|
Словесная форма |
Графическая форма |
|
1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получаем точки A x , A y , A z | |
|
2. Горизонтальная проекция А 1 находится на пересечении линий связи из точек A x и A y , проведенных параллельно осям X и Y |
|
|
3. Фронтальная проекция А 2 находится на пересечении линий связи из точек A x и A z , проведенных параллельно осям X и Ζ |
|
|
4. Профильная проекция А 3 находится на пересечении линий связи из точек A z и A y , проведенных параллельно осям Ζ и Y |
|
3.2. Положение точки относительно плоскостей проекций
Положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций определяется её координатами. Координатой Х определяется удалённость точки от плоскости П 3 (проекция на П 2 или П 1), координатой У – удалённость от плоскости П 2 (проекция на П 3 или П 1), координатой Z – удаленность от плоскости П 1 (проекция на П 3 или П 2). В зависимости от значения этих координат точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Классификация точек
Т очка общего положения . Координаты точки общего положения не равны нулю (x ≠0, y ≠0, z ≠0 ), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов (табл. 2.1).
На рис. 3.2 даны чертежи точек общего положения. Анализ их изображений позволяет сделать вывод, что они располагаются в следующих октантах пространства: А(+X;+Y; +Z( Iоктанту;B(+X;+Y;-Z( IVоктанту;C(-X;+Y; +Z( Vоктанту;D(+X;+Y; +Z( IIоктанту.
Точки частного положения . Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле проекций, другие две – на осях проекций. На рис. 3.3 такими точками являются точки А, В,C,D,G.A П 3 ,то точка Х А =0; В П 3 ,то точка Х В =0; С П 2 ,то точкаY C =0;D П 1 ,то точкаZ D =0.
Точка может принадлежать сразу двум плоскостям проекций, если она лежит на линии пересечения этих плоскостей – оси проекций. У таких точек не равна нулю только координата на этой оси. На рис. 3.3 такой точкой является точкаG(G OZ,то точка Х G =0,Y G =0).
3.3. Взаимное положение точек в пространстве
Рассмотрим три варианта взаимного расположения точек в зависимости от соотношения координат, определяющих их положение в пространстве.
На рис. 3.4 точки AиBимеют различные координаты.
Их
взаимное расположение можно оценить
по удаленности к плоскостям проекций:
Y А >Y В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 2 и ближе к наблюдателю, чем точкаB;
Z А >Z В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 1 и ближе к наблюдателю, чем точкаB;
X А На рис. 3.5 представлены точки A, B, С, D, у
которых одна из координат совпадает,
а две другие отличаются. Их
взаимное расположение можно оценить
по удалённости к плоскостям проекций
следующим образом: Y А =Y В =Y D ,
то точки А, В и D
равноудалены от плоскости П 2 ,
и их горизонтальные и профильные
проекции расположены соответственно
на прямых [А 1 В 1 ]llОХ
и [А 3 В 3 ]llOZ.
Геометрическим местом таких точек
служит плоскость, параллельная П 2 ; Z А =Z В =Z С,
то точки А, В и С равноудалены от плоскости
П 1 ,
и их фронтальные и профильные проекции
расположены соответственно на прямых
[А 2 В 2 ]llОХ
и [А 3 С 3 ]llOY.
Геометрическим местом таких точек
служит плоскость, параллельная П 1 ; X А =X C =X D ,
то точки А,
C
и D
равноудалены от плоскости П 3
и их горизонтальные и фронтальные
проекции расположены соответственно
на прямых [А 1 C 1 ]llOY
и [А 2 D 2 ]llOZ
. Геометрическим местом таких точек
служит плоскость, параллельная П 3 . 3.
Если у точек равны две одноименные
координаты, то они называются
конкурирующими
.
Конкурирующие точки расположены на
одной проецирующей прямой. На рис. 3.3
даны три пары таких точек, у которых:
X А =X D ;
Y А =Y D ;
Z D
>
Z А;
X A =X C ;
Z A =Z C ;
Y C
>
Y A ;
Y A =Y B ;
Z A =Z B ;
X B
>
X A . Различают
горизонтально конкурирующие точки А и
D, расположенные на горизонтально
проецирующей прямой АD, фронтально
конкурирующие точки A и C, расположенные
на фронтально проецирующей прямой AC,
профильно конкурирующие точки A и B,
расположенные на профильно проецирующей
прямой AB. Выводы
по теме
1.
Точка
– линейный геометрический образ, одно
из основных понятий начертательной
геометрии. Положение точки в пространстве
можно определить её координатами. Каждая
из трёх проекций точки характеризуется
двумя координатами, их название
соответствует названиям осей, которые
образуют соответствующую плоскость
проекций: горизонтальная – A 1 (XA;
YA);
фронтальная – A 2 (XA; ZA);
профильная – A 3 (YA; ZA).
Трансляция координат между проекциями
осуществляется с помощью линий связи.
По двум проекциям можно построить
проекции точки либо с помощью координат,
либо графически. 3.
Точка по отношению к плоскостям проекций
может занимать в пространстве как общее,
так и частное положение. 4.
Точка общего положения – точка, не
принадлежащая ни одной
из плоскостей
проекций, т. е. лежащая в пространстве
между плоскостями проекций. Координаты
точки общего положения не равны нулю
(x≠0,y≠0,z≠0). 5.
Точка частного положения – это точка,
принадлежащая одной или двум плоскостям
проекций. Одна из координат у точки
частного положения равна нулю, поэтому
проекция точки лежит на соответствующем
поле плоскости проекций, другие две –
на осях проекций. 6.
Конкурирующие точки – точки, одноименные
координаты которых совпадают. Существуют
горизонтально конкурирующие точки,
фронтально конкурирующие точки, профильно
конкурирующие точки. Ключевые
слова
Координаты
точки Точка
общего положения Точка
частного положения Конкурирующие
точки Способы
деятельности, необходимые для решения
задач
– построение
точки по заданным координатам в системе
трех плоскостей проекций в пространстве; – построение
точки по заданным координатам в системе
трех плоскостей проекций на комплексном
чертеже. Вопросы
для самопроверки
1.
Как устанавливается связь расположения
координат на комплексном чертеже в
системе трех плоскостей проекций П 1 П 2 П 3
с координатами проекций точек? 2.
Какими координатами определяется
удалённость точек до горизонтальной,
фронтальной, профильной плоскостей
проекций? 3.
Какие координаты и проекции точки будут
изменяться, если точка перемещается в
направлении, перпендикулярном
профильной плоскости проекций П 3 ? 4.
Какие координаты и проекции точки будут
изменяться, если точка перемещается в
направлении, параллельном оси OZ? 5.
Какими координатами, определяется
горизонтальная (фронтальная, профильная)
проекция точки? 7.
В каком случае проекция точки совпадает
с самой точкой пространства и где
располагаются две другие проекции этой
точки? 8.
Может ли точка принадлежать одновременно
трём плоскостям проекций и в каком
случае? 9.
Как называют точки, одноимённые проекции
которых совпадают? 10.
Каким образом можно определить, какая
из двух точек ближе к наблюдателю, если
их фронтальные проекции совпадают? Задания
для самостоятельного решения
2.
Построить проекции точек А и В по их
координатам на наглядном изображении
и комплексном чертеже: А(13,5; 20), В(6,5; –20).
Построить проекцию точки С, расположенной
симметрично точке А относительно
фронтальной плоскости проекций П 2 . 3. Построить проекции точек А, В, С по их
координатам на наглядном изображении
и комплексном чертеже: А(–20; 0; 0), В(–30;
-20; 10), С(–10, –15, 0). Построить точку D,
расположенную симметрично точке С
относительно осиOХ. Пример решения типовой задачи
Задача
1.
Даны координатыX,Y,ZточекA,B,C,D,E,F(табл. 3.3) Точка в пространстве определяется любыми двумя своими проекциями. При необходимости построения третьей проекции по двум заданным необходимо воспользоваться соответствием отрезков линий проекционной связи, полученных при определении расстояний от точки до плоскости проекций (см. рис. 2.27 и рис. 2.28). Примеры решения задач в I октанте
Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)
Таблица 2.5
Алгоритм построения точки А В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти. Выводы
Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное. Эта теория основывается на следующих положениях: 1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей p 1 и p 2 , либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости p 3 . 2. Изображение пространственного образа на эти плоскости получается с помощью прямоугольного (ортогонального) проецирования. 3. Для преобразования пространственного изображения в плоскостное считают, что плоскость p 2 – неподвижна, а плоскость p 1 вращается вокруг оси x
так, что положительная полуплоскость p 1 совмещается с отрицательной полуплоскостью p 2 , отрицательная часть p 1 – с положительной частью p 2 . 4. Плоскость p 3 вращается вокруг оси z
(линии пересечения плоскостей) до совмещения с плоскостью p 2 (см. рис. 2.31). Изображения, получающиеся на плоскостях p 1 , p 2 и p 3 при прямоугольном проецировании образов, называются проекциями. Плоскости p 1 , p 2 и p 3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскостной комплексный чертеж или эпюр. Линии, соединяющие проекции образа ^ осям x
, y
, z
, называются линиями проекционной связи. Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей p 1 , p 2 , p 3 . В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему p 1 , p 2 , либо p 1 , p 2 , p 3 . Систему плоскостей p 1 , p 2 , p 3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр). Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как: Метрические задачи: Вопросы для самоанализа
1. Линией пересечения каких плоскостей является ось z
? 2. Линией пересечения каких плоскостей является ось y
? 3. Как располагается линия проекционной связи фронтальной и профильной проекции точки? Покажите. 4. Какими координатами определяется положение проекции точки: горизонтальной, фронтальной, профильной? 5. В какой четверти располагается точка F (10; –40; –20)? От какой плоскости проекций точка F удалена дальше всего? 6. Расстоянием от какой проекции до какой оси определяется удаление точки от плоскости p 1 ? Какой координатой точки является это расстояние? Проецирование
точки на три плоскости проекций
координатного угла начинают с получения
ее изображения на плоскости H
- горизонтальной плоскости проекций.
