Что такое инерция?
Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма. «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки. И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.
Определение момента инерции
Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы. Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.
В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.
Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:
J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.
Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:
Теорема Гюйгенса – Штейнера
Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.
Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:
Где d – расстояние между осями
Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.
Моменты инерции простейших объектов
Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.
Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.
Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.
Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.
- Тарг С. М. Момент инерции // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. - Т. 3. - С. 206-207. - 672 с. - 48 000 экз. - ISBN 5-85270-019-3.
- Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. The Galilean Satellites (англ.) // Science. - 1999. - Vol. 286, no. 5437. - P. 77-84. - DOI:10.1126/science.286.5437.77. - PMID 10506564.
- Margot, Jean-Luc; et al. Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data (англ.) // Journal of Geophysical Research (англ.)русск. : journal. - 2012. - Vol. 117. - DOI:10.1029/2012JE004161.
- Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. - М.: Наука, 1988. - С. 42-73. - 195 с. - (Планета Земля и Вселенная). - 15 000 экз. - ISBN 502005951X.
- Матвеев. А. Н. Механика и . М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. - 432с.)
- Трофимова Т. И. Курс физики. - 7-е изд. - М.: Высшая школа, 2001. - 542 с.
- Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
- Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 392с.
- Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие - М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
Момент инерции, видео
И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент инерции относительно оси, вокруг которой происходит вращение - это мера инертности тела, совершающего вращательные движения.
Момент инерции является скалярной (в общем случае тензорной) физической величиной, которую находят как сумму произведений масс материальных точек () (на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела) на квадраты расстояний () от них до оси вращения:
Если тело считают непрерывным, то суммирование в выражении (1) заменяется интегрированием, массы элементов тела обозначают как :
где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела. Если тело является однородным:
Момент инерции материальной точки
Роль массы при движении по окружности материальной точки выполняет момент инерции (J), который равен:
где r- расстояние от материальной точки до оси вращения. Для материальной точки, которая движется по окружности, момент инерции является постоянной величиной.
Момент инерции является аддитивной величиной. Это означает то, что если в системе не одна, а несколько материальных точек, то момент инерции системы (J) равен сумме моментов инерции () отдельных точек:
Примеры моментов инерции некоторых тел
Момент инерции тонкого стержня вращающегося около оси, проходящей через его один конец и перпендикулярно стержню, равен:
Момент инерции прямого круглого конуса, массы высоты h и радиуса r вращающегося около своей оси:
Момент инерции однородного твердого параллелепипеда, c геометрическими параметрами и массой m вращающегося относительно своей самой длинной диагонали, вычисляют по формуле:
Момент инерции тонкой прямоугольной пластины массы m, ширины w и длины d, вращающейся относительно оси, которая проходит через точку пересечения диагоналей этого прямоугольника перпендикулярно плоскости пластины:
где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Примеры формул для вычисления моментов инерции других тел можно посмотреть в разделе . В этом же разделе можно ознакомиться с теоремой Штейнера.
Примеры решения задач по теме «Момент инерции»
ПРИМЕР 1
| Задание | Два малых шарика массой m каждый соединены тонким невесомым стержнем, длина которого равна Каким будет момент инерции системы относительно оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс сиcтемы?
|
| Решение | Для решения задачи используем формулу для момента инерции одной материальной точки:
где расстояние от точки до оси вращения равно . Следовательно, формула (1.1) преобразуется к виду:
Так как массы первой и второй материальных точек равны, равны расстояния от каждой из них до оси вращения, то: Момент инерции является аддитивной величиной, значит, момент инерции двух точек найдем как сумму и :
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Каков момент инерции системы, которая изображена на рис.2 и состоит из двух тонких стержней с массами m. Угол между стержнями прямой. Длины стержней равны l. Ось вращения параллельна одному из стержней (рис.2).
|
| Решение | Момент инерции системы можно найти как сумму моментов инерции каждого стержня относительно оси вращения:
Момент инерции () для горизонтального стержня равен: |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мерой инертности вращающегося тела является момент инерции (J) относительно оси, вокруг которой происходит вращение.
Это скалярная (в общем случае тензорная) физическая величина, которая равна произведению масс материальных точек () на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела, на квадраты расстояний () от них до оси вращения:
где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела.
Для однородного тела выражение (2) можно представить как:
Момент инерции в международной системе единиц измеряется в:
Величина J входит в основные законы, при помощи которых описывают вращение твердого тела.
В общем случае величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор обычно изменяет свое направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени. Исключением является момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В таком случае момент инерции остается постоянным.
Теорема Штейнера
Теорема Штейнера дает возможность вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, когда является известным момент инерции рассматриваемого тела по отношению к оси, проходящей через центр масс этого тела и эти оси являются параллельными. В математическом виде теорема Штейнера представляется как:
где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m - масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны. Из выражения (4) следует, что:
Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела
При вращении вокруг оси материальная точка имеет момент инерции равный:
где m - масса точки; r - расстояние от точки до оси вращения.
Для однородного тонкого стержня массой m и длиной l J относительно оси, проходящей через его центр масс (ось перпендикулярна стержню), равен:
Тонкое кольцо, с массой вращающееся около оси, которая проходит через его центр, перпендикулярно плоскости кольца, то момент инерции вычисляется как:
где R - радиус кольца.
Круглый однородный диск, радиуса R и массы m имеет J относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равный:
Для однородного шара
где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Если осями вращения являются оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:
где - координаты бесконечно малого элемента тела.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Два шарика, которые можно считать точечными, скреплены тонким невесомым стержнем. Длина стержня l. Каков момент инерции данной системы, по отношению к оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс. Массы точек одинаковы и равны m. |
| Решение | Найдем момент инерции одного шарика () относительно оси, находящейся от него на расстоянии :
Момент инерции второго шарика будет равен : Суммарный момент инерции системы равен сумме:
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Каков момент инерции физического маятника относительно оси, которая проходит через точку O (рис.1)? Ось перепендикулярна плоскости рисунка. Считайте, что физический маятник состоит из тонкого стержня длины l, имеющего массу m и диска массы . Диск прикреплен к нижнему концу стержня и имеет радиус равный |
| Решение | Момент инерции нашего маятника (J) будет равен сумме момента инерции стержня (), вращающегося относительно оси, проходящей через точку О и диска (), вращающегося вокруг той же оси: |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА.
Цель работы – определить момент инерции системы четырех одинаковых грузов массы m двумя способами: 1) экспериментально с помощью маятника Обербека, 2) теоретически, считая грузы материальными точками. Сравнить полученные результаты.
Приборы и принадлежности : маятник Обербека, секундомер, масштабная линейка, набор грузов, штангенциркуль.
Теоретическое введение
Момент инерции – физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси (см. рис. 1)
Моментом инерции произвольного тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек из которых состоит тело, относительно этой оси (см. рис. 2)
Для однородных тел правильной геометрической формы можно заменить суммирование интегрированием.
,
где dm = ρdV (ρ – плотность вещества, dV – элемент объема)
Таким образом получены формулы некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр тяжести:
а)
стержня длиной
относительно оси, перпендикулярной
стержню
,
б) обруча (а также тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)
,
где
– радиус обруча (цилиндра)
в) диска (сплошного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)
,
где
– радиус диска (цилиндра)
г) шара радиуса R относительно оси произвольного направления, проходящей через его центр тяжести
.
Момент инерции тела зависит: 1) от формы и размеров тела, 2) от массы и распределения масс, 3) от положения оси относительно тела.
Теорема Штейнера о параллельных осях записывается как:
,
где
–
момент инерции тела массой m
относительно произвольной оси,
– момент инерции этого тела относительно
оси, проходящей через центр тяжести
тела параллельно произвольной оси,
– расстояние между осями.
Описание установки.
