Пример приведения к каноническому виду. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду. Понятие квадратичной формы

Дана квадратичная форма (2) A (x , x ) = , где x = (x 1 , x 2 , …, x n ). Рассмотрим квадратичную форму в пространстве R 3 , то есть x = (x 1 , x 2 , x 3), A (x , x ) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(использовали условие симметричности формы, а именно а 12 = а 21 , а 13 = а 31 , а 23 = а 32). Выпишем матрицу квадратичной формы A в базисе {e }, A (e ) =
. При изменении базиса матрица квадратичной формы меняется по формуле A (f ) = C t A (e )C , где C – матрица перехода от базиса {e } к базису {f }, а C t – транспонированная матрица C .

Определение 11.12. Вид квадратичной формы с диагональной матрицей называется каноническим .

Итак, пусть A (f ) =
, тогда A "(x , x ) =
+
+
, где x " 1 , x " 2 , x " 3 – координаты вектора x в новом базисе {f }.

Определение 11.13. Пусть в n V выбран такой базис f = {f 1 , f 2 , …, f n }, в котором квадратичная форма имеет вид

A (x , x ) =
+
+ … +
, (3)

где y 1 , y 2 , …, y n – координаты вектора x в базисе {f }. Выражение (3) называется каноническим видом квадратичной формы. Коэффициенты  1 , λ 2 , …, λ n называются каноническими ; базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом .

Замечание . Если квадратичная форма A (x , x ) приведена к каноническому виду, то, вообще говоря, не все коэффициенты  i отличны от нуля. Ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы в любом базисе.

Пусть ранг квадратичной формы A (x , x ) равен r , где r ≤ n . Матрица квадратичной формы в каноническом виде имеет диагональный вид. A (f ) =
, поскольку ее ранг равен r , то среди коэффициентов  i должно быть r , не равных нулю. Отсюда следует, что число отличных от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы.

Замечание . Линейным преобразованием координат называется переход от переменных x 1 , x 2 , …, x n к переменным y 1 , y 2 , …, y n , при котором старые переменные выражаются через новые переменные с некоторыми числовыми коэффициентами.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, то вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат.

Теорема 11.2 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство . (Метод Лагранжа) Идея этого метода состоит в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждой переменной до полного квадрата. Будем считать, что A (x , x ) ≠ 0 и в базисе e = {e 1 , e 2 , …, e n } имеет вид (2):

A (x , x ) =
.

Если A (x , x ) = 0, то (a ij ) = 0, то есть форма уже каноническая. Формулу A (x , x ) можно преобразовать так, чтобы коэффициент a 11 ≠ 0. Если a 11 = 0, то коэффициент при квадрате другой переменной отличен от нуля, тогда при помощи перенумерации переменных можно добиться, чтобы a 11 ≠ 0. Перенумерация переменных является невырожденным линейным преобразованием. Если же все коэффициенты при квадратах переменных равны нулю, то нужные преобразования получаются следующим образом. Пусть, например, a 12 ≠ 0 (A (x , x ) ≠ 0, поэтому хотя бы один коэффициент a ij ≠ 0). Рассмотрим преобразование

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i , при i = 3, 4, …, n .

Это преобразование невырожденное, так как определитель его матрицы отличен от нуля
= = 2 ≠ 0.

Тогда 2a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, то есть в форме A (x , x ) появятся квадраты сразу двух переменных.

A (x , x ) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Преобразуем выделенную сумму к виду:

A (x , x ) = a 11
, (5)

при этом коэффициенты a ij меняются на . Рассмотрим невырожденное преобразование

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Тогда получим

A (x , x ) =
. (6).

Если квадратичная форма
= 0, то вопрос о приведении A (x , x ) к каноническому виду решен.

Если эта форма не равна нулю, то повторяем рассуждения, рассматривая преобразования координат y 2 , …, y n и не меняя при этом координату y 1 . Очевидно, что эти преобразования будут невырожденными. За конечное число шагов квадратичная форма A (x , x ) будет приведена к каноническому виду (3).

Замечание 1. Нужное преобразование исходных координат x 1 , x 2 , …, x n можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырожденных преобразований: [x ] = A [y ], [y ] = B [z ], [z ] = C [t ], тогда [x ] = A B [z ] = A B C [t ], то есть [x ] = M [t ], где M = A B C .

Замечание 2. Пусть A (x , x ) = A (x , x ) =
+
+ …+
, где  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r , причем  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Рассмотрим невырожденное преобразование

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n . В результате A (x , x ) примет вид: A (x , x ) = + + … + – – … – , который называется нормальным видом квадратичной формы .

Пример 11.1. Привести к каноническому виду квадратичную форму A (x , x ) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Решение . Поскольку a 11 = 0, используем преобразование

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Это преобразование имеет матрицу A =
, то есть [x ] = A [y ] получим A (x , x ) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Поскольку коэффициент при не равен нулю, можно выделить квадрат одного неизвестного, пусть это будет y 1 . Выделим все члены, содержащие y 1 .

A (x , x ) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Выполним преобразование, матрица которого равна B .

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y ] = B [z ].

Получим A (x , x ) = 2– 2–– 8z 2 z 3 . Выделим члены, содержащие z 2 . Имеем A (x , x ) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Выполняем преобразование с матрицей C :

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z ] = C [t ].