Для этого через точку А (рис. 4.12, а)
проводят проецирующий луч перпендикулярно
плоскости H. На
рисунке перпендикуляр к плоскости Н
параллелен оси Oz. Точку пересечения
луча с плоскостью Н (точку а) выбирают
произвольно. Отрезок Аа определяет,
на каком расстоянии находится точка А
от плоскости Н, указывая тем самым
однозначно положение точки А на рисунке
по отношению к плоскостям проекций.
Точка а является прямоугольной проекцией
точки А на плоскость Н и называется
горизонтальной проекцией точки А (рис.
4.12, а). Для
получения изображения точки А на
плоскости V (рис. 4.12,б) через точку А
проводят проецирующий луч перпендикулярно
фронтальной плоскости проекций V. На
рисунке перпендикуляр к плоскости V
параллелен оси Оу. На плоскости Н
расстояние от точки А до плоскости V
изобразится отрезком аа х,
параллельным оси Оу и перпендикулярным
оси Ох. Если представить себе, что
проецирующий луч и его изображение
проводят одновременно в направлении
плоскости V, то когда изображение луча
пересечет ось Ох в точке а х,
луч пересечет плоскость V в точке а".
Проведя из точки а х
в плоскости V перпендикуляр к оси Ох,
который является изображением
проецирующего луча Аа на плоскости V, в
пересечении с проецирующим лучом
получают точку а". Точка а" является
фронтальной проекцией точки А, т. е. ее
изображением на плоскости V. Изображение
точки А на профильной плоскости проекций
(рис. 4.12, в) строят с помощью проецирующего
луча, перпендикулярного плоскости W. На
рисунке перпендикуляр к плоскости W
параллелен оси Ох. Проецирующий луч от
точки А до плоскости W на плоскости Н
изобразится отрезком аа у,
параллельным оси Ох и перпендикулярным
оси Оу. Из точки Оу параллельно оси Oz и
перпендикулярно оси Оу строят изображение
проецирующего луча аА и в пересечении
с проецирующим лучом получают точку
а". Точка а" является профильной
проекцией точки А, т. е. изображением
точки А на плоскости W. Точку
а" можно построить, проведя от точки
а" отрезок а"а z
(изображение проецирующего луча Аа"
на плоскости V) параллельно оси Ох, а от
точки а z
- отрезок а"а z
параллельно оси Оу до пересечения с
проецирующим лучом. Получив
три проекции точки А на плоскостях
проекций, координатный угол развертывают
в одну плоскость, как показано на рис.
4.11,б, вместе с проекциями точки А и
проецирующих лучей, а точку А и проецирующие
лучи Аа, Аа" и Аа" убирают. Края
совмещенных плоскостей проекций не
проводят, а проводят только оси проекций
Oz, Оу и Ох, Оу 1
(рис. 4.13). Анализ
ортогонального чертежа точки показывает,
что три расстояния - Аа", Аа и Аа"
(рис. 4.12, в), характеризующие положение
точки А в пространстве, можно определить,
отбросив сам объект проецирования -
точку А, на развернутом в одну плоскость
координатном угле (рис. 4.13). Отрезки
а"а z ,
аа y
и Оа х
равны Аа" как противоположные стороны
соответствующих прямоугольников (рис.
4.12,в и 4.13). Они определяют расстояние,
на котором находится точка А от профильной
плоскости проекций. Отрезки а"а х,
а"а у1
и Оа у
равны отрезку Аа, определяют расстояние
от точки А до горизонтальной плоскости
проекций, отрезки аа х,
а"а z
и Оа y 1
равны отрезку Аа", определяющему
расстояние от точки А до фронтальной
плоскости проекций. Отрезки
Оа х,
Оа у
и Оа z ,
расположенные на осях проекций, являются
графическим выражением размеров
координат X, Y и Z точки А. Координаты
точки обозначают с индексом соответствующей
буквы. Измерив величину этих отрезков,
можно определить положение точки в
пространстве, т. е. задать координаты
точки. На
эпюре отрезки а"а х
и аа х
располагаются как одна линия,
перпендикулярная к оси Ох а отрезки
а"а z
и a"a z
- к оси Оz.
