Плоское напряженное состояние, плоская деформация. Напряженное и деформированное состояние Плоское напряженное состояние сопромат

Выделим из тела в окрестности точки бесконечно малую треугольную призму, по основанию которой нормальные и касательные напряжения равны нулю.

Правило знаков любого σ > 0, если нормальные напряжения направлены от площадки; t > 0, если стремится вращать плоскость чертежа по ходу часовой стрелки; a > 0, если грань bc для совмещения с гранью ас нужно повернуть на острый угол против часовой стрелки.

Найдем равнодействующую силы приложенной к каждой грани призмы. Для этого нужно соответствующие напряжения умножить на площадь грани.

Эти равнодействующие силы должны удовлетворять всем условиям равнодействия. Проведём оси U и V, и реализуем шесть условий равновесия.

åU =0 Ta + Fy ·cos a - Tx · sin a - Fx · sin a - Ty ·cos a

Ta + cos a (Fy - Ty) – sin a (Tx + Fx) (1)

åV = 0 Fa - Fx · cos a+ Ty · sin a - Fx ·cos a - Fy ·sin a

Fa -Fx + Tx ·cos a + (Ty – Fy ·sin a) = 0 (2)

Сумма моментов относительно точки на оси å m 0 = 0

å m 0 = 0 Tx · dy/2 + Ty · dx/2 = 0 (3)

Подставим значения Tx и Ty и разделим обе части на dx/2 · dy dz

t x · dx/2 · dy dz + t y · dx/2 · dy dz = 0

Касательные напряжения по двум взаимно-перпендикулярным площадям равны по модулю обратны по знаку. Зависимость (4) называется законом парности касательных напряжений. Из (4) следует что касательные напряжения направлены или к вершине прямого угла или от него.

Если подставить в зависимость (1) и (2) и заменить t y на - t ч, а также учесть, что dx/ds = sin a , а dy/ds =cos a , то после преобразований получим значения нормальных и касательных напряжений по площадке повернутой относительно площадки с σ х и σ y на угол a.

σ a = σ x · cos 2 a + σ y · sin 2 a + tx · sin2a (5)

t y = ((σ x · σ y)/2) sin2a - tx · cos2a (6)

Если формулу (5) подставить в значение a и a ¹ 90°, то получим

σ a + σ (a+90°) = σ x + σ y = const. (7)

Вывод: сумму нормальных напряжений по двум взаимно- перпендикулярным площадкам является величиной постоянной, значит если на первой площадке имеем max нормальных напряжений, то по перпендикулярной ей площадке будут σ min.

Главные напряжения. Главные площади.

При инженерных расчетах нет необходимости в определении напряжений по всем площадкам проходящим через данную точку. Достаточно знать их экстремальные значения σ max и σ min , которые называются главными напряжениями, а площадки по которым они действуют называются главными площадками.

Чтобы получить экстремальное значение σ нужно первую производную от выражения (5) по углу a приравнять нулю.

Вывод: по главным площадкам касательные напряжения равны нулю.

tg2a 0 = (8)

tg2a 0 = (9)

Для определения положения главных площадок площадки по которым действуют σ x и σ y нужно повернуть на угол a 0 против хода часовой стрелки, если a 0 > 0 .

Из формулы (8) 2a 0 изменяется от –90° до 90°, а значит - 45°£a 0 £45° , это значит, что поворот может быть на угол не более 45 °.

При определении главных напряжений значение a 0 из (8) можно подставить в (5) или пользоватся формулой полученной из зависимости (6) и (9).

(10)

Экстремальные касательные напряжения.

Площадки по которым действуют экстремальные касательные напряжения называют площадками сдвига.

Чтобы определить экстремальные касательные напряжения нужно, взяв первую производную от (6) по углу a приравнивая её к нулю.

;
;

Разделим обе части уравнения на cos2a 1 получим:

(σ x - σ y) + 2 t x tg2a 1 = 0

tg2a 1 = (11)

Угол наклона плоскости с экстремальным касательным напряжением к площадке с dх нужно повернуть против хода часовой стрелки на угол a 1.

Из формулы (11) можно получить a 1 и a 1 +90, которые определяются двумя взаимно-перпендикулярными площадками. На одной из них будет действовать t max, а по другой t min . Но в соответствии с законами парности касательных напряжений t max = - t min . Из сравнения (8) и (11) получим a 1 ¹ a 0 +45°

Вывод: между главными площадками и площадками сдвига угол 45°

Подставив в формулу (6) σ х = σ max ; σ y = σ min ; t x = 0; a 1 =+ 45° получим

= + (12)

подставим в (12) значение из (10) и после преобразований получим зависимость экстремальных касательных напряжений от напряжений по случайным площадям

= + 1/2 (13)

Круги Мора.