Получили: A (x , x ) = 2– 2+ 6 канонический вид квадратичной формы, при этом [x ] = A [y ], [y ] = B [z ], [z ] = C [t ], отсюда [x ] = ABC [t ];

A B C =


=
. Формулы преобразований следующие

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Определение 10.4. Каноническим видом квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: . (10.4)

Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть

- нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ 1 ,λ 2 ,λ 3 матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица

. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:

,

получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ 1 , λ 2 , λ 3 :

Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.

Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.

Приведем к каноническому виду квадратичную форму

x ² + 5y ² + z ² + 2xy + 6xz + 2yz .

Ее матрица имеет вид В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:

Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:

(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:

.

Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.

Лекция 11.

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс , при пересечении образующих обеих полостей – гипербола , а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола .

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Эллипс.

Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F фокусами , есть величина постоянная.

Замечание. При совпадении точек F 1 и F 2 эллипс превращается в окружность.

Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

у М(х,у) координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F 1 F 2 , начало

r 1 r 2 координат – с серединой отрезка F 1 F 2 . Пусть длина этого

отрезка равна 2с , тогда в выбранной системе координат

F 1 O F 2 x F 1 (-c , 0), F 2 (c , 0). Пусть точка М(х, у ) лежит на эллипсе, и

сумма расстояний от нее до F 1 и F 2 равна 2а .

Тогда r 1 + r 2 = 2a , но ,

поэтому Введя обозначение b ² = a ²-c ² и проведя несложные алгебраические преобразования, получимканоническое уравнение эллипса : (11.1)

Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (11.2)

Определение 11.4. Директрисой D i эллипса, отвечающей фокусу F i F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a >2b ), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e < 1.

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е , а е <1, следовательно, а/е>a , а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r i от точки эллипса до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

Составим уравнения директрис:

(D 1), (D 2). Тогда Отсюда r i / d i = e , что и требовалось доказать.

Гипербола.

Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 иF 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r 1 - r 2 | = 2a , откуда Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить

- каноническое уравнение гиперболы . (11.3)

Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Определение 11.7. Директрисой D i гиперболы, отвечающей фокусу F i , называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r i от точки гиперболы до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

Парабола.

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой .

У Для вывода уравнения параболы выберем декартову

систему координат так, чтобы ее началом была середина

D M(x,y) перпендикуляра FD , опущенного из фокуса на директри-

r су, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

D O F x равна р . Тогда из равенства r = d следует, что

поскольку

Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y ² = 2px , (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы . Величина р называется параметром параболы.

Свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e <1), гиперболу (при e >1) или параболу (при е =1).

Похожая информация.

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

1. Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A .

2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем

3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой .

Векторa называется направляющим вектором прямой .

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + рt. (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y , приходим к уравнениям прямой впроекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n 1 , n 2 ], где n 1 (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x 1 , y = y 1 ; прямая параллельна оси Oz.

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называетсяуравнением плоскости .

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей.

Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости.

В пространстве две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо быть скрещенными.

Параллельность отрезков прямых сохраняется в проекциях.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноимённых проекций находятся на одной линии связи.

Скрещивающиеся прямые не принадлежат одной плоскости, т.е. не пересекаются и не параллельны.

на чертеже одноименные проекции прямых, взятые отдельно, имеют признаки пересекающихся или параллельных прямых.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a , b и c (если a > b ) существует соотношение

a 2 - b 2 = c 2 .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a ), а его фокусы лежат на большой оси.

Уравнение гиперболы, изображенной на рисунке .

Параметры:
a, b – полуоси;
- расстояние между фокусами,
- эксцентриситет;
- асимптоты;
- директрисы.
Прямоугольник, изображенный в центре рисунка – основной прямоугольник, его диагонали есть асимптоты.

определяет на плоскости кривую. Группа членов называется квадратичной формой, – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица называется матрицей квадратичной формы. Здесь a 1 2 =a 2 1 . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда , где λ 1 и λ 2 – собственные числа матрицы B.
В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.
Канонический вид кривой второго порядка: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a , причем:
а) если λ 1 >0; λ 2 >0 – эллипс, в частности, при λ 1 =λ 2 это окружность;
б) если λ 1 >0, λ 2 <0 (λ 1 <0, λ 2 >0) имеем гиперболу;
в) если λ 1 =0 либо λ 2 =0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (здесь λ 2 =0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение . Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x 1 2 -2y 1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x 1 =1: x 1 =(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1 .
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
1 ,j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

; . (*)

Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем: .
Выделяем полные квадраты : .
Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: , .
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x 2 и y 2 , то получим: , . В системе координат (0*, i 1 , j 1) данное уравнение имеет вид: .
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x 2 =0 задается в старой системе координат уравнением x-y-3=0, а ось y 2 =0 уравнением x+y-1=0. Начало новой системы координат 0 * (2,-1) является точкой пересечения этих прямых.
Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:
1. Переход к системе координат с осями x 2 =0, y 2 =0, заданными в старой системе координат уравнениями x-y-3=0 и x+y-1=0 соответственно.

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Окончательный вариант графика выглядит следующим образом (см. Решение :Скачать решение

Задание . Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение .