Определение скоростей точек плоской фигуры
Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрическииз скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.
В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.3), где - радиус-вектор полюса А , - вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда
В полученном равенстве величина есть скорость полюса А ; величина же равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А . Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что
Скорость , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А :
где ω - угловая скорость фигуры.
Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.4).
Рис.3Рис.4
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры (или тела).
Рис.5
Один из таких методов дает теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.5), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ , и учитывая, что вектор перпендикулярен АВ , находим
и теорема доказана.
Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.
Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Легкоубедиться, что если фигура движется непоступательно , то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис.6). Тогда точка Р , лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и В b к вектору , и будет мгновенным центром скоростей так как . Всамомделе,еслидопустить, что , то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ) и ВР (так как ), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.
Рис.6
Если теперь в момент времени взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет
так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигурыопределяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом
Из равенств, следует еще, что точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦС.
Полученные результаты приводят к следующим выводам.
1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям).
2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В . Тогда, восставив из точек А и В перпендикуляры к и , построим мгновенный центр скоростей Р и по направлению определим направление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен вектор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.
3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р :
Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.
а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис.7), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю ( ), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.
б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис.8,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что т. е. ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступательным). Угловая скорость тела в этот момент времени, как видно равна нулю.
Рис.7
Рис.8
в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновенный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис.8,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей .
г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р , лежащего на перпендикуляре к (рис.8,б), можно найти как .
Решение задач на определение скорости.
Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик по данным задачии следует начинать решение.
Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость.
Пример 1. Тело,имеющееформукатушки, катится своим средним цилиндром по неподвижной плоскости так, что (см). Радиусы цилиндров: R = 4 сми r = 2 см (рис.9)..
Рис.9
Решение. ОпределимскороститочекА,В иС .
Мгновенныйцентр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью.
Скоростьполюса С.
|
|
Скорости точекА иВ направленыперпендикулярноотрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей:
Пример 2. Колесо радиуса R = 0,6 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути (рис.9.1); скорость его центра С постоянна и равна v c
= 12 м/с. Найти угловую скорость колеса и скорости концов М 1 , М 2 , M 3 , М 4 вертикального и горизонтального диаметров колеса.
Рис.9.1
Решение. Колесо совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей колеса находится в точке М1 контакта с горизонтальной плоскостью, т. е.
Угловая скорость колеса
Находим скорости точек М2 , M3 и М4
Пример 3 . Ведущее колесо автомобиля радиуса R = 0,5 м катится со скольжением (с буксованием) по прямолинейному участку шоссе; скорость его центра С постоянна и равна v c
= 4 м/с. Мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р на расстоянии h = 0,3 м от плоскости качения. Найти угловую скорость колеса и скорости точек А и В его вертикального диаметра.
Рис.9.2
Решение. Угловая скорость колеса
Находим скорости точек А и В
Пример 4. Найти угловую скорость шатуна АВ и скорости точек В и С кривошипно-шатунного механизма (рис.9.3,а ). Дана угловая скорость кривошипа OA и размеры: ω ОА = 2 с -1 , OA = АВ = 0,36 м, АС = 0,18 м.
а)
б)
Рис.9.3
Решение. Кривошип OA совершает вращательное движение, шатун АВ - плоскопараллельное движение (рис.9.3,б ).
Находим скорость точки А звена
OA
Скорость точки В направлена по горизонтали. Зная направление скоростей точек А и В шатуна АВ, определяем положение его мгновенного центра скоростей - точку Р АВ.
Угловая скорость звена АВ и скорости точек В и С:
Пример 5. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле скорость (рис.10). Длина стержня AB = l . Определим скорость конца А и угловую скорость стержня.
Рис.10
Решение. Нетрудно определить направление вектораскороститочкиА , скользящей по вертикальнойпрямой. Тогда находится на пересечении перпендикуляровк и (рис. 10).
Угловая скорость
Скорость точки А :
|
|
План скоростей.
Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.11). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединитьихконцыпрямыми,то получитсякартинка,котораяназывается планом скоростей. (На рисунке ) .
Рис.11
Свойстваплана скоростей.
|
|
Действительно,
. Но на плане скоростей
. Значит
причём
перпендикулярнаАВ
, поэтому и
.Точно так же
и
.
б) Стороныплана скоростейпропорциональны соответствующим отрезкам прямых на плоскости тела.
Таккак
, то отсюдаи следует, что стороныплана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.Объединивобасвойства,можносделать вывод,что план скоростей подобенсоответствующейфигуренателе и повёрнут относительно её на 90˚ понаправлениювращения.Этисвойстваплана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.
Пример 6. Нарис.12 вмасштабеизображёнмеханизм. Известна угловая скорость звена ОА .
Рис.12
Решение. Чтобы построить план скоростейдолжнабытьизвестна скоростькакой-нибудьодной точкиихотябынаправление вектораскорости другой. В нашем примере можно определить скорость точки А : и направлениееёвектора .
Рис.13
|
|
СкоростьточкиЕ равнанулю, поэтомуточка е на плане скоростейсовпадает с точкой О .
Далее.Должнобыть
и . Проводим эти прямые, находимихточкупересечения d .Отрезоко d определитвекторскорости .Пример 7. В шарнирном четырехзвеннике ОАВС ведущий кривошип OA см равномерно вращается вокруг оси О с угловой скоростью ω = 4 с -1 и при помощи шатуна АВ = 20 см приводит во вращательное движение кривошип ВС вокруг оси С (рис.13.1,а ). Определить скорости точек А и В, а также угловые скорости шатуна АВ и кривошипа ВС.
а)
б)
Рис.13.1
Решение. Скорость точки А кривошипа OA
Взяв точку А за полюс, составим векторное уравнение
где
Графическое решение этого уравнения дано на рис.13.1,б (план скоростей).
С помощью плана скоростей получаем
Угловая скорость шатуна АВ
Скорость точки В можно найти с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела на соединяющую их прямую
В и угловая скорость кривошипа СВ
Определение ускорений точек плоской фигуры
Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям О xy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором - угол между вектором и отрезком МА (рис.14).
Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорениякакой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).
Однако вычисление и ускорения какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фигуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры достаточно знать положение мгновенного центра скоростей.
Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс.
План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры):
1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры.
2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры.
3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.
4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.
5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению.
6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений.
При решении задач можно применять «теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела»:
«Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол в сторону углового ускорения, равны».
Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, так и по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические размеры тела не известны), не известны и – соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускоренияэтого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, не известны скорости точек этого тела.
Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры:
1) Способ основан на дифференцировании дважды по времени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.
2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже).
3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела.
Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений.
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
1. Плоскопараллельное движение твердого тела.
2. Уравнения плоскопараллельного движения.
3. Разложение движения на поступательное и вращательное.
4. Определение скоростей точек плоской фигуры.
5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.
6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.
7. Решение задач на определение скорости.
8. План скоростей.
9. Определение ускорений точек плоской фигуры.
10. Решение задач на ускорения.
11. Мгновенный центр ускорений.
Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».
Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения.
Разложение движения на поступательное и вращательное
Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Рис.28 Рис.29
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy , параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ ’, перпендикулярной течению S , т. е. плоскости П , движутся тождественно.
Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S . Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху .
Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x A и y A точки А и угол , который отрезок АВ образует с осью х . Точку А , выбранную для определения положения фигуры S , будем в дальнейшем называть полюсом.
При движении фигуры величины x A и y A и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости
Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А . Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при и , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А . Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А , и из вращательного движения вокруг этого полюса.
Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.
Определение скоростей точек плоской фигуры
Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.
В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.30), где - радиус-вектор полюса А , - вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда
Рассматривая плоское движение плоской фигуры как сумму поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся с ускорением a A полюса A , и вращательного
движения вокруг этого полюса, получаем формулу для определения ускорения какой-либо точки B плоской фигуры в виде
a B = |
a A + |
a BA = |
a A + a BAв + |
a BAц . |
|||||
Здесь a |
ускорение |
полюса A ; a |
Ускорение |
||||||
вращательного движения точки B вокруг полюса A , которое как в случае вращения тела вокруг неподвижной оси векторно
складывается из вращательного ускорения a BA в и центро-
стремительного ускорения a BA ц . Модули этих ускорений определяются по формулам
модуль углового ускорения. Вращательное ускорение a BA в направлено перпендикулярно отрезку AB в сторону дуговой стрелки ε , а центростремительное ускорение a BA ц направлено по линии AB от точки B к полюсу A (рис. 12). Модуль полного ускорения a BA точки B относительно полюса A в силу условия a BA в a BA ц вычисляется по формуле
Рис 12. Определение ускорения точки B
с использованием полюса A.
Для нахождения ускорения a B по формуле (2.18)
рекомендуется использовать аналитический способ . В этом способе вводится прямоугольная декартова система координат (система Bxy на рис. 12) и вычисляются проекции a Bx , a By
искомого ускорения как алгебраические суммы проекций ускорений, входящих в правую часть равенства (2.18):
(a в |
(a ц |
a cosα |
ц ; |
||||||||||||||||||||||
(a в |
(a ц |
sinα |
|||||||||||||||||||||||
где α - угол между вектором a A |
и осью Bx . По найденным |
||||||||||||||||||||||||
Изложенный способ определения ускорений точек плоской фигуры применим для решения задач, в которых задано движение полюса A и угол поворота фигуры
уравнениями (2.14). Если зависимость угла поворота от времени неизвестна, то для заданного положения фигуры приходится определять мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение. Способы их определения рассматриваются далее в примерах выполнения задания 2.
Отметим также, что при определении ускорений точек плоской фигуры может использоваться мгновенный центр ускорений – точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Однако применение мгновенного центра ускорений связано с довольно трудоемкими методами нахождения его положения, поэтому определение ускорений точек плоской фигуры рекомендуется выполнять по формуле
2.4 Задание 2. Определение скоростей и ускорений точек плоского механизма
Механизмы (см. с. 5) называются плоскими , если все его точки движутся в одной или в параллельных друг другу плоскостях, иначе механизмы называются пространствен-
ными.
В задании 2.1 рассматриваются планетарные механизмы ,
в задании 2.2 – кривошипно-позунные механизмы, а в задании
2.3 помимо названных двух типов изучается движение механизмов других типов. Большинство рассматриваемых механизмов являются механизмами с одной степенью свободы ,
в которых для определения движения всех звеньев нужно задать закон движения одного звена.
Задание 2.1
В планетарном механизме (рис. 13) кривошип 1 длиной OA = 0.8 (м ) вращается вокруг неподвижной оси O , перпендикулярной плоскости рисунка, по закону
ϕ OA (t ) = 6t − 2t 2 (рад). В точке A кривошип шарнирно соединен
с центром диска 2 радиуса r = 0.5 (м), находящегося во внутреннем зацеплении с неподвижным колесом 3, соосным с
кривошипом OA . На диске 2 в момент времени t 1 = 1 (с) задана точка B , положение которой определяется расстоянием AB = 0.5 (м) и углом α = 135° . (В заданный момент времени угол α отсчитывается от оси Ax в направлении против хода часовой стрелки при α > 0 или в противоположном направлении при
α < 0).
Рис 13. Планетарный механизм и способ задания положения точки B.
Определить в момент времени t 1
1) скорость точки B двумя способами: с использованием мгновенного центра скоростей (МЦС) диска 2 и с использованием полюса A ;
2) ускорение точки B с использованием полюса A .
1) Определение скорости точки B .
Вначале требуется выполнить графическое изображение
механизма в выбранном масштабе (например, в 1 см рисунка – 0.1 м отрезка OA и радиуса r ) и показать заданное положение точки B (рис. 14).
Рис 14. Определение скорости точки B с использованием мгновенного центра скоростей Р и полюса А.
По заданному закону вращения кривошипа ОА найдем скорость центра А диска 2. Определяем угловую скорость кривошипа в заданный момент времени t 1 = 1 (c ):
ω OA = ϕ ! OA = (6 t − |
6 − 4 t ; |
ω OA (t 1 ) = 2 (рад / с ). |
|||
Полученная величина ω OA (t 1 ) является положительной, поэтому дуговую стрелку ω OA направляем против хода часовой стрелки, то есть в положительном направлении отсчета угла ϕ .
Вычисляем модуль скорости
v A = ω OA (t 1 ) OA = 2 0.8 = 1.6 (м/с )
и строим вектор скорости v A перпендикулярно ОА в сторону дуговой стрелки ω OA .
дуговая стрелка ω OA и вектор v A изображаются в противоположном направлении, а для расчета v A используется модуль
ω OA (t 1 ) .
Мгновенный центр скоростей (точка Р ) диска 2 расположен в точке его соприкостновения с колесом 3 (см. п. 5 на с. 34). Определим мгновенную угловую скорость ω диска по найденной величине скорости v A :
ω = v A / AP = v A / r = 1.6 / 0.5 = 3.2 (рад / c )
и изображаем на рисунке ее дуговую стрелку (рис. 14).
Для определения скорости точки В с использованием МЦС находим расстояние ВР по теореме косинусов из треугольника АВР :
BP = AB2 + AP2 − 2 AB AP cos135 " =
0.5 2 + 0.52 − 2 0.52 (− 2 / 2) ≈ 0.924 (м ).
Скорость v B равна по модулю
v B = ω PB = 3.2 0.924 ≈ 2.956 (м / c )
и направлена перпендикулярно отрезку РВ в сторону дуговой стрелки ω .
Тот же вектор v B может быть найден с использованием полюса А по формуле (2.15): v B = v A + v BA . Перенесем вектор v A в точку В и построим вектор v BA , перпендикулярный отрезку АВ и направленный в сторону дуговой стрелки ω . Модуль
что угол между векторами v A и v BA равен 45° . Тогда по формуле (2.16) находим
vB = vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 " =
1.6 2 + 1.62 + 2 1.62 ( 2 / 2) ≈ 2.956 (м / c ).
На рисунке вектор v B должен совпадать с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы v A и v BA . Это достигается построением векторов v A , v B и v BA в выбран-
ном масштабе (например, 1 см на рисунке соответствует 0.5 м/с ). Отметим, что приведенные в рассмотренном примере масштабы можно изменять и назначать самостоятельно.
2). Определение ускорения точки В .
Ускорение точки В определим по формуле (2.18) с использованием полюса А , ускорение которого складывается векторно из касательного и нормального ускорений:
a B = a A + a BA в + a BA ц = a τ A + a A n + a BA в + a BA ц .
По заданному закону вращения кривошипа ОА найдем его угловое ускорение:
ε OA = ω ! OA = (6 − 4t ! ) = − 4 (рад / с 2 ).
Полученная величина ε OA является отрицательной, поэтому дуговую стрелку ε OA направляем по ходу часовой стрелки, то
есть в отрицательном направлении, а в дальнейшем расчете будем брать эту величину по модулю.
Модули касательного и нормального ускорений полюса А в заданный момент времени t 1 находим по формулам (2.11):
a τ A = ε OA OA = 4 0.8 = 3.2 (м / c 2 ); a n A = ω OA 2 OA = 22 0.8 = 3.2 (м / c 2 ).
Касательное ускорение a τ A направлено перпендикулярно кривошипу ОА в сторону дуговой стрелки ε OA , а нормальное ускорение a A n - от тоски А к точке О при любом направлении угловой скорости кривошипа (рис. 15). Полное ускорение a A определять не требуется.
Рис 15. Определение ускорения точки B с использованием полюса А.
ω = v A / r = ω OA (OA / r ) . |
|||
по определению угловое |
ускорение |
диска (при |
|
OA/r = const) равно |
|||
ε = ω ! = |
ω ! OA (OA / r ) = ε OA (OA / r ) = − |
4 (0.8 / 0.5) = |
− 6.4 (рад / c 2 ). |
угловую стрелку ε направляем в противоположном направлении к дуговой стрелки ω .
Вычислим модули вращательного и центростремительного ускорений точки В относительно полюса А по формулам
a BAв |
AB = |
6.4 0.5 = 3.2 (м / c 2 ); |
|||||
a BAц |
2 AB = |
3.22 0.5 = 5.12 (м / c 2 ). |
|||||
Вектор a BA в направлен перпендикулярно отрезку АВ в сторону
дуговой стрелки ε , а вектор a BA ц - от точки В к полюсу А
Ускорение точки В найдем по его проекциям на оси координатной системы Axy :
a Bx = (a τ A ) x + |
(a An ) x + (a BAв ) x + (a BAц ) x = |
||||||||
0 − a n A − |
a BA в cos 45" + |
a BAц |
cos 45" = |
||||||
3.2 − |
/ 2 + 5.12 |
2 / 2 ≈ |
− 1.84 (м / c 2 ); |
||||||
a By = (a τ A ) y + |
(a An ) y + (a BAв ) y + (a BAц ) y = |
||||||||
a τ A + |
0 − |
a BAв |
cos45" |
− a BA ц cos 45" = |
|||||
3.2 − |
/ 2 − 5.12 |
2 / 2 ≈ |
− 9.08 (м / c 2 ). |
||||||
Модуль a B = |
a Bx2 |
a By2 |
≈ 9.27 (м / c 2 ). |
||||||
ускорения |
a τ A , |
a A n , |
a BA в , a BA ц требуется |
||||||
изобразить в выбранном масштабе и построить в этом же масштабе вектор a B по найденным проекциям (рис. 15).
Исходные данные для самостоятельного выполнения задания 2.1 приведены в таблице на с. 44.
Кинематика твердого тела |
||||||||
ϕ OA (t), рад |
α , град |
t 1 , c |
||||||
t2 + 3t |
||||||||
8t – 3t2 |
||||||||
t2 - 4t |
||||||||
3t – 2t2 |
||||||||
2t2 - t |
||||||||
4t – t2 |
||||||||
2t2 - 6t |
||||||||
2t – 3t2 |
||||||||
3t2 - 4t |
||||||||
8t – 2t2 |
||||||||
4t2 - 6t |
||||||||
3t – 4t2 |
||||||||
4t2 - 2t |
||||||||
6t – t2 |
||||||||
2t2 - 4t |
||||||||
4t – 3t2 |
||||||||
2t2 + t |
||||||||
4t – 2t2 |
||||||||
3t2 - 10t |
||||||||
t – 2t2 |
||||||||
3t2 + 2t |
||||||||
6t – 3t2 |
||||||||
3t2 - 8t |
||||||||
2t – 4t2 |
||||||||
Согласно рассмотренному ранее, движение плоской фигуры складывается из поступательного и вращательного движений. Покажем, что ускорение любой точки плоской фигуры складывается геометрически из ускорений, которые точка получает в каждом из этих движений.
Положение точки В (согласно рис. 35) можно определить по формуле:
где радиус-вектор полюса А, вектор, определяющий положение точки В относительно полюса А.
Согласно теореме о скоростях точек плоской фигуры:
Очевидно, что ускорение точки В будет равно:
где ускорение полюса А. Т.к. и исходя из свойств плоской фигуры, можно утверждать, что ускорение точки В в ее вращательном движении вокруг полюса А.
Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения этой точки в ее врщении вместе с фигурой вокруг полюса:
Следовательно, ускорение некоторой точки В плоской фигуры изображается диагональю векторного параллелограмма (построенного при точке В), в котором его сторонами являются и (рис. 40).
Рис. 40. Построение вектора ускорения точки В
При решении задач вектор раскладывают на составляющие:
где касательная составляющая ускорения (и направлен в сторону вращения на рис. 41, 42);
нормальная составляющая ускорения (всегда направлен из точки В к полюсу А).
Модуль полного ускорения определяют по формуле:
Рис. 41. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай ускоренного вращения)Рис. 42. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай замедленного вращения)
При графическом определении ускорения точки В удобно пользоваться углом, тангенс которого находят из выражения:
Если известны траектории полюса A и точки B, ускорение которой надо найти, то ускорения этих точек для удобства вычисления раскладывают на нормальные и касательные составляющие. Тогда теорема об ускорениях точек плоской фигуры примет развернутый вид:
Таким образом, для определения ускорения произвольной точки В необходимо знать ускорение какой-либо точки плоской фигуры А, принимаемой за полюс, угловую скорость плоской фигуры и ее угловое ускорение в данный момент времени.