Пусть дано некоторое плоское напряженное состояние.

Построим для этого напряженного состояния круг Мора в системе прямоугольных координат.

Порядок действий:

1. по оси d отложим в максимальную величину dх

2. по оси t отложим значение ty

3. на пересечении получим точку А

4. аналогично отложим) dу и tх; точка А характеризует направление по вертикальным граням, точка В – по горизонтальным.

5. Соединим точки А и В и на пересечении с осью d получим точку О

6. Из точки О, как из центра круга проведем окружность

7. Определим радиус окружности из прямоугольного треугольника ОКВ

R =

На пересечении горизонтальных и вертикальных площадок с окружностью получим точку С, которую назовём полюсом.

Теперь можно определить направление на любой площадке, для этого нужно параллельно заданной площадке провести через полюс прямую до пересечения с окружностью.

Точка М будет иметь координаты da и ta. Можно решить и обратную задачу, т. е. по значениям da и ta определить угол a.

Рассмотрим тонкую пластинку под действием сил, лежащих в плоскости пластинки (рис. 2.12). В этой плоскости расположим систему координат (х, у). Торцевые (фасадные) поверхности пластинки свободны от напряжений, и потому

Векторы напряжений и лежат в одной плоскости, и напряженное состояние называется плоским. Отметим, что все точки пластинки находятся в плоском напряженном состоянии. В общем случае понятие «плоское напряженное состояние» относится к рассматриваемой точке элемента конструкции.

Если в данной точке А существует площадка, в которой отсутствуют (нормальное и касательное) напряжения, то напряженное состояние в точке является плоским. Например, в точках свободной поверхности детали (рис. 2.13) напряженное состояние будет плоским (ось z в точке А направлена по нормали к поверхности).

Особая важность плоского напряженного состояния связана с тем, что оно реализуется в точках поверхности элементов конструкции, которые часто являются «опасными точками». (точками с наибольшими напряжениями в поверхностном слое).

Напряжения в косых площадках при плоском напряженном состоянии. Изучим напряжения в косых площадках, перпендикулярных плоскости пластинки (рис. 2.14).

Рис. 2.12. Плоское напряженное состояние

Рис. 2.13. Плоское напряженное состояние в точках свободной поверхности детали

Условный термин «косая» или «наклонная» площадка означает, что нормаль к площадке не совпадает ни с одной из осей выбранной системы координат.

В площадке ВС, нормаль к которой v составляет угол а с осью х, действуют нормальное и касательное напряжения. Напряжения распределены равномерно по толщине пластинки h, торцевые грани элемента ABC не загружены. Ближайшая задача состоит в определении величин из условий равновесия элемента АБС. Проектируя все усилия на направление нормали v, найдем

Массовые силы, действующие на элемент,

составляют усилия второго порядка малости, и в уравнении (15) они отсутствуют. Учитывая, что из рис. 2.14 следует

получим из соотношения (15)

Проектируя все усилия на направление вектора найдем

Формулы (17) и (19) дают значение нормальных и касательных напряжений в косой площадке.

Замечания. 1. Следует строго уяснить, что при выводе уравнений (15) и (18) рассматриваются условия равновесия не напряжений (таких условий не существует!), а действующих усилий по граням элемента.

2. Напряжения по граням элементарного объема (рис. 2.14) распределяются равномерно. Косую площадку можно рассматривать как косое сечение в элементарном параллелепипеде (рис. 2.15), и те же результаты (равенства (17) и (19)) вытекают из условий равновесия заштрихованной частя параллелепипеда.

3. Неизвестные векторные величины, для которых принято определенное правило знаков, при выводе следует принимать положительно направленными. Например, на рис. 2.14 направлено как растягивающее напряжение.

Двухосным или плоским называется такое напряженное состояние тела, при котором во всех его точках одно из главных напряжений равно нулю. Можно показать*, что плоское напряженное состояние возникает в призматическом или цилиндрическом теле (рис. 17.1) с незакрепленными и ненагруженными торцами, если к боковой поверхности тела приложена система внешних сил, нормальных к оси Oz и изменяющихся в зависимости от z по квадратичному закону симметрично относительно среднего сечения. При этом оказывается, что во всех поперечных сечениях тела

а напряжения а х, а у, х изменяются в зависимости от z также по квадратичному закону симметрично относительно среднего сечения. Введение указанных допущений позволяет получить решение задачи, удовлетворяющее условиям (17.13) и всем уравнениям теории упругости.

Представляет интерес частный случай, когда напряжения не зависят от переменной z‘-

Такое напряженное состояние возможно только при действии равномерно распределенной по длине нагрузки. Из формул закона Гука (16.3) следует, что деформации е х, е у, e z , у также не зависят от z, а деформации у и y zx с учетом (17.13) равны нулю. В таком случае четвертое и пятое из уравнений неразрывности деформаций (16.4), (16.5) тождественно удовлетворяются, а второе, третье и шестое уравнения принимают вид

Интегрируя эти уравнения и учитывая третью из формул закона Гука (16.3) при a z = 0, получим

См.: Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.

Таким образом, плоское напряженное состояние в призматическом или цилиндрическом теле со свободными торцами, нагруженном постоянной по длине тела поверхностной нагрузкой, возможно только в частном случае, когда сумма напряжений а х + а у изменяется в зависимости от переменных х и у по линейному закону или постоянна.

Если расстояние между торцевыми плоскостями тела (рис. 7.1) мало по сравнению с размерами сечений, то имеем случай тонкой пластины (рис. 17.5), нагруженной по внешнему контуру силами, симметрично распределенными относительно срединной плоскости пластины по квадратичному закону. Так как толщина пластины h мала, то с незначительной погрешностью можно принять, что при любом симметричном относительно срединной плоскости нагружении пластины напряжения а х, a v , t xv равномерно распределены по ее толщине.

При этом под напряжениями следует понимать их средние по толщине значения, например

Следует также отметить, что при введении допущения (17.14) условия (17.13) равенства нулю напряжений

Рассмотренный случай напряженного состояния тонкой пластины с допущениями (17.13) и (17.14) часто называют обобщенным плоским напряженным состоянием.

Рассмотрим основные уравнения теории упругости для этого случая.

С учетом (17.13) формулы закона Гука (16.3) запишутся в виде

Соответствующие обратные соотношения имеют вид

Формулы (17.17) и (17.18) отличаются от формул (17.7) и (17.9) закона Гука для плоской деформации только тем, что в последние вместо модуля упругости Е и коэффициента Пуассона v входят приведенные величины Е { и v r

Уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнение неразрывности деформаций и статические граничные условия не отличаются от соответствующих уравнений (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) для плоской деформации.

Плоская деформация и обобщенное плоское напряженное состояние по существу описываются одними и теми же уравнениями. Единственное отличие имеется в величинах постоянных упругости в формулах закона Гука. Поэтому обе задачи объединяются общим названием: плоская задача теории упругости.

Полная система уравнений плоской задачи состоит из двух уравнений равновесия (17.10), трех геометрических соотношений Коши (17.3) и трех формул закона Гука (17.7) или (17.17). Они содержат восемь неизвестных функций: три напряжения а х, а у, % ху, три деформации е х, е у, у ху и два перемещения и и и.

Если при решении задачи не требуется определять перемещения, то число неизвестных сокращается до шести. Для их определения имеется шесть уравнений: два уравнения равновесия, три формулы закона Гука и уравнение неразрывности деформаций (17.11).

Основное отличие рассмотренных двух видов плоской задачи состоит в следующем. При плоской деформации ? z = 0,o z * 0, причем величина c z может быть найдена по формуле (17.6) после того, как определены напряжения о х ио,. При обобщенном плоском напряженном состоянии a z = 0, ? z Ф 0, и деформация ? z может быть выражена через напряжения о х и о у по формуле (17.16). Перемещение w можно найти путем интегрирования уравнения Коши

ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ («ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА»)

Плоское напряженное и плоское деформированное состояния характеризуются следующими особенностями.

1. Все компоненты напряжений не зависят от одной из коор­динат, общей для всех компонент, и остаются постоянными при ее изменении.

2. В плоскостях, нормальных к оси этой координаты:

а) компоненты касательных напряжений равны нулю;

б) нормальное напряжение или равно нулю (плоское напряженное состояние), или равно полусумме двух других нормаль­ных напряжений (плоское деформированное состояние).

Примем за ось, о которой говорилось ранее, ось у. Из преды­дущего ясно, что эта ось будет главной, т. е. ее можно обозна­чить также и индексом 2. При этом , и не зависят от у; вместе с тем и , а следовательно, и и равны нулю.

Для плоского напряженного состояния = 0. Для плоского деформированного состояния (эта особенность плоского деформированного состояния будет доказана далее).

Следует всегда учитывать существенную разницу между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями.

В первом, в направлении третьей оси, нет нормального напря­жения, но есть деформация, во втором есть нормальное напря­жение, но нет деформации.

Плоское напряженное состояние может быть, например, в пла­стине, подверженной действию сил, приложенных к ее контуру параллельно плоскости пластины и распределенных равномерно по ее толщине (рис. 3.16). Изменение толщины пластины в этом случае не имеет значения, и толщина ее может быть принята за единицу . Плоским с достаточной точностью можно считать напряженное состояние фланца при вытяжке цилиндрической заготовки из листового материала.

Плоское деформированное состояние может быть принято для участков цилиндрического или призматического тела большой длины, отдаленных от его концов, если тело нагружено силами, не меняющимися по его длине и направленными перпендикулярно образующим. В плоском деформированном состоянии, напри­мер, можно считать брус, подвергающийся осадке в направлении его толщины, когда деформацией по длине можно пренебречь.

Все уравнения напряженного состояния для плоской задачи значительно упрощаются и сокращается количество переменных.

Уравнения для плоской задачи можно легко получить из выведенных ранее для объемного напряженного состояния, учи­тывая, что = 0 и принимая = 0, по­скольку следует рассматривать наклонные площадки только параллельные оси у, т. е. нормальные к площадкам, свободным от напряжений при плоском напряженном состоянии или свобод­ным от деформаций при плоском деформированном состоянии (рис. 3.17).

В рассматриваемом случае

Обозначая угол (см. рис. 3.17) между нормалью к наклонной площадке и осью (или осью , если напряженное состояние дано в главных осях 1 и 2) через , получаем , откуда .

Учитывая вышесказанное, путем непосредственных подста­новок в соответствующие выражения (3.10) и (3.11) для объем­ного напряженного состояния получим нормальное и касатель­ное напряжения в наклонной площадке (см. рис. 3.17).

Рис.3.15. Плоское напряженное состояние (а), напряжение на наклонной площадке (б)

Нормальное напряжение

Касательное напряжение

. (3.41)

Из выражения (3.41) легко видеть, что имеет максимум при sin 2 = 1, т. е. при = 45°:

. (3.42)

Величину главных напряжений можно выразить через компо­ненты в произвольных осях, использовав уравнение (3.13), из которого получим

. (3.43)

При этом для плоского напряженного состояния = 0; для плоского деформированного состояния

Зная напряженное состояние в главных осях, легко перейти на любые произвольные координатные оси (рис. 3.18). Пусть новая координатная ось х составляет угол с осью , тогда, рас­сматривая ее как нормаль к наклонной площадке, имеем для последней по уравнению (3.40)

но для оси напряжение является напряжением , следо­вательно,

выражение это можно преобразовать так:

(3.44)

Новая ось будет наклонена к оси 1 на угол ( +90°); следовательно, заменяя в предыду­щем уравнении на ( + 90°), получим

Напряжение определим из выражения (3.41):

. (3.46)

Обозначая среднее напряжение через , т. е. принимая

, (3.47)

и учтя уравнение (3.42), получим так называемые формулы преобразования, которые выражают компоненты напря­жений в функции угла :

(3.48)

При построении диаграммы Мора учтем, что поскольку мы рассматриваем площадки, параллельные оси у (т. е. оси 2), на­правляющий косинус всегда равен нулю, т. е. угол = 90°. Поэтому все корреспондирующие значения и будут распо­ложены на окружности, определяемой уравнением (3.36 б) при подстановке в него = 0, а именно:

, (3.49)

или с учетом выражений (3.47) и (3.42)

. (3.49а)

Эта окружность представлена на рис. 3.19 и является диаг­раммой Мора. Координаты какой-нибудь точки Р, расположенной на окружности, определяют корреспондирующие значения и Соединим точку P с точкой .Легко видеть,что отрезки 0 2 Р = ;

Рр= , Ор= ,и, следовательно, sin = .

Сравнивая полученные вы­ражения с уравнениями (3.48), можно установить, что

Р0 2 А = 2 , Р0 2 А = .

Таким образом, зная положение наклонной площадки, определяемое углом , можно найти значения напряжений и , действующих в этой площадке.

