7.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы - точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы. Отношение b/a сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через ε. Для гиперболы, описываемой уравнением (7.8), ε = c/a. Отметим, что если эксцентриситет эллипса может принимать значения из полуинтервала }

Лучшие статьи по теме