Эти лини называются линиями проекционной
связи. Они пересекают оси проекций в
точках а х
и а z
соответственно. Линия проекционной
связи, соединяющая горизонтальную
проекцию точки А с профильной, оказалась
«разрезанной» в точке а у. Две
проекции одной и той же точки всегда
располагаются на одной линии проекционной
связи, перпендикулярной к оси проекций. Для
представления положения точки в
пространстве достаточно двух ее проекций
и заданного начала координат (точка О)
На рис. 4.14, б две проекции точки полностью
определяют ее положение в пространстве
По этим двум проекциям можно построит
профильную проекцию точки А. Поэтому в
дальнейшем, если не будет необходимости
в профильной проекции, эпюры будут
построены на двух плоскостях проекций:
V и Н. Рис.
4.14. Рис. 4.15. Рассмотрим
несколько примеров построения и чтения
чертежа точки. Пример
1.
Определение координат точки J заданной
на эпюре двумя проекциях (рис. 4.14).
Измеряются три отрезка: отрезок Ов Х
(координата X), отрезок b Х b
(координата Y) и отрезок b Х b"
(координата Z). Координаты записывают в
следующем п рядке: X, Y и Z, после буквенного
обозначения точки, например, В20; 30; 15. Пример
2
.
Построение точки по заданным координатам.
Точка С задана координатами С30; 10; 40. На
оси Ох (рис. 4.15) находят точку с х,
в которой линия проекционной связи
пересекает ось проекций. Для этого по
оси Ох от начала координат (точка О)
откладывают координату X (размер 30) и
получают точку с х.
Через эту точку перпендикулярно оси Ох
проводят линию проекционной связи и от
точки вниз откладывают координату У
(размер 10), получают точку с - горизонтальную
проекцию точки С. Вверх от точки с х
по линии проекционной связи откладывают
координату Z (размер 40), получают точку
с" - фронтальную проекцию точки С. Пример
3
.
Построение профильной проекции точки
по заданным проекциям. Заданы проекции
точки D - d и d". Через точку О проводят
оси проекций Oz, Oy и Оу 1
(рис. 4.16, а). Для построения профильной
проекции точки D отточки d" проводят
линию проекционной связи, перпендикулярную
оси Oz, и продолжают ее вправо за ось Oz.
На этой линии будет располагаться
профильная проекция точки D. Она будет
находиться на таком расстоянии от оси
Oz, на каком горизонтальная проекция
точки d располагается: от оси Ох, т. е. на
расстоянии dd x .
Отрезки d z d"
и dd x
одинаковы, так как определяют одно и то
же расстояние - расстояние от точки D
до фронтальной плоскости проекций. Это
расстояние является координатой У точки
D. Графически
отрезок d z d"
строят перенесением отрезка dd x
с горизонтальной плоскости проекций
на профильную. Для этого проводят линию
проекционной связи параллельно оси Ох,
получают на оси Оу точку d y
(рис. 4.16,б). Затем переносят размер отрезка
Od y
на ось Оу 1 ,
проведя из точки О дугу радиусом, равным
отрезку Od y ,
до пересечения с осью Оу 1
(рис. 4.16,б), получают точку dy 1 .
Эту точку можно построить и как показано
на рис. 4.16, в, проведя прямую под углом
45° к оси Оу из точки d y .
Из точки d y1
проводят линию проекционной связи
параллельно оси Oz и на ней откладывают
отрезок, равный отрезку d"d x ,
получают точку d". Перенос
величины отрезка d x d
на профильную плоскость проекций можно
осуществить с помощью постоянной прямой
чертежа (рис. 4.16, г). В этом случае линию
проекционной связи dd y
проводят через горизонтальную проекцию
точки параллельно оси Оу 1
до пересечения с постоянной прямой, а
затем параллельно оси Оу до пересечения
с продолжением линии проекционной связи
d"d z . Частные
случаи расположения точек относительно
плоскостей проекций
Положение
точки относительно плоскости проекций
определяется соответствующей координатой,
т. е. величиной отрезка линии проекционной
связи от оси Ох до соответствующей
проекции. На рис. 4.17 координата У точки
А определяется отрезком аа х
- расстояние от точки А до плоскости
V. Координата Z точки А определяется
отрезком а"а х
- расстояние от точки А до плоскости
Н. Если одна из координат равна нулю, то
точка расположена на плоскости проекций.