Рис.3.17. Диаграмма Мора

,

то отрезок ОР выражает полное напряжение S.

Если элемент напряженного тела, в наклонной грани которого рассматривают напряжения, вычертить так, чтобы главное напря­жение было направлено параллельно оси , то нормаль N, проведенная к этой наклонной грани, а следовательно, и направ­ление напряжения будут параллельны отрезку СР.

Продолжив линию Р0 2 до пересечения с окружностью, в точке Р" получим вторую пару значений и для другой наклонной площадки, у которой " = + 90°, т. е. для площадки, перпен­дикулярной к первой, с направлением нормали ". Направления нормалей N и N" можно принять соответственно за направления новых осей : и , а напряжения и " - соответственно за коор­динатные напряжения и . Таким образом, можно определить напряженное состояние в произвольных осях без использования формул (3.44)-(3.46). Абсолютные величины напряжений гит" равны между собой по закону парности.

Нетрудно решить и обратную задачу: по заданным напряже­ниям в двух взаимно перпендикулярных площадках , и , т" (где т" = т) найти главные напряжения.

Проводим координатные оси н и (рис. 3.19). Наносим точки Р и Р" с координатами, соответствующими заданным напряжениям , и , . Пересечение отрезка РР" с осью определит центр круга Мора 0 2 с диаметром РР" = 2 31 . Далее, если построить оси N, N" (или, что то же, , ) и повернуть фигуру так, чтобы направления этих осей были параллельны направлениям напря­жений и в рассматриваемой точке данного тела, то направ­ления осей и диаграммы будут параллельны направлению главных осей 1 и 2.

Дифференциальное уравнение равновесия для плоской задачи получим из уравнений (3.38), учитывая, что все производные по у равны нулю, а также равны нулю и :

(3.50)

При решении некоторых задач, относящихся к плоским, иногда бывает удобно пользоваться вместо прямоугольных коор­динат полярными, определяя положение точки радиусом-век­тором и полярным углом , т. е. углом, который составляет радиус-вектор с осью .

Условия равновесия в полярных координатах легко получить из тех же условий в цилиндрических координатах, приравняв

И учтя, что производные по равны

(3.51)

Частным случаем плоской задачи является такой, когда напря­жения не зависят также и от координаты (симметричное отно­сительно оси распределение напряжений). В этом случае обра­тятся в нуль производные по и напряжения и , а условия равновесия определятся одним дифференциальным уравнением

. (3.52)

Ясно, что напряжения и здесь являются главными.

Такое напряженное состояние можно принять для фланца круглой заготовки при вытяжке без прижима цилиндрического стакана.

Вид напряженного состояния

Напряженное состояние в какой-либо точке деформируемого тела характеризуется тремя главными нормальными напряже­ниями и направлениями главных осей.

Различают три основных вида напряженного состояния: объемное (трехосное), при котором все три главных напряжения не равны нулю, плоское (двухосное), при котором одно из главных напряжений равно нулю, и линейное (одноосное), при котором только одно главное напряжение отлично от нуля.

Если все нормальные напряжения имеют одинаковый знак, то напряженное состояние называют одноименным, а при напряже­ниях различного знака - разноименным.

Таким образом существует девять видов напряженного состоя­ния: четыре объемных, три плоских и два линейных (рис.3.18).

Напряженное состояние называют однородным, когда в любой точке деформируемого тела направления главных осей и вели­чины главных нормальных напряжений остаются неизменными.

Вид напряженного состояния влияет на способность металла пластически деформироваться не разрушаясь и на величину внешней силы, которую необходимо приложить для осуществле­ния деформации заданной величины.

Так, например, деформирование в условиях одноименного объемного напряженного состояния требует большего усилия, чем при разноименном напряженном состоянии при прочих рав­ных условиях.

Контрольные вопросы

1.Что такое напряжение? Чем характеризуется напряженное состояние точки, тела в целом?

2.Что выражают индексы в обозначениях компонент тензора напряжения?

3.Приведите правило знаков для компонент тензора напряжений.

4. Запишите формулы Коши для напряжений на наклонных площадках. Что кладется в основу их вывода?

5.Что такое тензор напряжений? Какие компоненты входят в состав тензора напряжений?

6.Как называются собственные векторы и собственные значениям тензора напряжений?

7.Что такое главные напряжения? Сколько их?

8.Приведите правило присвоения индексов главным нормальным напряжениям.