Маятник
Обербека представляет собой крестовину,
состоящую из шкива и четырех равноплечих
стержней, закрепленных на горизонтальной
оси (см. рис.2). На стержнях на равных
расстояниях от оси вращения
насажены четыре одинаковых груза массы
m
каждый. При помощи груза m
1 ,
прикрепленного к концу шнура, намотанного
на один из шкивов, вся система может
быть приведена во вращательное движение.
Для отсчета высоты падения h
груза m
1
имеется вертикальная шкала.
Запишем
второй закон Ньютона для падающего
груза в векторной форме
(1)
где
- сила тяжести;
- сила натяжения шнура (см. рис. 1);
-
линейное ускорение, с которым падает
груз m
1
вниз.
Принимая направление движения груза за положительное, перепишем уравнение (I) в скалярной форме
(2)
откуда получим выражение для силы натяжения шнура
Линейное ускорение a находится из формулы пути равноускоренного движения без начальной скорости
(4)
где h – высота падения груза m 1 ; t – время падения.
Сила натяжения нити F нат вызывает ускоренное вращение крестовины. Основной закон вращательного движения крестовины с учетом сил трения запишется так:
M – M тр = I i , (5)
где М – момент силы натяжения; M тр - момент сил трения; I - момент инерции крестовины; i - угловое ускорение, с которым вращается крестовина. Величина момента сил трения M тр по сравнению с величиной вращающего момента М невелика, и, следовательно, ею можно пренебречь.
Из уравнения (5) с учетом сделанного замечания получаем оконча-тельную формулу для расчета момента инерции крестовины
(6)
где r - радиус шкива. Угловое ускорение i определяется по формуле
(7)
Подставляя (3) и (7) в (6), получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины
(8)
Порядок выполнения работы .
Экспериментальное определение момента инерции системы 4 х грузов.
1. Снять со стержней грузы m .
2. Намотать в один слой шнур на шкив, установив груз m 1 на заранее выбран-ной высоте h . Отпустив крестовину, замерить время падения t о груза с помо-щью секундомера. Опыт повторить пять раз (при одной и той же высоте паде-ния h ).
3. Закрепить на концах стержней грузы m .
4. Выполнить операции, указанные в пункте 2, измеряя секундомером время падения t . Опыт повторить пять раз.
5. С помощью штангенциркуля измерить диаметр шкива d в пяти разных положениях.
6. Результаты измерений занести в таблицу. Найти приближенные значения и по методу Стьюдента оценить абсолютные погрешности измерения величин t о, t и d .
а) крестовина без грузов (a о ),
б) крестовина с грузами (а ).
8. По формуле (8) вычислить момент инерции крестовины без грузов (I o ) и с грузами (I), используя приближенные значения m 1, R , g и полученные значения а и а о.
Вычислить погрешности измерений по формулам:
(9)
(10)
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений
Часть II .
1. Теоретически найти момент инерции системы 4 х грузов массы m, находящихся на расстоянии R от оси вращения (считая грузы материальными точками)
(11)
2. Сравнить результаты эксперимента и расчетов. Вычисть относительную погрешность
(12)
и сделать вывод о том, как велико расхождение полученных результатов.
Контрольные вопросы.
1. Что называется моментом инерции материальной точки и произвольного тела?
2. От чего зависит момент инерции тела относительно оси вращения?
3. Приведите примеры формул момента инерции тел. Как они получены?
4. Теорема Штейнера о параллельных осях и ее практическое использование.
5. Вывод формулы для расчета момента инерции крестовины с грузами и без грузов.
Литература
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.
2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
3. Зисман Г. А., Тодес О. М.. Курс общей физики для втузов: в 3 т. Т. 1: Механика, молекулярная физика, колебания и волны - 4-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 340 с.
4. Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу “Механика“.- Иваново, ИХТИ, 1989 г. (под редакцией Биргера Б.Н.).
English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.
中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.
日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。
Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.
Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.
You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.