Модуль ускорения точки В (или любой другой точки плоской фигуры) можно найти следующими способами:
- графически;
- аналитически (способом проекций): ,
где аВх, аВу проекции ускорения точки В на заранее выбранные оси х и у прямоугольной системы координат.
Учебное пособие для студентов технических вузов
У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы
Рабочая программа. Наименование учебного предмета: Математика 1 класс
Количество часов по учебному плану всего: 132 часа в год; в неделю 4 часа. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта НОО Программа разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования
Гражданское право
Готовые ответы по гражданском праву. ГК РФ - гражданский кодекс Российской Федерации. Вопросы юридический и физических лиц. Сделки договоры и договоренности, какие сделки считаются действительными, а какие недействительными; их регулирование законом.
Рабочая программа учебной дисциплины «Административное право»
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой (общепрофессиональной) части профессионального цикла студентам очной формы обучения по направлению подготовки «Юриспруденция»
Коммерческая деятельность в рыночной экономике
Коммерческая деятельность в рыночной экономике осуществляют не только отдельные предприниматели и их объединения, но и государство в лице своих органов и специализированных предприятий, которые имеют статус юридического лица.
Глобальные проблемы человечества
Глобальные проблемы человечества – это совокупность социально-природных проблем, от решения которых зависит социальный прогресс человечества и сохранение цивилизации. Глобальные проблемы угрожают существованию человечества
( ответ взят из 16 вопроса, просто во всех формулах нужно выразить вместо расстояния до МЦС - ускорение точки )
При определении скоростей точек плоской фигуры было установлено, что в каждый момент времени существует такая точка Р фигуры (МЦС), скорость которой равна нулю. Покажем, что в каждый момент времени существует точка фигуры, ускорение которой равно нулю. Такая точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ) . Обозначим ее через Q.
Рассмотрим плоскую фигуру, совершающую движение в плоскости рисунка (рис.). Примем за полюс какую-либо точку А, модуль и направление ускорения аА которой известны в рассматриваемый момент времени. Пусть в этот момент времени известны угловая скорость и угловое ускорение фигуры. Из формулы следует, что точка Q будет МЦУ, если 
, т. е. когда . Так как вектор aQA составляет с линией AQ угол "альфа" 
, то параллельный ему вектор аА направлен к линии, соединяющей полюс А с точкой Q, также под углом "альфа" (см. рис.).
Проведем через полюс А прямую MN, составляющую с вектором его ускорения угол "альфа", откладываемый от вектора аА в направлении дуговой стрелки углового ускорения. Тогда на луче AN найдется точка Q, для которой . Поскольку, согласно , 
, точка Q (МЦУ) будет отстоять от полюса А на расстоянии 
.
Таким образом, в каждый момент движения плоской фигуры, если угловая скорость и угловое ускорение не равны нулю одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю . В каждый последующий момент времени МЦУ плоской фигуры будет находиться в различных ее точках.
Если МЦУ - точку Q выбрать за полюс, то ускорение любой точки А плоской фигуры
, так как aQ = 0. Тогда . Ускорение аА составляет с отрезком QA, соединяющим эту точку с МЦУ, угол "альфа", откладываемый от QA в сторону, противоположную направлению дуговой стрелки углового ускорения. Ускорения точек фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от МЦУ до этих точек.
Таким образом, ускорение всякой точки фигуры при ее плоском движении определяется в данный момент времени так же, как и при вращательном движении фигуры вокруг МЦУ.
Рассмотрим случаи, когда положение МЦУ можно определить с помощью геометрических построений.
1) Пусть известны направления ускорений двух точек плоской фигуры, ее угловые скорость и ускорение. Тогда МЦУ лежит на пересечении прямых линий, проведенных к векторам ускорений точек фигуры под одним и тем же острым углом: 
, отложенным от векторов ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения.
2) Пусть известны направления ускорений хотя бы двух точек плоской фигуры, ее угловое ускорение = 0, а угловая скорость не равна 0.
3) Угловая скорость= 0, угловое ускорение не равно 0. Угол прямой.