9.Дайте физическое толкование главных нормальных напряжений и глав­ных осей тензора напряжений.

10.Покажите схемы главных нормальных напряжений для основных про­цессов ОМД - прокатки, волочения, прессования.

11.Что такое инварианты тензора напряжений? Сколько их?

12.В чем состоит механический смысл первого инварианта тензора напряжений?

13.Что называется интенсивностью касательных напряжений?

14..Что такое главные касательные напряжения? Найдите площадки их действия

15..Сколько площадок главных касательных напряжений можно указать в некоторой точке деформируемого тела?

16.Чему равно максимальное касательное напряжение, нормаль­ное напряжение на площадке, по которой оно действует?

17.Что такое осесимметричное напряженное состояние? Приведите примеры.

18.Покажите схемы главных нормальных напряжений для основных про­цессов ОМД - прокатки, волочения, прессования.

19.Что общего между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями и какая между ними разница? К какому из этих состояний отно­сится простой сдвиг?

20.Приведите известные Вам формулы теории напряжений в главной си­стеме координат

21.Что такое эллипсоид напряжений? Запишите его уравнение и укажите порядок построения. Какой вид имеет эллипсоид напряжений для гидростатиче­ского давления, плоского и линейного напряженных состояний?

22. Запишите уравнение для нахождения главных нормальных напряжения и три системы уравнений для нахождения главных осей Т а.

23..Что такое шаровой тензор и девиатор напряжений? Для расчета каких величин используются второй и третий инварианты девиатора напряжений?

24.Покажите, что главные системы координат тензора и девиатора напря­жений совпадают.

25.Для чего вводятся в рассмотрение интенсивность напряжений и интен­сивность касательных напряжений? Объясните их физический смысл и дайте геометрические интерпретации.

26.Что такое диаграмма Мора? Чему равны радиусы главных окружно­стей?

27.Как изменится диаграмма Мора при изменении среднего напряжения?

28. Что такое октаидрические напряжения?

29. Сколько характерных площадок можно провести через точку тела, находящегося в напряженном состоянии?

30. Условия равновесия для объемного напряженного состояния в прямоугольных координатах, в цилиндрических и сферических координатах.

31. Уравнения равновесия для плоской задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. I. M.-Л., ГТИ, 1948. 346 с. (33)

2. Павлов И. М. О физической природе тензорных представлений в теории пластичности.– «Известия вузов. Черная металлургия», 1965, №6, с. 100–104.

3. Соколовский В. В. Теория пластичности. М., «Высшая школа», 1969. 608 с. (91)

4. Сторожев М. В. и Попов Е. А. Теория обработки металлов давлением. М., «Машиностроение», 1971. 323 с. (99)

5. Тимошенко С. П. Теория упругости. Гостехиздат, 1934. 451 с. (104)

6. Ш о ф м а н Л. А. Основы расчета процесса штамповки и прессования. Машгиз, 1961. (68)

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При этом площадки х= const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

Нумерация корней произведена для случая

Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.

Рис.2. Позиция главных напряжений

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 1, при этом вектор п имеет компоненты: , , n х =0 . Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

Наименьший положительный корень уравнения (4) обозначим через . Так как tg(х )—периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 2).

Если продифференцировать соотношение (2) по и приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4), что доказывает экстремальность главных напряжений.

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

откуда получим

Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 3).

Рис.3. Экстремальность касательных напряжений

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с

Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.

Рис.4. Плоская деформация.

По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна

Из рис. 4 следует

Учитывая, что MN=dx, получим

В случае малых деформаций, когда , , можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом приближенного соотношения

справедливого при x <<1, окончательно для малой деформации получим

Угловая деформация определяется как сумма углов и (4). В случае малых деформаций

Для угловой деформации имеем

Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений

Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений.

Инварианты тензора деформаций определяются аналогичными формулами, причем первый инвариант тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл. До деформации его объем равен dV 0 =dxdydz. Если пренебречь деформациями сдвига, которые изменяют форму, а не объем, то после деформации ребра будут иметь размеры

(рис. 4), а его объем будет равен

Относительное изменение объема

в пределах малых деформаций составит

что совпадает с определением первого инварианта. Очевидно, что изменение объема есть физическая величина, не зависящая от выбора системы координат.

Так же, как и тензор напряжений, тензор деформаций можно разложить на шаровой тензор и девиатор. При этом первый инвариант девиатора равен нулю, т. е. девиатор характеризует деформацию тела без изменения его объема.