На рис. 4.17 приведены примеры различного
расположения точек относительно
плоскостей проекций. Координата Z точки
В равна нулю, точка находится в плоскости
Н. Ее фронтальная проекция находится
на оси Ох и совпадает с точкой b х.
Координата У точки С равна нулю, точка
располагается на плоскости V, ее
горизонтальная проекция с находится
на оси Ох и совпадает с точкой с х. Следовательно,
если точка находится на плоскости
проекций, то одна из проекций этой точки
лежит на оси проекций. На
рис. 4.17 координаты Z и Y точки D равны
нулю, следовательно, точка D находится
на оси проекций Ох и две ее проекции
совпадают. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям.. Одну из плоскостей проекций H располагают горизонтально, а вторую V — вертикально. Плоскость H называют горизонтальной плоскостью проекций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX
.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые расположены в пределах той же первой четверти. При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки
на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки
на эту плоскость.
На рисунке показаны точка А
и ее ортогональные проекции а 1
и а 2 .
Точку а 1
называют горизонтальной проекцией
точки А,
точку а 2
— ее фронтальной проекцией
. Каждая из них является основанием перпендикуляра, опущенного из точки А
соответственно на плоскости H
и V
. Можно доказать, что проекции точки
всегда расположены на прямых, перпенди
кулярных оси
ОХ
и пересекающих эту ось
в одной и той же точке.
Действительно, проецирующие лучи А
а 1
и А
а 2
определяют плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения — оси ОХ.
Эта плоскость пересекает H
и V
по прямым а 1 а
x
и а 1 а
x
,
которые образуют с осью OX
и друг с другом прямые углы с вершиной в точке а
x
.
Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки
a
1
и a
2
,
расположенные на прямых, пересекающих
ось OX
в данной точке под прямым углом,
то они являются проекциями некоторой
точки А.
Эта точка определяется пересечением перпендикуляров, восставленных из точек a
1
и a
2
к плоскостям H
и V
. Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае доказанное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относительно оси остается справедливым. Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных выше проекций, плоскость H
совмещают вращением вокруг оси OX
с плоскостью V
, как показано стрелками на рисунке. В результате передняя полуплоскость H
будет совмещена с нижней полуплоскостью V
, а задняя полуплоскость H
— с верхней полуплоскостью V
. Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром
(от франц. еpure - чертеж). На рисунке показан эпюр точки А.
При таком способе совмещения плоскостей H
и V
проекции a
1
и a
2
окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси OX
. При этом расстояние a
1
a x
—
от горизонтальной проекции точки до оси OX
А
до плоскости V
, а расстояние a
2
a x
—
от фронтальной проекции точки до оси OX
равно расстоянию от самой точки А
до плоскости H
. Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, условимся называть линиями проекционной связи
. Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находится данная точка. Так, если точка В
расположена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проекции окажутся лежащими над осью OX.
Если точка С
находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция после совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX
.
Наконец, если точка D
расположена в четвертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX
.
На рисунке показаны точки М
и N
, лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси OX
.
Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с которой совпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса. Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или четвертой четверти на одинаковом расстоянии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если последняя расположена на оси OX
.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность точек, то можно утверждать, что и две ортогональные проекции предмета (при наличии буквенных обозначений) вполне определяют его форму. Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым. Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H
и V
, обозначается буквой W
и называется профильной.
Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обозначают их заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (a
з,
b
з,
c
з, ...
1з, 2з, 3 3 ...).
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси: О
X
, О
Y
и О
Z
,
которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Система знаков, указанная на рисунке, соответствует «правой системе» координат. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты
. Нумерация октантов дана на рисунке. Для получения эпюра плоскости H
и W
вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V
. В результате вращения передняя полуплоскость H
оказывается совмещенной с нижней полуплоскостью V
, а задняя полуплоскость H
— с верхней полуплоскостью V
. При повороте на 90° вокруг оси О
Z
передняя полуплоскость W
совместится с правой полуплоскостью V
, а задняя полуплоскость W
— с левой полуплоскостью V
. Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси О
X
и О
Z
,
лежащие в не подвижной плоскости V
, изображены только один раз, а ось О
Y
показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H
, ось О
Y
на эпюре совмещается с осью О
Z
,
а вращаясь вместе с плоскостью W
, эта же ось совмещается с осью О
X
.
В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— О
X
,
— О
Y
,
— О
Z
)
указываться не будут. ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА. Координатами называют числа, которые
ставят в соответствие точке для определе
ния ее положения в пространстве или на
поверхности.
В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х, у
и z
. Координату х
называют абсциссой
, у
— ординатой
и z
— аппликатой.
Абсцисса х
определяет расстояние от данной точки до плоскости W
, ордината у —
до плоскости V
и аппликата z
-
до плоскости H
. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А,
заданная координатами, будет обозначаться так: A
(х, у,
z
).
Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А
(5, 4, 6). Эта точка А,
все координаты которой положительны, находится в первом октанте Координаты точки А
являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора ОА
по отношению к началу координат. Если i
,
j
,
k
— единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей х, у,
z
(рисунок), то ОА =
О
A x i
+ОА
y
j
+
ОА
z
k
,
где ОА Х, ОА У, ОА г —
координаты вектора ОА
Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О
откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6
единицам длины. На этих отрезках (О
a x
, О
a y
,
О
a z
),
как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку А.
Легко заметить, что для определения точки А
достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например О
a x
,
a x a
1
и a
1
А
или О
a y
,
a y a
1
и a
1
A
и т. д. Эти ребра образуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей координатой точки. Однако построение параллелепипеда позволяет определить не только точку А,
но и все три ее ортогональные проекции. Лучами, проецирующими точку на плоскости H
,
V
,
W
являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.
Каждая из ортогональных проекций точки А,
будучи расположенной на плоскости, определяется только двумя координатами. Так, горизонтальная проекция a
1
определяется координатами х
и у,
фронтальная проекция a
2
— координатами х и
z
,
профильная проекция a
3
—
координатами у
и z
. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами. На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a
1
и a
2
окажутся на одном перпендикуляре к оси О
X
,
а проекции a
2
и a
3
—
на одном перпендикуляре к оси OZ
.
Что касается проекций a
1
и a
3
,
то и они связаны прямыми a
1
a y
и a
3
a y
,
перпендикулярными оси О
Y
.
Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок a
1
a y
не может быть продолжением отрезка a
3
a y
.
Построение проекций точки А (5, 4, 6)
на эпюре по заданным координатам выполняют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок О
a x
= х
(в нашем случае х =
5),
затем через точку a x
проводят перпендикуляр к оси О
X
,
на котором с учетом знаков откладываем отрезки a x a
1
= у
(получаем a
1
)
и a x a
2
= z
(получаем a
2
). Остается построить профильную проекцию точки a
3
.
Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ
,
то через a
3
проводят прямую a
2
a z
^ OZ
.
Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси О
Z
должна находиться a 3 ? Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого a z a
3
= Oa y
= a x a
1
= y
заключаем, что искомое расстояние a z a
3
равно у.
Отрезок a z a
3
откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у Проследим за тем, какие изменения произойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве. Пусть, например, точка А (5, 4, 6)
станет перемещаться по прямой, перпендикулярной плоскости V
. При таком движении будет меняться только одна координата у,
показывающая расстояние от точки до плоскости V
. Постоянными будут оставаться координаты х и
z
,
а проекция точки, определяемая этими координатами, т. е. a
2
не изменит своего положения. Что касается проекций a
1
и a
3
, то первая начнет приближаться к оси О
X
,
вторая — к оси О
Z
.
На рисунках новому положению точки соответствуют обозначения a
1
(a
1
1
a
2
1
a
3
1
). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V
(y = 0), две из трех проекций (a
1
2
и a
3
2
) будут лежать на осях. Переместившись из I
октанта во II
, точка начнет удаляться от плоскости V
, координата у
станет отрицательной, ее абсолютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H
, на эпюре окажется выше оси О
X
,
а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W
, на эпюре будет слева от оси О
Z
.
Как всегда, отрезок a z
a
3
3
= у.
На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения координатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чертеж. В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображе
ние предмета, а не его положение относи
тельно плоскостей проекций.
Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельного переноса (рисунок). Их обычно перемещают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказались над плоскостью H
и перед плоскостью V
. Так как положение оси X 12 оказывается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H
и V
совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были расположены на вертикальных прямых. Безосный эпюр точек А и В
(рисунок) не
определяет их положения в пространстве,
но позволяет судить об их относительной ориентировке.
Так, отрезок △x характеризует смещение точки А
по отношению к точке В
в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, △x указывает, насколько точка А
расположена левее точки В.
Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком △y, т. е. точка А в
нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В,
на расстояние, равное △y. Наконец, отрезок △z показывает превышение точки А
над точкой В.
Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя признать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выполнению чертежей, но и к решению различных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи пространственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет относительно декартовых осей координат. Указанные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксонометрия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций. Лекции предназначены для студентов инженерно–технических специальностей Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не
с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной
на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным.
Основные принципы построения таких чертежей изложены Г. Монжем. Рисунок 1.1 Точка в системе трех плоскостей проекций Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 1.1. Третья плоскость, перпендикулярная и П1, и П2, обозначается буквой П3 и называется профильной.
Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом 3.
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.
Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.
Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.
Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата). Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы:
1.Двумя точками (А и В).
Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис. 2.1). Через эти точки можно провести прямую линию получим отрезок . Для того чтобы найти проекции этого отрезка на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка: <; <; <. Рисунок 2.1 Определение положения прямой по двум точкам 2. Двумя плоскостями (a; b).
Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии). 3. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций.
Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве. В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.
1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.3.1). 2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают: 2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.3.2). Рисунок 3.2 Горизонтальная прямая 2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями(рис.3.3). Рисунок 3.3 Фронтальная прямая 2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис. 3.4). Рисунок 3.4 Профильная прямая 3. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают: 3.1. Фронтально-проецирующая прямая - АВ (рис. 3.5). Рисунок 3.5 Фронтально-проецирующая прямая 3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.3.6). Рисунок 3.6 Профильно-проецирующая прямая 3.3. Горизонтально-проецирующая прямая - АВ (рис.3.7). Рисунок 3.7 Горизонтально-проецирующая прямая Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости:
1. Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;
2. Плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек. Способы графического задания плоскостей
Положение плоскости в пространстве можно определить: 1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис.4.1). Рисунок 4.1 Плоскость заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой 2. Прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис.4.2). Рисунок 4.2 Плоскость заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии 3. Двумя пересекающимися прямыми (рис.4.3). Рисунок 4.3 Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми линиями 4. Двумя параллельными прямыми (рис.4.4). Рисунок 4.4 Плоскость заданная двумя параллельными прямыми линиями Различное положение плоскости относительно плоскостей проекций В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения. 1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный S
1; - фронтальный S
2; - профильный S
3).
Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках ax,ay,az. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.
Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях (рис.5.1). 2. Плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают: 2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (S
^П1) , называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек любых фигур в этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.5.2). Рисунок 5.2 Горизонтально-проецирующая плоскость 2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (S
^П2) - фронтально-проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости S
является прямая линия, совпадающая со следом S
2 (рис.5.3). Рисунок 5.3 Фронтально-проецирующая плоскость 2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости (S
^П3) - профильно-проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.5.4). Рисунок 5.4 Профильно-проецирующая плоскость 3. Плоскости параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельны исследуемая плоскость, различают: 3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций (S
//П1) - (S
^П2, S
^П3). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П1 без искажения, а на плоскости П2 и П3 в прямые - следы плоскости S
2 и S
3 (рис.5.5). Рисунок 5.5 Горизонтальная плоскость 3.2. Фронтальная плоскость - плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций (S
//П2), (S
^П1, S
^П3). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П2 без искажения, а на плоскости П1 и П3 в прямые - следы плоскости S
1 и S
3 (рис.5.6). Рисунок 5.6 Фронтальная плоскость 3.3. Профильная плоскость - плоскость параллельная профильной плоскости проекций (S
//П3), (S
^П1, S
^П2). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П3 без искажения, а на плоскости П1 и П2 в прямые - следы плоскости S
1 и S
2 (рис.5.7). Рисунок 5.7 Профильная плоскость Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостями проекций. В зависимости от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости. Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой(как для построения любой прямой). На рисунке 5.8 показано нахождение следов плоскости S
(АВС). Фронтальный след плоскости S
2, построен, как прямая соединяющая две точки 12 и 22, являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости S
. Горизонтальный следS
1 – прямая, проходящая через горизонтальный след прямой АВ и S
x. Профильный следS
3 – прямая соединяющая точки (S
y и S
z) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями. Рисунок 5.8 Построение следов плоскости Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Сущность метода заключается в следующем: через прямую проведем вспомогательную секущую плоскость Q и установим относительное положение двух прямых a и b, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости Q и данной плоскости T(рис.6.1). Рисунок 6.1 Метод вспомогательных секущих плоскостей Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых соответствует аналогичный случай взаимного расположения прямой и плоскости. Так, если обе прямые совпадают, то прямая а лежит в плоскости T, параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю когда прямая а пересекает плоскость T.
Таким образом возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости:
Прямая принадлежит плоскости;
Прямая параллельна плоскости;
Прямая пересекает плоскость, частный случай – прямая перпендикулярна плоскости.
Рассмотрим каждый случай. Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат той же плоскости (рис.6.2). Задача. Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m2.
Требуется найти недостающие проекции прямой m если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k.
Проекция прямой m2 пересекает прямые n и k в точках В2 и С2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек лежащих на прямых соответственно n и k.
Таким образом точки В и С принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости. Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости (рис.6.3). Задача.
Через точку В провести прямую m если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k.
Пусть В принадлежит прямой n лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В2 проведем проекцию прямой m2 параллельно прямой k2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В1, как точки лежащей на проекции прямой n1 и через неё провести проекцию прямой m1 параллельно проекции k1.
Таким образом точки В принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости. Рисунок 6.3 Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое место занимают прямые, занимающие частное положение в пространстве: 1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (h//П1)(рис.6.4). Рисунок 6.4 Горизонталь 2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (f//П2)(рис.6.5). Рисунок 6.5 Фронталь 3. Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (р//П3) (рис.6.6).
Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости. Рисунок 6.6 Профильная прямая 4. Линия наибольшего ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис.6.7).
Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее. Рисунок 6.7 Линия наибольшего ската Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет.
Если точка принадлежит плоскости то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну.
Рассмотрим пример (рис.6.8): Построение проекции точки А принадлежащей плоскости общего положения заданной двумя параллельными прямыми a(a//b). Задача. Дано: плоскость T(а,в) и проекция точки А2.
Требуется построить проекцию А1 если известно, что точка А лежит в плоскости в,а.
Через точку А2 проведем проекцию прямой m2, пересекающую проекции прямых a2 и b2 в точках С2 и В2. Построив проекции точек С1 и В1, определяющие положение m1, находим горизонтальную проекцию точки А. Рисунок 6.8. Точка, принадлежащая плоскости Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей. 1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.7.1).
Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В.
Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.
Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой.
Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой
d||a, с||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3. Рисунок 7.1. Параллельные плоскости 2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.
Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.7.2). Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая T.
Требуется построить линию пересечения плоскостей.
Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью T - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок определяет линию пересечения плоскостей. Так как T - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости T1, таким образом остается только построить недостающие проекции на П2 и П3. Рисунок 7.2. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.7.3). Рисунок 7.3. Пересечение плоскостей общего положения Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ). Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.7.4). Рисунок 7.4. Взаимно перпендикулярные плоскости Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рис. 8.1). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении. Рисунок 8.1 Определение натуральной величины отрезка методом плоскопараллельного перемещения Свойства плоскопараллельного перемещения: 1. При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П1, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х. 2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П2, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х. Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рис. 8.2), выберем ось вращения (i) перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В1. Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x). При этом точка А1 переместиться в А"1, а точка В не изменит своего положения. Положение точки А"2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А"1. Полученная проекция В2 А"2 определяет натуральную величину самого отрезка. Рисунок 8.2 Определение натуральной величины отрезка методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рис.8.3). Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в которые пересекаются в точке К. Для то чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций. Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h2 параллельно оси Ох, которая пересекает прямые в точках 12 и 22 . Определив проекции 11 и 11, построим горизонтальную проекцию горизонтали h1 . Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П1 в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали. Рисунок 8.3 Определение угла между пересекающимися прямыми, вращением вокруг оси параллельной горизонтальной плоскости проекций Таким образом, траектория движения точки К1 определена прямой К1О1, точка О -центр окружности - траектории движения точки К. Чтобы найти радиус этой окружности найдем методом треугольника натуральную величину отрезка КО.Продолжим прямую К1О1 так чтобы |О1К"1|=|КО| . Точка К"1 соответствует точке К, когда прямые а и в лежат в плоскости параллельной П1 и проведенной через горизонталь - ось вращения. С учетом этого через точку К"1 и точки 11 и 21 проведем прямые, которые лежат теперь в плоскости параллельной П1, а следовательно и угол фи - натуральная величина угла между прямыми а и в. Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П1 и П2 новыми плоскостями П4 (рис. 8.4). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рис. 8.5). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси. Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 8.4). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.
Выберем новую плоскость проекций П4, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П1. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П1П2 в систему П1П4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А4В4 будет натуральной величиной отрезка АВ. Рисунок 8.4. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций Задача 2: Определить расстояние от точки C до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис. 8.5). Рисунок 8.5. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций Дано А 1 ; А 2
Построить А 3
Дано А 2 ; А 3
Построить А 1
Дано А 1 ; А 3
Построить А 2
по заданным координатам А (x
= 5, y
= 20, z
= -9)
Краткий курс начертательной геометрии
Метод Монжа
Изложенный Монжем метод - метод ортогонального проецирования, причем берутся
две проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, - обеспечивая
выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на
плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей
Следы плоскости
Прямая линия, принадлежащая плоскости
Главные линии в плоскости
Взаимное расположение точки и плоскости
Метод плоскопараллельного перемещения
Метод вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций
Метод вращения вокруг оси параллельной плоскости проекций
Метод замены плоскостей проекций
